2020版高中數(shù)學(xué) 綜合能力測試題2 新人教B版選修2-1

綜合能力測試題二時間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，每小題有4個選項(xiàng)，其中有且僅有一個是正確的，把正確的選項(xiàng)填在答題卡中)1已知命題“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，那么在命題：M的元素都不是P的元素；M中有不屬于P的元素；M中有P的元素；M中元素不都是P的元素中，真命題的個數(shù)為()A1個B2個C3個D4個答案B解析若命題P錯誤，則¬P正確，命題正確，故選B.2設(shè)直線l1、l2的方向向量分別為a(2，2，2)，b(2,0,4)，則直線l1、l2的夾角是()AarccosBarcsinCarcsinDarccos()答案A解析cosa，b，l1，l2夾角為arccos()即arccos為l1，l2的夾角3在橢圓1上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2為直角三角形，這樣的點(diǎn)P有()A2個B4個C6個D8個答案C解析以F1或F2為直角頂點(diǎn)時，符合條件的點(diǎn)P有4個；以P為直角頂點(diǎn)時，由于e，符合條件的點(diǎn)P有2個，故符合條件的點(diǎn)P共有6個4設(shè)A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離|CM|等于()A.B.C.D.答案C解析A(3,3,1)，B(1,0,5)，中點(diǎn)坐標(biāo)為M(2，3)|CM|，選C.5(2020·浙江文，6)設(shè)0<x<，則“xsin2x<1”是“xsinx<1”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析本題考查了充要條件及基本不等式0<x<，0<sinx<10<sin2x<sinx<1xsin2x<xsinx則x·sinx<1x·sin2x<1成立，故選B.6已知A(1,2,1)，B(1,3,4)，P為AB的中點(diǎn)，則|等于()A5B.C.D.答案B解析P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，由距離公式得|.7已知橢圓C的方程為1(m>0)，如果直線yx與橢圓的一個交點(diǎn)M在x軸上的射影恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則m的值為()A1B.C2D2答案D解析F點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，由1得m48m21280，m28，m2.故選D.8二面角l為120°，A，B是棱上兩點(diǎn)，AC，BD分別在，內(nèi)，ACl，BDl，且ABACBD1，則CD長為()A.B.C2D.答案C解析，()2()2()2()22·2·2·.又<，>90°，<，>60°，<，>90°，()24，|2.9設(shè)(，)，則關(guān)于x，y的方程1所表示的曲線為()A實(shí)軸在y軸上的雙曲線B實(shí)軸在x軸上的雙曲線C長軸在y軸上的橢圓D長軸在x軸上的橢圓答案A解析(，)，sin<0，cos>0原方程可化為1，即1它表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線故選A.10設(shè)A1，A2是橢圓1的長軸兩個端點(diǎn)，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為()A.1B.1C.1D.1答案C解析設(shè)交點(diǎn)P(x，y)，A1(3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，y0)，A1，P1，P共線，.A2，P2，P共線，.解得x0，y0，代入1，化簡得1.11雙曲線x2y21的左焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在雙曲線左支下半支上(不含頂點(diǎn))，則直線PF1的斜率為()A(，1)(1，)B(，0)(1)C(，1)(0，)D(，0)(0，)答案B解析當(dāng)直線的斜率k1時，直線與雙曲線漸近線平行，與雙曲線右支上半支相交，和左支下半支無交點(diǎn)，排除C，D.當(dāng)直線傾斜角為鈍角時，<k<0，和左支下半支相交12如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，則AB1與C1B所成角的大小為()A60° B90°C105° D75°答案B解析設(shè)a，b，c，且令BB11，則a，b120°，ac，bc，·(ac)(bc)a·ba·cb·cc2××cos120°10，應(yīng)選B.二、填空題(本大題共4個小題，每空4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為2，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_答案解析因?yàn)榈酌鎸蔷€長為2，所以底面邊長為2，從而利用體積得四棱錐的高為3，所以二面角的正切值為，所以側(cè)面與底面所成二面角的大小為，本題也可用向量知識求解14(2020·天津文，13)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點(diǎn)與拋物線y216x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為_答案1解析本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)由拋物線y216x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，得c4.又雙曲線的漸近線方程為y±x得ba，又c2a2b2，解得a2，b2.15設(shè)P是曲線y24(x1)上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,1)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值是_答案解析如右圖，由定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)P到F(2,0)的距離，即點(diǎn)P到點(diǎn)A與到y(tǒng)軸的距離之和等于|PA|PF|，又|PA|PF|AF|，即A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時最小，即最小值為|AF|.16已知A(，0)，B是圓F：(x)2y24(F為圓心)上一動點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動點(diǎn)P的軌跡方程為_答案x2y21解析由已知，|AP|PF|BF|2，由橢圓定義知，P點(diǎn)軌跡為橢圓設(shè)為1(a>0，b>0)則a1，c，b，故橢圓為x21.