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新課標(biāo)2020高三數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí):專題八《數(shù)形結(jié)合的思想》

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新課標(biāo)2020高三數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí):專題八《數(shù)形結(jié)合的思想》

【專題八】數(shù)形結(jié)合的思想【考情分析】縱觀多年來的高考試題,巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題,可起到事半功倍的效果,數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。 巧妙的運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想,不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑,而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越,要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí),要爭取胸中有圖見數(shù)想圖,以開拓自己的思維視野。其思想思維與方法也是高考中重點(diǎn)考察的思維能力之一。【知識(shí)交匯】1、知識(shí)要點(diǎn)概述數(shù)與形是數(shù)學(xué)中和兩個(gè)最古老的,也是最基本的對(duì)象,是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的問題,是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石,數(shù)學(xué)的所有問題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的:每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系,而數(shù)量關(guān)系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述.因此,在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,將數(shù)的問題利用形來觀察,揭示其幾何意義,而形的問題借助數(shù)去思考,分析其代數(shù)含義,使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙機(jī)智地結(jié)合越來,并充分利用這種“結(jié)合”,尋找解題思路,使問題得到解決,簡言之,就是把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合起來加以考察.這種處理數(shù)學(xué)問題的方法,稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法.數(shù)形結(jié)合,不僅是一種重要的解題方法,而且也是一種重要的思維方法,因此,它在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位.在高考中,充分利用選擇題、填空題型的特點(diǎn)(這兩類題型只須寫出結(jié)果而無需寫出解答過程),為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便,能突出考查學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識(shí),解答題中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查則以由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化為主.2、解題方法指導(dǎo)1.轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑:通過坐標(biāo)系的建立,引入數(shù)量化靜為動(dòng),以動(dòng)求解.轉(zhuǎn)化,通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),把問題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度來考慮.如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等.構(gòu)造,比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形,構(gòu)造一個(gè)函數(shù),構(gòu)造一個(gè)圖表等.2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法:“由形化數(shù)”:就是借助所給的圖形,仔細(xì)觀察研究,揭示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,反映幾何圖形內(nèi)在的屬性.“由數(shù)化形”:就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形,使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,揭示出數(shù)與式的本質(zhì)特征.“數(shù)形轉(zhuǎn)換”:就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立,又統(tǒng)一的特性,觀察圖形的的形狀,分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu),引起聯(lián)想,適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換,化抽象為直觀及揭示隱含的數(shù)量關(guān)系.【思想方法】一、 利用數(shù)形結(jié)合解決集合問題【例1】評(píng)注:對(duì)于集合中各種概念、運(yùn)算的理解,直接從自然語言和符號(hào)語言上理解,往往難以搞清其本質(zhì);若借助簡單的韋恩圖表示兩集合間的關(guān)系,可使問題變得直觀、具體,易于認(rèn)清集合的特征,便于準(zhǔn)確、快速地解決問題。這就是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,顯然準(zhǔn)確地將集合問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系是關(guān)鍵。解題時(shí)常借助韋恩圖或用數(shù)軸、簡單函數(shù)的圖像等形來集合問題,往往可以把問題中的條件直觀化、形象化,從而使原題靈活、簡捷、準(zhǔn)確地獲解。2. 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用【例2】已知函數(shù)(1) 試求b,c所滿足的關(guān)系式;(2) 若b=0,方程有唯一解,求a的取值范圍;(3) 若b=1,集合,試求集合A.【解析】xOy(1)由,得b、c所滿足的關(guān)系式為(2)由,可得方程,即,可化為,令,則由題意可得,在上有唯一解,令,由,可得,當(dāng)時(shí),由,可知是增函數(shù);當(dāng)時(shí),由,可知是減函數(shù)故當(dāng)時(shí),取極大值由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)或時(shí),方程有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解故所求的取值范圍是或 (3)由,可得由且且且當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí)(),;當(dāng)時(shí),且;當(dāng)時(shí), 評(píng)注:函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)知識(shí)的主要內(nèi)容,它的地位和作用非常重要,數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題時(shí)尤為重要。函數(shù)的圖像是表示函數(shù)關(guān)系的方式之一,它是從“形”的方面來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律,形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性,它是探求解題途徑,獲得答案的重要工具。利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖像來解決代數(shù)問題,有利于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化聯(lián)想能力、觀察能力,如利用某些函數(shù)表達(dá)式所具有的特征,與幾何中的距離、直線的斜率、線段的長度(兩點(diǎn)間的距離)等聯(lián)系在一起,構(gòu)造幾何模型解決問題,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性并提高創(chuàng)造性。3. 數(shù)形結(jié)合在線性規(guī)劃中的應(yīng)用【例3】學(xué)校有線網(wǎng)絡(luò)同時(shí)提供A、B兩套校本選修課程。A套選修課播40分鐘,課后研討20分鐘,可獲得學(xué)分5分;B套選修課播32分鐘,課后研討40分鐘,可獲學(xué)分4分。