2020版高中數(shù)學(xué) 綜合能力測(cè)試題1 新人教B版選修2-1

綜合能力測(cè)試題一時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，把正確的選項(xiàng)填在答題卡中)1“ab”是“直線(xiàn)yx2與圓(xa)2(yb)22相切”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件答案A解析圓心(a，b)，半徑r，若ab，則圓心(a，b)到直線(xiàn)yx2的距離dr.直線(xiàn)與圓相切，若直線(xiàn)與圓相切則，此時(shí)ab或ab4，是充分不必要條件，故應(yīng)選A.2設(shè)命題甲為“點(diǎn)P的坐標(biāo)適合方程F(x，y)0”；命題乙為：“點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上；命題丙為：“點(diǎn)Q的坐標(biāo)不適合方程F(x，y)0”；命題丁為：“點(diǎn)Q不在曲線(xiàn)C上”，已知甲是乙的必要條件，但不是充分條件，那么()A丙是丁的充分條件，但不是丁的必要條件B丙是丁的必要條件，但不是丁的充分條件C丙是丁的充要條件D丙既不是丁的充分條件，也不是丁的必要條件答案A解析由已知條件，得“乙甲”，即“點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)適合方程F(x，y)0”，它的逆否命題是：“若點(diǎn)P的坐標(biāo)不適合方程F(x，y)0，則點(diǎn)P不在曲線(xiàn)C上”，即“丙丁”3給出下列關(guān)于互不相同的直線(xiàn)m，l，n和平面，的四個(gè)命題： m，lA，點(diǎn)Am，則l與m不共面；m，l是異面直線(xiàn)，l，m，且nl，nm，則n；若l，m，則lm；若l，m，lmA，l，m，則.其中為假命題的是()ABCD答案C解析逐一驗(yàn)證由異面直線(xiàn)的判定定理得l與m為異面直線(xiàn)，故正確由線(xiàn)面垂直的判定定理知正確l可能與m相交或異面，故錯(cuò)誤由線(xiàn)面垂直的判定定理得，故正確，故選C.4設(shè)P為雙曲線(xiàn)x21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|PF2|32，則PF1F2的面積為()A6 B12C12 D24答案B解析|PF1|PF2|32，又有|PF1|PF2|2，|PF1|6，|PF2|4，又|F1F2|2c2，(2)26242，F(xiàn)1PF290°，SPF1F2×6×412.5.已知以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線(xiàn)xy40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A3 B2C2 D4答案C解析由題意c2，焦點(diǎn)在x軸上，故該橢圓方程為1，與xy40聯(lián)立方程組，令0，解得a.6設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在y軸上，又拋物線(xiàn)的點(diǎn)P(k，2)與點(diǎn)F的距離為4，則k等于()A4 B4或4C2 D2或2答案B解析由題設(shè)條件可設(shè)拋物線(xiàn)方程為x22py(p>0)，又點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，則k24p，|PF|424，即p4，k±4.7設(shè)集合M(x，y)|x2y21，xR，yR，N(x，y)|x2y0，則集合MN中元素的個(gè)數(shù)為()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)答案B8若PO平面ABC，O為垂足，ABC90°，BAC30°，BC5，PAPBPC10，則PO的長(zhǎng)等于()A5 B5C10 D10答案B9已知圓x2y21，點(diǎn)A(1,0)，ABC內(nèi)接于圓，且BAC60°，當(dāng)BC在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BC中點(diǎn)的軌跡方程是()Ax2y2 Bx2y2Cx2y2(x<) Dx2y2(x<)答案D10在正方體ABCDA1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的是()()； ()；()2； ().A BC D答案A11如圖所示，在直二面角l中，A，Bl，AC，ACl，BD，BDl，|AC|6，|AB|8，|BD|24，則線(xiàn)段CD的長(zhǎng)是()A25 B26C27 D28答案B解析ACAB，BDAB，·0，·0，·0，|2|2676，|26.12在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)P(2cosx1,2cos2x2,0)和點(diǎn)Q(cosx，1,3)，其中x0，若直線(xiàn)OP與直線(xiàn)OQ垂直，則x的值為()A. B.C.或 D.或答案C解析由題意得，得cosx(2cosx1)(2cos2x2)0，利用cos2x2cos2x1，化簡(jiǎn)后得2cos2xcosx0，于是cosx0或cosx，因?yàn)閤0，所以x或.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每空4分，共16分，把正確答案填在題中橫線(xiàn)上)13命題“若a>b，則3a>3b1”的否命題為_(kāi)答案若ab，則3a3b1解析“a>b”的否命題是“ab”，“3a>3b1”的否命題是“3a3b1”原命題的否命題是“若ab，則3a3b1”14如果過(guò)兩點(diǎn)A(a,0)和B(0，a)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)yx22x3沒(méi)有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，)解析過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)為：xya與拋物線(xiàn)yx22x3聯(lián)立得x2xa30，因?yàn)橹本€(xiàn)x與拋物線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，則方程無(wú)解即14(a3)<0，解之a(chǎn)<.15在正三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角的大小是_答案解析取AC中點(diǎn)E，連接BE，則BE平面ACC1A1，BC1E為線(xiàn)面角由已知得BE，BC1，sinBC1E，BC1E.16與橢圓1有公共焦點(diǎn)，且兩條漸近線(xiàn)互相垂直的雙曲線(xiàn)方程為_(kāi)答案x2y22三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1，分別求出平面ABC1D1和平面A1B1CD的一個(gè)法向量，并證明這兩個(gè)平面互相垂直解析設(shè)D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)則(0,1,0)，(1,0,1)設(shè)平面ABC1D1的一個(gè)法向量為n1(x，y，z)，則n1·y0，n1·xz0，不妨令x1，則z1.