第二章 函數(shù)教案 新課標 人教版

第二章 函數(shù)教案一、函數(shù)的概念與表示 1、映射（1）映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應（包括集合A、B以及A到B的對應法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：AB。（2）象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a對應的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。注意點：（1）對映射定義的理解。（2）判斷一個對應是映射的方法。2、函數(shù)（1）函數(shù)的定義原始定義：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫作自變量。 近代定義：設A、B都是非空的數(shù)的集合，f：xy是從A到B的一個對應法則，那么從A到B的映射f：AB就叫做函數(shù)，記作y=f(x)，其中，原象集合A叫做函數(shù)的定義域，象集合C叫做函數(shù)的值域。（2）構成函數(shù)概念的三要素 定義域對應法則值域3、函數(shù)的表示方法解析法列表法圖象法注意：強調分段函數(shù)與復合函數(shù)的表示形式。二、函數(shù)的解析式與定義域1、函數(shù)解析式：函數(shù)的解析式就是用數(shù)學運算符號和括號把數(shù)和表示數(shù)的字母連結而成的式子叫解析式，解析式亦稱“解析表達式”或“表達式”，簡稱“式”。（注意分段函數(shù)）求函數(shù)解析式的方法：（1） 定義法 （2）變量代換法 （3）待定系數(shù)法 （4）函數(shù)方程法 （5）參數(shù)法 （6）實際問題2、函數(shù)的定義域：要使函數(shù)有意義的自變量x的取值的集合。求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；（3）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；（4）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算而得到的，那么它的定義域是由各基本函數(shù)定義域的交集。3。復合函數(shù)定義域：已知f(x)的定義域為,其復合函數(shù)的定義域應由不等式解出。三、函數(shù)的值域1函數(shù)的值域的定義在函數(shù)y=f(x)中，與自變量x的值對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。2確定函數(shù)的值域的原則當函數(shù)y=f(x)用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y的集合；當函數(shù)y=f(x)用圖象給出時，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合；當函數(shù)y=f(x)用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應法則唯一確定；當函數(shù)y=f(x)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。3求函數(shù)值域的方法直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍；二次函數(shù)法：利用換元法將函數(shù)轉化為二次函數(shù)求值域；反函數(shù)法：將求函數(shù)的值域轉化為求它的反函數(shù)的值域；判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；單調性法：利用函數(shù)的單調性求值域；不等式法：利用不等式的性質求值域；圖象法：當一個函數(shù)圖象可作時，通過圖象可求其值域；幾何意義法：由數(shù)形結合，轉化距離等求值域。四函數(shù)的奇偶性1定義:設y=f(x)，xA，如果對于任意A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。設y=f(x)，xA，如果對于任意A，都有，則稱y=f(x)為奇函數(shù)。如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)y=具有奇偶性。2.性質：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱，y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關于軸對稱, y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關于原點對稱,偶函數(shù)在定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相反，奇函數(shù)在定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相同，偶函數(shù)無反函數(shù)，奇函數(shù)的反函數(shù)還是奇函數(shù)，若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，則它可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇兩函數(shù)的定義域D1 ，D2，D1D2要關于原點對稱對于F(x)=fg(x):若g(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)3奇偶性的判斷看定義域是否關于原點對稱看f(x)與f(-x)的關系五、函數(shù)的單調性1、函數(shù)單調性的定義；2、判斷函數(shù)單調性（求單調區(qū)間）的方法：（1）從定義入手，（2）從圖象入手，（3）從函數(shù)運算入手，（4）從熟悉的函數(shù)入手（5）從復合函數(shù)的單調性規(guī)律入手注：函數(shù)的定義域優(yōu)先3、函數(shù)單調性的證明：定義法“取值作差變形定號結論”。