2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章（B）《直線、平面、簡單幾何體》自測題

第九章(B)直線、平面、簡單幾何體名師檢測題時間：120分鐘分值：150分第卷(選擇題共60分)一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1若ab，ac，lb c(，R)，ma，則m與l一定()A相交B共線C垂直 D以上都有可能解析：ab，ac，a·b0，a·c0，又a·la·(b c)(a·b)(a·c)×0×00，al，而ma，ml.答案：C2已知P1(1,1,0)，P2(0,1,1)，P3(1,0,1)，O是坐標(biāo)原點，則|等于()A2 B3C. D2解析：(1,1,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(2,2,2)，|2.答案：A3.已知ABCD為四面體，O為BCD內(nèi)一點(如右圖)，則()是O為BCD重心的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件解析：若O是BCD的重心，則·()()()()，若()，則0，即0，設(shè)BC的中點為P，則20，2，即O為BCD的重心答案：C4空間四點A、B、C、D滿足|3，|7，|11，|9，則·的取值()A只有一個B有兩個C有四個D有無窮多個解析：注意到321127292130，由于0，則|2|2()22222(···)2222(2···)2222()·()81.即2·22220，所以·只有一個值0，故選A.答案：A點評：本題主要考查了空間向量的數(shù)量積，解題需要有較強的觀察能力與平時知識的積累，需從幾個數(shù)據(jù)的特征進行考查，在運算中發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系5若a、b是兩條異面直線，Aa，Bb，n是直線a、b公垂線的方向向量，則a、b間的距離為()A.·n B|·n|C.· D.解析：如右圖，設(shè)EF為公垂線段，則n，n，n，由n·n·n·n·，得n·n·|n|·|·cosn，而cosn，1或1，|.答案：D6在空間直角坐標(biāo)系O xyz中，i、j、k分別是x軸、y軸、z軸方向向量，設(shè)a為非零向量，且a，i45°，a，j60°，則a，k()A30° B45°C60° D90°解析：設(shè)a與x軸、y軸、z軸所成角分別為、，由長方體對角線性質(zhì)，知cos2cos2cos21，又45°，60°，cos，從而60°，a，k60°，選C.答案：C7已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，則a2是下列哪個向量的數(shù)量積()A2· B2·C2· D2·解析：A中，2·2a·a·cos(180°60°)a2；C中，2·2··a·cos180°a2；D中，2·2··a·cos(180°60°).答案：B8已知向量a(2，3,5)與向量b平行，則()A. B.C D解析：ab，.故選C.答案：C9設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，若ab，且記|ab|m，則ab與x軸正方向的夾角的余弦值為()A. B.C. D±解析：取x軸正方向的任一向量d(x,0,0)，設(shè)夾角為，則(ab)·d(a1b1，a2b2，a3b3)·(x,0,0)(a1b1)·x.cos.答案：A10ABC的頂點分別為A(1，1,2)，B(5，6，2)，C(1,3，1)，則AC邊上的高BD等于()A5 B.C4 D2解析：設(shè)，D(x，y，z)則(x1，y1，z2)(0,4，3)x1，y41，z23，(4,45，3)4(45)3(3)0，| 5.答案：A11平面向量也叫二維向量，二維向量的坐標(biāo)表示及其運算可以推廣到n(n3)維向量，n維向量可用(x1，x2，x3，x4，xn)表示設(shè)a(a1，a2，a3，a4，an)，b(b1，b2，b3，b4，bn)，規(guī)定向量a與b夾角的余弦為cos.已知n維向量a，b，當(dāng)a(1,1,1,1，1)，b(1，1,1,1，1)時，cos()A. B.C. D.解析：cos.答案：D點評：本題以平面向量為背景研究n維向量的有關(guān)問題，體現(xiàn)了與高等數(shù)學(xué)知識的結(jié)合，突出了高考的選拔性的功能12在下列各結(jié)論中，不正確的是()A兩非零向量a(x1，y1，z1)和b(x2，y2，z2)垂直的充要條件為x1x2y1y2z1z20B若向量a(x1，y1，z1)和b(x2，y2，z2)，則a·bC已知a，b是兩非零向量，則a，barccosD. a·b0是a0或b0的充要條件解析：a·b0時，ab.