2020年高考數(shù)學一輪復習 第13章《極限》（文）自測題

第十三章導數(shù)名師檢測題時間：120分鐘分值：150分第卷(選擇題共60分)一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1一質(zhì)點做直線運動，由始點起經(jīng)過ts后的距離St44t316t2，則速度為零的時刻是()A4sB8sC0s與8s D0s,4s,8s解析：vSt312t232t0，t0,4,8.答案：D2某三次函數(shù)當x1時有極大值4，當x3時有極小值0，且函數(shù)圖象過原點，則此函數(shù)的解析式是()Ayx36x29x Byx36x29xCyx36x29x Dyx36x29x解析：待定系數(shù)法，設(shè)f(x)ax3bx2cx，f(x)3ax22bxc，由條件可知f(x)3a(x1)(x3)3ax212ax9a.f(x)ax36ax29ax.又a1，f(x)x36x29x.答案：C3函數(shù)f(x)ax2b在區(qū)間(，0)內(nèi)是減函數(shù)，則a，b應滿足()Aa0且b0 Ba0且bRCa0且b0 Da0且bR解析：f(x)2ax，當x0時，f(x)0，a0，bR.答案：B4對函數(shù)f(x)x42x23有()A最大值4，最小值4B最大值4，無最小值C無最大值，最小值4D既無最大值也無最小值解析：f(x)4x34x，令f(x)0，得x0，x±1，列表如下：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)極大值4極小值3極大值4 xR，故無最小值，最大值為4.答案：B5已知a0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是單調(diào)遞增的函數(shù)，則a的最大值是()A0 B1C2 D3解析：f(x)3x2a在1，)上有3x2a0恒成立，a3x2對任意x1，)恒成立，a(3x2)min3，即a3，a的最大值為3.答案：D6已知f(x)ax3bx2x(a，bR且ab0)的圖象如圖所示，且|x1|x2|，則有()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0，b0 Da0，b0解析：f(x)3ax22bx1，由圖知方程3ax22bx10有兩根x1，x2，且a0，b0.答案：B7(2020·襄樊調(diào)研)對于在R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(xa)f(x)0，則必有()Af(x)f(a) Bf(x)f(a)Cf(x)>f(a) Df(x)<f(a)解析：由(xa)f(x)0知，當x>a時，f(x)0；當x<a時，f(x)0，所以當xa時，函數(shù)f(x)取得最小值，則f(x)f(a)，故選A.答案：A8函數(shù)yx3axb在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)，在(1，)上為增函數(shù)，則()Aa1，b1 Ba1，bRCa3，b3 Da3，bR解析：f(x)x3axb，f(x)3x2a.f(x)在(1,1)上為減函數(shù)，在(1，)上為增函數(shù)，f(1)3a0，a3，bR.答案：D9若曲線yx3的切線l與直線x3y80垂直，則l的方程為()A3xy20B3xy30或3xy30C3xy20D3xy20或3xy20解析：設(shè)切點坐標為(x0，y0)l與直線x3y80垂直，3x023，x0±1，當x01時，切點坐標為(1,1)，切線方程為y13(x1)，即3xy20；當x01時，切點坐標為(1，1)，切線方程為y13(x1)，即3xy20.答案：D10已知函數(shù)f(x)x44x310x227，則方程f(x)0在2,10上的根()A有3個 B有2個C有且只有1個 D不存在解析：f(x)4x312x220x4x(x23x5)，在2,10上滿足f(x)>0，f(x)在2,10上為增函數(shù)又f(2)3<0，f(10)6 973>0，方程在2,10上有且只有一根答案：C11對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x1)f(x)0，則必有()Af(0)f(2)<2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)>2f(1)解析：特殊值法，設(shè)f(x)x2，則f(x)2x.(x1)f(x)(x1)·2x0，則x0或x1.f(0)f(2)0224,2f(1)2×122.f(0)f(2)>2f(1)，設(shè)f(x)a(a為常數(shù))，則xR時，恒有f(x)0，(x1)f(x)0，f(0)f(2)2a2f(1)答案：C12設(shè)f(x)x3bx2cxd，又k是一個常數(shù)已知當k<0或k>4時，f(x)k0只有一個實根；當0<k<4時，f(x)k0有三個相異實根，現(xiàn)給出下列命題：(1)f(x)40和f(x)0有一個相同的實根(2)f(x)0和f(x)0有一個相同的實根(3)f(x)30的實根大于f(x)10的任一實根(4)f(x)40的實根小于f(x)20的任一實根其中，錯誤命題的個數(shù)是()A4 B3C2 D1解析：由題意知函數(shù)f(x)有極大值4，極小值0，所以命題(1)、(2)、(4)正確，錯誤的命題只有(3)一個答案：D第卷(非選擇題共90分)二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確答案填在題中橫線上)13已知函數(shù)yf(x)x3px2qx，圖象與x軸切于非原點的一點，且y極小值4，那么p，q的值為_解析：y3x22pxq，設(shè)切點為(a,0)，則f(x)x(x2pxq)0有兩個相等實根a，且a0，從而x2pxq(xa)2，f(x)x(xa)2.f(x)(xa)(3xa)，令f(x)0時，xa或x.又xa時，f(a)0，不為4，fy極小值4，即a34，a3，從而x2pxq(x3)2x26x9，p6，q9.答案：6,914在直徑為d的圓木中，截取一個具有最大抗彎強度的長方體梁，則矩形面的長為_(強度與bh2成正比，其中h為矩形的長，b為矩形的寬)解析：截面如圖所示，設(shè)抗彎強度系數(shù)為k，強度為w，則wkbh2，又h2d2b2，wkb(d2b2)kb3kd2b，w3kb2kd2，令w0，得b2，bd或bd(舍去)hd.答案：d15已知函數(shù)yf(x)的導函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：函數(shù)f(x)在(2，1)和(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù)；函數(shù)f(x)在(2,0)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在(0,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)；函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，在x1處取得極小值；函數(shù)f(x)在x0處取得極大值f(0)則正確命題的序號是_(填上所有正確命題的序號)解析：觀察函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象，由單調(diào)性、極值與導數(shù)值的關(guān)系直接判斷答案：16給出下列命題：任何常數(shù)函數(shù)的導數(shù)都是零；直線yx上任意一點處的切線方程都是這條直線本身；雙曲線y上任一點處切線斜率都是負值；直線y2x和拋物線yx2在(0，)上函數(shù)值增長的速度一樣大其中正確命題的序號為_解析：易知正確；由y得y<0，故也正確；由y2x得y2，由yx2，得y2x，又因為x(0，)，所以當x>1時，2x>2，當0<x<1時，2x<2，故不正確答案：三、解答題：(本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)若直線ykx與yx33x22x相切，試求k的值解析：y3x26x2，設(shè)切點(x0，y0)，則ky|xx03x026x02.