4、一般規(guī)律（1）若f(x),g(x)均為增函數(shù)，則f(x)+g(x)仍為增函數(shù)；（2）若f(x)為增函數(shù)，則-f(x)為減函數(shù)；（3）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調性；（4）設是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調性相反，則在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調性相同，則在M上是增函數(shù)。六、反函數(shù)1、 反函數(shù)的概念：設函數(shù)y=f(x)的定義域為A，值域為C，由y=f(x)求出，若對于C中的每一個值y，在A中都有唯一的一個值和它對應，那么叫以y為自變量的函數(shù)，這個函數(shù)叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作，通常情況下，一般用x表示自變量，所以記作。注：在理解反函數(shù)的概念時應注意下列問題。（1）只有從定義域到值域上一一映射所確定的函數(shù)才有反函數(shù)；（2）反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；2、求反函數(shù)的步驟（1）解關于x的方程y=f(x)，達到以y表示x的目的；（2）把第一步得到的式子中的x換成y，y換成x；（3）求出并說明反函數(shù)的定義域（即函數(shù)y=f(x)的值域）。3、關于反函數(shù)的性質（1）y=f(x)和y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的單調性；（3）y=f(x)和x=f-1(y)互為反函數(shù)，但對同一坐標系下它們的圖象相同；（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，從中求出x，即是f-1(a)；（5）f-1f(x)=x;（6）若點P(a,b)在y=f(x)的圖象上，又在y=f-1(x)的圖象上，則P(b,a)在y=f(x)的圖象上；（7）證明y=f(x)的圖象關于直線y=x對稱，只需證得y=f(x)反函數(shù)和y=f(x)相同；七二次函數(shù)1二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)，其中a是開口方向與大小，c是Y軸上的截距，而是對稱軸。(2)頂點式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是拋物線的頂點坐標。(3)兩根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸兩交點的坐標。求一個二次函數(shù)的解析式需三個獨立條件，如：已知拋物線過三點，已知對稱軸和兩點，已知頂點和對稱軸。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的兩根為，則可設f(x)-x=或。2二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點坐標（1）a>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，時，（2）a<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，時，3二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)當時圖象與x軸有兩個交點M1(x1,0),M2(x2,0)4二次函數(shù)與一元二次方程關系方程的根為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值。二次函數(shù)與一元二次不等式的關系一元二次不等式的解集為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值范圍。二次函數(shù)情況一元二次方程一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a>0)=b2-4acax2+bx+c=0 (a>0)ax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)圖象與解>0=0<0方程無解R八指數(shù)式與對數(shù)式1冪的有關概念(1)正整數(shù)指數(shù)冪，(2)零指數(shù)冪(3)負整數(shù)指數(shù)冪(4)正分數(shù)指數(shù)冪；(5)負分數(shù)指數(shù)冪(6)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.2有理數(shù)指數(shù)冪的性質 3根式（1）根式的定義:一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指數(shù)，叫被開方數(shù)。 (2)根式的性質: 當是奇數(shù)，則；當是偶數(shù)，則負數(shù)沒有偶次方根， 零的任何次方根都是零4對數(shù)(1)對數(shù)的概念 如果,那么b叫做以a為底N的對數(shù),記(2)對數(shù)的性質：零與負數(shù)沒有對數(shù) (3)對數(shù)的運算性質 其中a>0,a0,M>0,N>0(4)對數(shù)換底公式：（5）對數(shù)的降冪公式：九指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、 指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a1)互為反函數(shù)，從概念、圖象、性質去理解它們的區(qū)別和聯(lián)系名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式Y=ax (a>0且a1)y=logax (a>0 , a1)定義域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )過定點（，1）（1，）圖象指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a1)圖象關于y=x對稱單調性a> 1,在(-,+ )上為增函數(shù)a<1, 在(-,+ )上為減函數(shù)a>1,在(0,+ )上為增函數(shù)a<1, 在(0,+ )上為減函數(shù)值分布y>1 ? y<1?y>0? y<0?