故a·b0是a0或b0的必要不充分條件答案：D第卷(非選擇題共90分)二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確答案填在題中橫線上)13正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小為_解析：如右圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，設(shè)正方體的邊長為a，則A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，(0，a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)，設(shè)平面ABD1的法向量為n(x，y，z)，則n·(x，y，z)·(0，a,0)ay0，n·(x，y，z)·(a，a，a)axayaz0，a0，y0，xz，令xz1，則n(1,0,1)，同理平面B1BD1的法向量m(1，1,0)，cosn，m，而二面角ABD1B1為鈍角，故為120°.答案：120°14在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，CC1c(ab)，則AC與BD1間的距離為_解析：如右圖所示，設(shè)置坐標(biāo)系，使B點作為坐標(biāo)原點，則B(0,0,0)，C(b,0,0)，A(0，a,0)，D1(b，a，c)(b，a，c)，(b，a,0)，又設(shè)n(1，u)，同時與及垂直，則由n·bacu0，及n·ba00解得n于是所求距離d(b,0,0)·nb，又|n| ，d.答案：15已知a，b是夾角為60°的兩個單位向量，ca，cb，且|c|，若x2abc，y3bac，則cosx，y_.解析：|a|b|1，a·b.x·y2a23b2c27a·b233.|x| .|y| .cosx，y.答案：16.如右圖，有一棱長為1的正方體，以A點為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，點B在z軸的正半軸上，則頂點C的豎坐標(biāo)等于_解析：本題中的空間直角坐標(biāo)系和通常所見的不一樣，應(yīng)結(jié)合點的坐標(biāo)的定義進行求解如圖，連結(jié)ED、EC、CD，利用三垂線定理以及線面垂直的判定定理可證明AB平面ECD，則點A到平面ECD的距離即為點C的豎坐標(biāo)設(shè)點A到平面ECD的距離為d，則VAECDVCAED，SECD·dSAED·AC，d.答案：三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)如右圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E、F分別是AB、PB的中點(1)求證：EFCD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論；(3)求DB與平面DEF所成角的大小解析：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)ADa，則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，0)、F、P(0,0，a)(1)證明：··(0，a,0)0，EFDC.(2)設(shè)G(x,0，z)，則G平面PAD.，··(a,0,0)a0，x；··(0，a，a)a0，z0.G點坐標(biāo)為，即G點為AD的中點(3)設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)由得即取x1，則y2，z1，n(1，2,1)cos，n，DB與平面DEF所成角大小為arccos.18.(本小題滿分12分)如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEFG所截而得，其中AB4，BC1，BE3，CF4，若如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系：(1)求和點G的坐標(biāo)；(2)求異面直線EF與AD所成的角；(3)求點C到截面AEFG的距離解析：(1)由圖可知：A(1,0,0)，B(1,4,0)，E(1,4,3)，F(xiàn)(0,4,4)，(1,0,1)，又，設(shè)G(0,0，z)，則(1,0，z)(1,0,1)，z1，即G(0,0,1)(2)解法一：ADBC，作EHBC且交CF于H點，則FEH為所求角，F(xiàn)H431，EHBC1，F(xiàn)EH45°，即所求角為45°.解法二：(1,0,0)，(1,0,1)，cos，AD和EF所成的角為45°.(3)設(shè)n0面AEFG，n0(x0，y0，z0)，n0，n0，而(1,0,1)，(0,4,3)，n0(z0，z0，z0)，取z04，則n0(4，3,4)，(0,0,4)，d，d.點C到截面AEFG的距離為.19(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中點，PC與平面ABCD所成角為30°.(1)求二面角PCED的大?。?2)當(dāng)AD為多長時，點D到平面PCE的距離為2.