切線方程為yy0(3x026x02)(xx0)又y0x033x022x0，y(3x026x02)x(3x026x02)x0(x033x022x0)，即y(3x026x02)x(2x033x02)又切線是ykx，由得x00或x0，代入知k2或k.18(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x33bx2c，若函數(shù)f(x)的一個極值點落在x軸上，求b3c2的值解析：f(x)3x23b.由題意，設(shè)f(x)的極值點為(x0,0)，則f(x0)0，f(x0)0.由得x02b代入得bx03bx02c0,2bx02c0.(bx0)2c2，b2(b)c2.b3c20.19(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x3mx2nx2的圖象過點(1，6)，且函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關(guān)于y軸對稱(1)求m、n的值及函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a>0，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a1，a1)內(nèi)的極值解析：(1)由函數(shù)f(x)的圖象過點(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，則g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以0，所以m3.代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)>0得x>2或x<0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)和(2，)；由f(x)<0得0<x<2，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值極小值由此可得：當0<a<1時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)有極大值f(0)2，無極小值；當a1時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)無極值；當1<a<3時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)有極小值f(2)6，無極大值；當a3時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)無極值綜上得：當0<a<1時，f(x)有極大值2，無極小值；當1<a<3時，f(x)有極小值6，無極大值；當a1或a3時，f(x)無極值20(本小題滿分12分)(2020·天津)已知函數(shù)f(x)ax3x21(xR)，其中a>0.(1)若a1，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)若在區(qū)間，上，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍解析：(1)當a1時，f(x)x3x21，f(2)3；f(x)3x23x，f(2)6.所以曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y36(x2)，即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.以下分兩種情況討論：若0<a2，則.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x0f(x)0f(x)極大值當x，時，f(x)>0等價于即解不等式組得5<a<5，因此0<a2.若a>2，則0<<.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x0f(x)00f(x)極大值極小值當x，時，f(x)>0等價于即解不等式組得<a<5或a<.因此2<a<5.綜合和，可知a的取值范圍為0<a<5.21(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a、bR.(1)當a時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)僅在x0處有極值，求a的取值范圍；(3)若對于任意的a2,2，不等式f(x)1在1，1上恒成立，求b的取值范圍解析：(1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)當a時，f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2)令f(x)0，解得x10，x2，x32.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，0)02(2，)f(x)000f(x)極小值極大值極小值所以f(x)在，(2，)內(nèi)是增函數(shù)，在(，0)，內(nèi)是減函數(shù)(2)f(x)x(4x23ax4)，顯然x0不是方程4x23ax40的根為使f(x)僅在x0處有極值，必須4x23ax40恒成立，即有9a2640.解此不等式，得a.這時，f(0)b是唯一極值因此滿足條件的a的取值范圍是，(3)由條件a2,2可知9a264<0，從而4x23ax4>0恒成立當x<0時，f(x)<0；當x>0時，f(x)>0.因此函數(shù)f(x)在1,1上的最大值是f(1)與f(1)兩者中的較大者為使對任意的a2,2，不等式f(x)1在1,1上恒成立，當且僅當即在a2,2上恒成立所以b4，因此滿足條件的b的取值范圍是(，422(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)ax3bx23a2x1(a、bR)在xx1，xx2處取得極值，且|x1x2|2.(1)若a1，求b的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a>0，求b的取值范圍解析：f(x)3ax22bx3a2.(1)當a1時，f(x)3x22bx3.由題意知x1、x2為方程3x22bx30的兩根，所以x1x2，x1x21，所以|x1x2| .由|x1x2|2，得b0.從而f(x)x33x1，f(x)3x233(x1)(x1)當x(1,1)時，f(x)<0；當x(，1)(1，)時，f(x)>0.故f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，在(，1)和(1，)上單調(diào)遞增(2)由式及題意知x1、x2為方程3ax22bx3a20的兩根，所以|x1x2|.由|x1x2|2b29a2(1a)由上式及題設(shè)知0<a1.考慮g(a)9a29a3，g(a)18a27a227a.故g(a)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而g(a)在(0,1上的極大值為g.又g(a)在(0,1上只有一個極值，所以g為g(a)在(0,1上的最大值，且最小值為g(1)0.所以b20，故b的取值范圍為.