比較兩個冪值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同2、 ，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關系（對數(shù)式比較大小同理）記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象：3、 研究指數(shù)，對數(shù)函數(shù)問題，盡量化為同底，并注意對數(shù)問題中的定義域限制4、 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復合問題，討論復合函數(shù)的單調性是解決問題的重要途徑。十函數(shù)的圖象1、作函數(shù)圖象的基本方法有兩種：（1） 描點法：1、先確定函數(shù)定義域，討論函數(shù)的性質（奇偶性，單調性，周期性）2、列表（注意特殊點，如：零點，最大最小，與軸的交點）3、描點，連線如：作出函數(shù)的圖象（2） 圖象變換法：利用基本初等函數(shù)變換作圖 平移變換：（左正右負，上正下負）即 對稱變換：（對稱誰，誰不變，對稱原點都要變） 伸縮變換：訓練題一、選擇題：1、若與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D）2、定義在上的函數(shù)滿足，當時，則（A） （B）（C） （D）3、已知函數(shù)f (x)的導數(shù)為且圖象過點（0，5），當函數(shù)f (x)取得極大值5時，x的值應為A1B0C1D±14、已知，且，則二次函數(shù)式的最小值為A B C 24 D5、若函數(shù)的圖象如圖所示，則的范圍是（ ）A B（0，3） C（1，3） D（2，3）6、已知M=y|y=x2，N=y|x2y2=2，則MN=( )A、(1，1)，(1，1) B、1 C、0，1 D、0，7、已知f(x)是R上的偶函數(shù)，對都有f(x6)=f(x)f(3)成立，若f(1)=2，則f(2020)=( )A、2020 B、2 C、1 D、08、若關于的不等式至少有一個負數(shù)解，那么實數(shù)的取值范圍是（A） （B） （C） （D）9、設函數(shù)在點x=1處連續(xù)，則ABCD10、設函數(shù)、滿足，則與的大小關系是 （）A. B. C. D. 11、已知函數(shù)在區(qū)間1,2 上是減函數(shù)，那么bcA.有最大值 B. 有最大值 C.有最小值 D. 有最小值12、已知函數(shù)（ ）ABC3D313、函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都滿足f()=f()，并且f(x)=0有3個實根，則這3個實根之和為( ) A1 B0 C3 D14、設f(x)、g(x)是定義域為R的恒大于零的可導函數(shù)，且，則當a<x<b時有（ ）Af(x) g(x)> f(b) g(b)Bf(x) g(a)> f(a) g(x)Cf(x) g(b)> f(b) g(x)Df(x) g(x)> f(a) g(a)15、函數(shù)的反函數(shù)是( ) A. B. C. D. 16、已知函數(shù)，則的反函數(shù)為（ ） A. B. C. D. 17、設函數(shù). 若函數(shù)的圖象與的圖象關于直線對稱,則的值為 A. B. C. 3 D. 5函數(shù)的增區(qū)間為（ ）.A. B . C. D. 17、設函數(shù)f(x)=，則f(log23)=( )A. B. C. D.已知函數(shù)f(x)=xsinx則的大小關系為（ ）(A)(B)(C)(D)二、填空題：18、若直線與函數(shù)，且的圖象有兩個公共點，則的取值范圍是 19、方程f(x)=x的根稱為f(x)的不動點，若函數(shù)有唯一不動點，且，則 。20、設函數(shù)則滿足的x值為 已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，A（0，-3），B（-2，3）是其圖象上的兩點，那么不等式的解集是_。21、已知集合是同時滿足下列兩個性質的函數(shù)的全體：在其定義域上是單調增函數(shù)或單調減函數(shù)；在的定義域內存在區(qū)間，使得在上的值域是（）判斷函數(shù)是否屬于集合？并說明理由若是，請找出區(qū)間；（）若函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍22、已知函數(shù)單調遞增，在1，3單調遞減. （1）求b、c之間的關系式； （2）當時，是否存在實數(shù)m，使得在區(qū)間上是單調函數(shù)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由.21、解：（）的定義域是，在上是單調減函數(shù) 則在上的值域是由 解得：或（舍去）或（舍去）函數(shù)屬于集合，且這個區(qū)間是 （）設，則易知是定義域上的增函數(shù)，存在區(qū)間，滿足，即方程在內有兩個不等實根 法一：方程在內有兩個不等實根，等價于方程在內有兩個不等實根即方程在內有兩個不等實根根據(jù)一元二次方程根的分布有 解得因此，實數(shù)的取值范圍是 法二：要使方程在內有兩個不等實根，即使方程在內有兩個不等實根如圖，當直線經(jīng)過點時，當直線與曲線相切時，方程兩邊平方，得，由，得因此，利用數(shù)形結合得實數(shù)的取值范圍是22、解：（1） （2），其增區(qū)間為若存在m，則有 這與式矛盾，不存在實數(shù)m.