故n1(1,0,1)，設(shè)平面A1B1CD的一個(gè)法向量為n2，同理，可求n2(1,0,1)，n1·n2(1,0,1)·(1,0,1)1010，n1n2.平面ABC1D1平面A1B1CD.18(本小題滿(mǎn)分12分)已知條件p：|5x1|>a和條件q：>0，請(qǐng)選取適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)a的值，分別利用所給的兩個(gè)條件作為A，B構(gòu)造命題：若A則B.使得構(gòu)造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題，并說(shuō)明為什么這一命題是符合要求的命題解析已知條件p即5x1<a或5x1>a，x<或x>.已知條件q即2x23x1>0，x<或x>1.令a4，則p即x<或x>1，此時(shí)必有pq成立，反之不然，故可以選取的一個(gè)實(shí)數(shù)是a4，A為p，B為q，對(duì)應(yīng)的命題是“若A則B”由以上過(guò)程可知，這一命題的原命題為真命題，但它的逆命題為假命題19(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)命題p：函數(shù)f(x)lg(ax2xa)的定義域?yàn)镽；命題q：不等式<1ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析命題p為真命題f(x)lg(ax2xa)的定義域?yàn)镽ax2xa>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立a>2，所以命題p為真命題a>2.命題q為真命題1<ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立a>對(duì)一切正實(shí)數(shù)x均成立，由于x>0，所以>1，所以1>2，所以<1，所以命題q為真命題a1.由題意知p與q有且只有一個(gè)是真命題當(dāng)p真q假時(shí)，a不存在；當(dāng)p假q真時(shí)，a1,2綜上知a1,220(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)(1)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且·，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線(xiàn)l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍解析(1)由題意得a2，b1，c，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)設(shè)P(x，y)(x>0，y>0)，則·(x，y)·(x，y)x2y23，聯(lián)立解得P(1，)(2)顯然k0不滿(mǎn)足題設(shè)條件可設(shè)直線(xiàn)l的方程為ykx2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立x24(kx2)24，(14k2)x216kx120，x1x2，x1x2，由(16k)24·(14k2)·12>0,16k23(14k2)>0,4k23>0，得k2>.又AOB為銳角，cosAOB>0，·>0，·x1x2y1y2>0.又y1y2(kx12)(kx22) k2x1x22k(x1x2)4，x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)·2k·()44>0，0<k2<4.綜合可知<k2<4，k的取值范圍是(2，)(，2)21(本小題滿(mǎn)分12分)(2020·天津理，20)已知橢圓1(ab0)的離心率e，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)Q(0，y0)在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，且·4.求y0的值解析(1)解：由e，得3a24c2，再由c2a2b2，得a2b.由題意可知×2a×2b4，即ab2.解方程組得a2，b1，所以橢圓的方程為y21.(2)由(1)可知A(2,0)，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線(xiàn)l的斜率為k，則直線(xiàn)l的方程為yk(x2)于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組由方程組消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1，從而y1.設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為.以下分兩種情況：當(dāng)k0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y軸，于是(2，y0)，(2，y0)，由·4，得y0±2.當(dāng)k0時(shí)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為y.令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)·2x1y0(y1y0)4，整理得7k22，故k±，所以y0±.綜上，y0±2或y0±.22(本小題滿(mǎn)分14分)如圖所示，四棱錐SABCD的底面是矩形，ABa，AD2，SA1，且SA底面ABCD，若邊BC上存在異于B，C的一點(diǎn)P，使得.(1)求a的最大值；(2)當(dāng)a取最大值時(shí)，求異面直線(xiàn)AP與SD所成角的大?。?3)當(dāng)a取最大值時(shí)，求平面SCD的一個(gè)單位法向量n0及點(diǎn)P到平面SCD的距離解析(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)|x，則A(0,0,0)，S(0,0,1)，D(0,2,0)，P(a，x,0)，(a，x,1)，(a,2x,0)，·0，即a2x(2x)0.即a2x22x(x1)21，則x1(0,2)時(shí)，a的最大值為1.(2)由(1)可知，當(dāng)a取最大值時(shí)，(1,1,0)，(0,2，1)，cos<，>.異面直線(xiàn)AP與SD所成角的大小為arccos.(3)設(shè)平面SCD的法向量為n(x，y，z)，則C(1,2,0)，(1,2，1)，(0,2，1)，取y1，則z2，x0，n(0,1,2)，n0(0,1,2)(0，)P到平面SCD的距離d等于在n0上的射影長(zhǎng)，d|cos<，n0>|·n0|(0,1,0)·(0，)|.