2020高中數(shù)學(xué) 3-1-4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示同步檢測 新人教B版選修2-1

3.1第4課時(shí) 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示一、選擇題1對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是()A若a·b0，則a0或b0B若a0，則0或a0C若a2b2，則ab或abD若a·ba·c，則bc答案B解析a·b0ab，|a|2|b|2(ab)·(ab)0(ab)(ab)；a·ba·ca(bc)；故A、C、D均錯(cuò)2以下四個(gè)命題中正確的是()A空間的任何一個(gè)向量都可用其它三個(gè)向量表示B若a，b，c為空間向量的一組基底，則a，b，c全不是零向量CABC為直角三角形的充要條件是·0D任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底答案B解析使用排除法因?yàn)榭臻g中的任何一個(gè)向量都可用其它三個(gè)不共面的向量來表示，故A不正確；ABC為直角三角形并不一定是·0，可能是·0，也可能是·0，故C不正確；空間向量基底是由三個(gè)不共面的向量組成的，故D不正確，故選B.3長方體ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，則()AijkB.ijkC3i2j5k D3i2j5k答案C4給出下列命題：若a，b，c可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d0，則a，b，d也可作為空間的基底；已知向量ab，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面；已知向量組a，b，c是空間的一個(gè)基底，若mac，則a，b，m也是空間的一個(gè)基底其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4答案D解析根據(jù)基底的概念，空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，否則就不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底顯然正確，中由、共面且過相同點(diǎn)B，故A、B、M、N共面下面證明正確假設(shè)d與a、b共面，則存在實(shí)數(shù)，使dab，d與c共線，c0，存在實(shí)數(shù)k，使dkc，d0，k0，從而cab，c與a、b共面與條件矛盾d與a，b不共面同理可證也是正確的5已知向量a，b，c是空間的一個(gè)基底，pab，qab，一定可以與向量p，q構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是()Aa BbCc D無法確定答案C解析apq，a與p、q共面，bpq，b與p、q共面，不存在、，使cpq，c與p、q不共面，故c，p，q可作為空間的一個(gè)基底，故選C.6給出下列兩個(gè)命題：如果向量a，b與任何向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么a，b的關(guān)系是不共線；O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量， ，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面其中正確的命題是()A僅 B僅C D都不正確答案B解析對(duì)空間任意向量c，都有c與a、b共面，則必有a與b共線，錯(cuò)；、不能構(gòu)成空間的基底，、必共面，故存在實(shí)數(shù)，使，O、A、B、C四點(diǎn)共面，正確7已知i、j、k是空間直角坐標(biāo)系Oxyz的坐標(biāo)向量，并且ijk，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(1,1，1)B(i，j，k)C(1，1，1)D不確定答案D解析向量的坐標(biāo)與B點(diǎn)的坐標(biāo)不同8設(shè)OABC是四面體，G1是ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG3GG1，若xyz，則(x，y，z)為()A. B.C. D.答案A解析連AG1交BC于E，則E為BC中點(diǎn)，()(2)，(2)，33()，OGOG1，()()，故選A.9如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有()Aa與b共線 Ba與b同向Ca與b反向 Da與b共面答案A解析由定理可知只有不共線的兩向量才可以做基底，B，C都是A的一種情況空間中任兩個(gè)向量都是共面的，故D錯(cuò)10對(duì)于空間的四個(gè)向量a，b，c，d最多能構(gòu)成的基底個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4答案D解析最多的情況是a，b，c，d中任兩個(gè)不共線，任三個(gè)不共面，從中任選三個(gè)都可做一組基底，共4個(gè)二、填空題11已知e1、e2、e3是不共面向量，若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，又dabc，則、分別為_答案1解析dabc(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3，又因?yàn)閐e12e23e3，e1、e2、e3不共面，解得.12已知向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(2,1，1)，則p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)為_，在基底2a，b，c下的坐標(biāo)為_答案(，1)(1,1,1)解析由條件p2abc.設(shè)p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，a、b、c不共面，.即p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)為(，1)，同理可求p在基底2a，b，c下的坐標(biāo)為(1,1,1)13(2020·商丘高二檢測)在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則_.答案abc14三棱錐PABC中，ABC為直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M為PC的中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，以，為基底，則的坐標(biāo)為_答案(，0，)解析()()，即.三、解答題15如圖所示，平行六面體OABCOABC，且a，b，c.(1)用a，b，c表示向量，.(2)設(shè)G、H分別是側(cè)面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.解析(1)abc.bca.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)16如圖，正方體ABCDABCD中，點(diǎn)E是上底面ABCD的中心，求下列各式中的x、y、z的值：(1)xyz.(2)xy z.解析(1)又xyzx1，y1，z1.(2)()，又xyz.x，y，z1.17已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，并且PAAD1.選取恰當(dāng)?shù)幕浊笙蛄?、的坐?biāo)解析如圖所示，因?yàn)镻AADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，所以可設(shè)e1，e2，e3.以e1，e2，e3為基底則()e2e3(e3e1e2)e1e3，e2，(0,1,0)18如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)證明：A、E、C1、F四點(diǎn)共面；(2)若xyz，求xyz的值解析(1)證明：因?yàn)?)()，所以A、E、C1、F四點(diǎn)共面(2)解：因?yàn)?)，所以x1，y1，z，所以xyz.