三、解答題(本大題共6個大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分12分)已知ABC，A(2,0)，B(0，2)，第三個頂點(diǎn)C在曲線y3x21上移動，求ABC的重心的軌跡方程解析設(shè)ABC重心為G(x，y)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x1，y1)由重心坐標(biāo)公式得代入y13x1，得3y23(3x2)21.y9x212x3即為所求軌跡方程18(本小題滿分12分)已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x<0若命題AB為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析設(shè)全集Um|(4m)24(2m6)0m|m1或m，若方程x24mx2m60的兩根x1、x2均為非負(fù)，則m，m|m關(guān)于U的補(bǔ)集為m|m1，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m|m119(本小題滿分12分)四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，BC90°，AB4，CD1，點(diǎn)M在PB上，且PB4PM，PB與平面ABC成30°角(1)求證：CM平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PAD.解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.(1)PC平面ABCD，PBC為PB與平面ABC所成的角，PBC30°.|PC|2，|BC|2，|PB|4，得D(0,1,0)、B(2，0,0，)、A(2，4,0)、P(0,0,2)，又|PB|4|PM|，|PM|1，M(，0，)，(，0，)，(0，1,2)，(2，3,0)，設(shè)N為PA上一點(diǎn)，則存在x，y使xy(其中x，yR)，則x(0，1,2)y(2，3,0)(2y,3yx,2x)，由N在PA上得xy1又2y2x，聯(lián)立解得x，y，此時，共線，共面C平面PAD，CM平面PAD.(2)作BEPA于E，|PB|AB|4，E為PA的中點(diǎn)，E(，2,1)，(，2,1)·(，2,1)·(2，3,0)0，·(，2,1)·(0，1,2)0，BEDA，又BEDP，BE平面PAD，由于BE平面PAB，則平面PAB平面PAD.20(本小題滿分12分)已知拋物線y22px(p>0)上有兩動點(diǎn)A，B及一個定點(diǎn)M(x0，y0)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列(1)求證線段AB的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)Q(x0p,0)；(2)若|MF|4，|OQ|6(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，求此拋物線的方程解析(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列，2|MF|AF|BF|，2(x0)x1x2，即2x0x1x2，線段AB的垂直平分線的方程為y(xx0)，即y(xx0p)故線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)Q(x0p,0)(2)解：由|OQ|6，得x0p6，即x06p.又|MF|4，x1x22|MF|8，x1x28p，8p2(6p)，p4，所求拋物線的方程為y28x.21(本小題滿分12分)如圖所示，點(diǎn)A、B分別為橢圓1長軸的左右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PAPF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值解析(1)由已知可得點(diǎn)A(6,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，則(x6，y)，(x4，y)由已知得，則：2x29y180得x或x6，由于y>0，只能x，于是y，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)(2)直線AP的方程是xy60設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m,0)，則M到直線AP的距離是，于是|m6|，又6m6，解得m2.橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離是d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6，所以當(dāng)x時d取最小值.22(本小題滿分14分)如圖所示，已知動點(diǎn)P與雙曲線1的兩個焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值，且cosF1PF2的最小值是 .(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若已知點(diǎn)D(0,3)，M、N在動點(diǎn)P的軌跡上，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍解析(1)由題意得c25，設(shè)|PF1|PF2|2a>2，由余弦定理得cosF1PF21，又|PF1|·|PF2|()2a2，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|時，|PF1|·|PF2|取最大值此時cosF1PF2取得最小值為1，令1，解得a29，又c，b24，故所求P的軌跡方程為1.(2)設(shè)N(s，t)，M(x，y)，則由，可得(x，y3)(s，t3)，故xs，y3(t3)，M、N在動點(diǎn)P的軌跡上，1，且1，消去s可得12，解得t.又由|t|2，即22，解得5，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，5