全學(xué)期20周,網(wǎng)絡(luò)每周開播兩次,每次均為獨(dú)立內(nèi)容。學(xué)校規(guī)定學(xué)生每學(xué)期收看選修課不超過1400分鐘,研討時(shí)間不得少于1000分鐘。兩套選修課怎樣合理選擇,才能獲得最好學(xué)分成績?【解析】設(shè)選擇A、B兩套課程分別為X、Y次,z為學(xué)分,則 .目標(biāo)函數(shù):.由方程組解得點(diǎn)A(15,25) , B(25,12.5)由于目標(biāo)函數(shù)的斜率與直線AB的斜率相等,因此在圖中陰影線段AB上的整數(shù)點(diǎn)A(15,25)、C(19,20)、D(23,15)都符合題意,使得學(xué)分最高為175分。4. 數(shù)形結(jié)合在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用【例4】例4 若函數(shù)在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(6,+)內(nèi)為增函數(shù),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析 這是一個(gè)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問題首先把函數(shù)的增、減性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)來研究求f(x)的導(dǎo)數(shù),得f (x)= x2ax + a1于是將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)x2ax + a1在區(qū)間(1,4)內(nèi)為負(fù),在區(qū)間(6,+)內(nèi)為正的充要條件,而這個(gè)問題則完全是二次函數(shù)的問題,解決時(shí)必須借助圖形解 對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),得 f (x)= x2ax + a1,由此得出方程x2ax + a1 = 0的兩個(gè)根為x = 1和x = a1,然后再借助圖形進(jìn)行研究顯然,函數(shù)f (x)= x2ax + a1是開口向上,與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)的拋物線(1)當(dāng)a11時(shí),函數(shù)f (x)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)a1在1的左側(cè),在區(qū)間(1,4)內(nèi)f (x)0,如圖所示,那么f(x)在(1,4)內(nèi)為增函數(shù),不合題意(2)當(dāng)1a14時(shí),函數(shù)f (x)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a1在1與4之間,在區(qū)間(1,4)內(nèi)f (x)0不恒成立,如圖所示,那么f(x)在(1,4)內(nèi)不為減函數(shù),不合題意a-1Oxy1234a-1Oxy164a-1Oxy164a-1Oxy164(3)當(dāng)4a16時(shí),函數(shù)f (x)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a1在區(qū)間 4,6 上,在區(qū)間(1,4)內(nèi)f (x)0;在區(qū)間(6,+)內(nèi)f (x)0,如圖所示那么f(x)在(1,4)內(nèi)為減函數(shù),在(6,+)內(nèi)為增函數(shù)此時(shí)5a7,滿足題意(4)當(dāng)a16時(shí),函數(shù)f (x)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在6的右側(cè),在區(qū)間(6,+)內(nèi)f (x)0不恒成立,如圖所示,那么f(x)在(6,+)內(nèi)為增函數(shù)不成立,不合題意綜上,知5a7為所求評(píng)注 對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究,轉(zhuǎn)化為對(duì)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的研究,實(shí)際上就是研究函數(shù)值正負(fù)的分布這種研究過程往往沒有現(xiàn)成的定理可以使用,而必須由圖象的直觀性得出結(jié)論在解答書寫的過程中,一般不必畫出函數(shù)圖象,但結(jié)論的得出又必須依賴于函數(shù)圖象,這是在解答題中考查數(shù)形結(jié)合思想的一種形式5. 數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應(yīng)用【例5】已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求證:.證明:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(cos,sin)與點(diǎn)B(cos,sin)是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個(gè)交點(diǎn)如圖.從而:AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos()又單位圓的圓心到直線l的距離由平面幾何知識(shí)知OA2(AB)2=d2即.評(píng)注:善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義,還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義,這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn):其一數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性,將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟知的數(shù)學(xué)問題,轉(zhuǎn)化前后的問題必須是等價(jià)的;其二,利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性,像判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,轉(zhuǎn)化成圖形后要保證“數(shù)”的精確性,才能得出正確結(jié)論。有些問題所對(duì)應(yīng)的圖形不唯一,要根據(jù)不同的情況畫出相應(yīng)的圖形后,再進(jìn)行討論求解??傊?,要讓學(xué)生真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓,必須有雄厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技巧,如果教師只講解幾個(gè)典型習(xí)題并把學(xué)生講懂了,就認(rèn)為學(xué)生領(lǐng)會(huì)了數(shù)形結(jié)合這一思想方法,是偏面的。教師要有做好長期滲透的思想,平時(shí)要求學(xué)生認(rèn)真上好每一堂課,學(xué)好新教材的系統(tǒng)知識(shí),掌握各種函數(shù)的圖像特點(diǎn),理解各種幾何圖形的性質(zhì)。教師講題時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的具體情況,多角度的觀察和理解問題,揭示問題的本質(zhì)聯(lián)系,利用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊,用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算,從而來解決問題。教學(xué)中要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略,通過多渠道來溝通知識(shí)間的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,并及時(shí)總結(jié)數(shù)形結(jié)合在解題中運(yùn)用的規(guī)律性,來訓(xùn)練學(xué)生的思維能力,提高理解和運(yùn)用的水平。只有這樣,不斷提高、深化數(shù)形結(jié)合運(yùn)用的能力?!緦n}演練】1曲線y=1+ (2x2)與直線y=r(x2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)r的取值范圍 .2. 討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).3.若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4求直線的表達(dá)式4. 如果,求的取值范圍.【參考答案】1. 解析:方程y=1+的曲線為半圓,y=r(x2)+4為過(2,4)的直線.答案:(2. 解:作出函數(shù)的圖象,如右圖所示,函數(shù)為水平直線,由圖形可知:當(dāng)時(shí),解的個(gè)數(shù)是; 當(dāng)或時(shí),解的個(gè)數(shù)是; 當(dāng)時(shí),解的個(gè)數(shù)是; 當(dāng)時(shí), 解的個(gè)數(shù)為3;圖23. 解:結(jié)合圖2,由題意可得: 解得:故所求表達(dá)式是4. 解:由于表示以(4,3)為圓心,3為半徑的圓面,如圖3所示,由于到圓心(4,3)的距離為,當(dāng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在上述圓面變動(dòng)時(shí),故.

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