解析：(1)取AD的中點O，連結(jié)PO.PAD是正三角形，POAD，又面PAD面ABCD，PO面ABCD，以O(shè)為原點，過O作AB平行線為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，連結(jié)OC，則PCO為PC與面ABCD所成的角，PCO30°，設(shè)ADa，則POa，OCa，CDa，P(0,0，a)，C(a，a,0)，E，設(shè)平面PCE的一個法向量為n(1，y，z)，則，n，又平面DEC的一個法向量為(0,0，a)，cos，n，二面角PCED為45°.(2)D(0，0)，則(a,0,0)，D到面PCE的距離da.a2，a，當(dāng)AD時，點D到平面PCE的距離為2.20(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐SABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，且O到AB、AD的距離分別為2和1.(1)求證：·是定值；(2)已知P是SC的中點，且SO3，問在棱SA上是否存在一點Q，使異面直線OP與BQ所成的角為90°？若存在，請給出證明，并求出AQ的長；若不存在，請說明理由解析：(1)證明：在SDC內(nèi)，作SECD交CD于E，連結(jié)OE.SO平面ABCD，SOCD.CD平面SOE，CDOE，OEAD，DE1，從而CE3.··|cosSCD|12，·是定值(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)S所在直線為z軸，以過O且平行于AD的直線為x軸，以過O且平行于AB的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系于是，A(2，1,0)，B(2,3,0)，C(2,3,0)，S(0,0,3)，P.設(shè)點Q(x，y，z)，則存在使(這是關(guān)鍵！將點的坐標(biāo)用一個變量表示)，即(x2，y1，z)(2,1,3)，即，即.令··(2，4,3)860，得.由0<<1知，點Q在棱SA上，且Q，|.存在一點Q使OP與BQ所成角為90°，且AQ的長為.21(本小題滿分12分)在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M為AB的中點試問在線段SB上是否存在一點N，使得二面角NCMB的余弦值為？解析：取AC的中點O，連結(jié)OS，OB，SASC，ABBC，ACSO且ACBO，平面SAC平面ABC，SO平面ABC，SOBO.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O xyz，設(shè)N到直線OS的距離為a則A(2,0,0)，B(0,2，0)，C(2，0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N.于是(3，0)，.設(shè)n(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則，取x1，則y，z，n.又(0,0,2)為平面ABC的一個法向量，于是有cosn，解得a，即N(0，)，所以，N為SB的中點時，二面角NCMB的余弦值為.點評：向量既能體現(xiàn)“數(shù)”的運算性質(zhì)，又具有“形”的直觀特征因此，它是“數(shù)”與“形”合理轉(zhuǎn)化的橋梁和紐帶，是解決平行、垂直、角和距離的有效工具用向量解決立體幾何中的探索性問題時，只要能合理地分析空間圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系，選擇合理的基本向量，準(zhǔn)確表示出相關(guān)向量，就能使幾何問題代數(shù)化、復(fù)雜問題簡單化、邏輯推理運算化22(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面是矩形且AD2，ABPA，PA底面ABCD，E是AD的中點，F(xiàn)在PC上(1)求F在何處時，EF平面PBC；(2)在(1)的條件下，EF是否是PC與AD的公垂線段？若是，求出公垂線段的長度；若不是，說明理由；(3)在(1)的條件下，求直線BD與平面BEF所成的角解析：(1)以A為坐標(biāo)原點，以AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0，)，A(0,0,0)，B(0，0)，C(2，0)，D(2,0,0)，E(1,0,0)F在PC上，可令，設(shè)F(x，y，z)，(2,0,0)，(2，)，(x1，y，z)，EF平面PBC，·0且·0.又，可得，x1，yz，故F為PC的中點(2)由(1)可知 EFPC且EFBC，即EFAD，EF是PC與AD的公垂線段，其長為|1.(3)由(1)可知.又·(2，)·(1，0)0，.為平面BEF的法向量，而(2，0)，設(shè)BD與平面BEF所成角為，則sincos，arcsin.故BD與平面BEF所成角為arcsin.