2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章《概率與統(tǒng)計(jì)》（理）自測題

第十二章概率與統(tǒng)計(jì)名師檢測題時間：120分鐘分值：150分第卷(選擇題共60分)一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1某大型超市銷售的乳類商品有四種：液態(tài)奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉，且液態(tài)奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有40種、10種、30種、20種不同的品牌，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進(jìn)行三聚氰胺安全檢測若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的酸奶與成人奶粉品牌數(shù)之和是()A4B5C6D7解析：乳類商品品牌總數(shù)為40103020100(種)，用分層抽樣方法抽取一個容量為20的樣本，則應(yīng)抽取酸奶和成人奶粉：20×6(種)，故選C.答案：C2為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲18歲的男生體重(kg)，得到頻率分布直方圖如下圖，則這100名學(xué)生中體重在56.5,64.5內(nèi)的學(xué)生人數(shù)是()A20 B30 C40 D50解析：依題意，體重在56.5,64.5范圍內(nèi)的頻率為(0.03×20.05×20.05×20.07×2)0.4，所以這100名學(xué)生中體重在56.5,64.5內(nèi)的學(xué)生人數(shù)是100×0.440，選擇C.答案：C3在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(2，2)(>0)，若在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4，則在(，4)內(nèi)取值的概率為()A0.1 B0.2C0.8 D0.9解析：依題意P(0<<2)0.4，P(0<<2)0.50.50.4，所以0.9，所以P(<4)0.9，選D.答案：D4在某學(xué)校組織的一次數(shù)學(xué)模擬考試成績統(tǒng)計(jì)中，工作人員采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個容量為50的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)若每個學(xué)生的成績被抽到的概率均為0.1，則可知這個學(xué)校參加這次數(shù)學(xué)考試的人數(shù)是()A100 B500C225 D600解析：設(shè)這個學(xué)校參加這次數(shù)學(xué)考試的人數(shù)為x，由每個學(xué)生的成績被抽到的概率均為0.1得P0.1，x500，故選B.答案：B5某校數(shù)學(xué)教研組為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高一、高二、高三抽取的人數(shù)分別是()A15,16,19 B15,17,18C14,17,19 D15,16,20解析：依題意，高一、高二、高三抽取的人數(shù)分別是×60015，×68017，×72018，選B.答案：B6設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,22)，則P(2<<3)可以被表示為()A1P(<1) B.CP(0<<1) D.P(<1)解析：由題意得該正態(tài)曲線關(guān)于直線x2對稱，因此結(jié)合圖形可知，P(2<<3)P(1<<3)12P(<1)，選B.答案：B7為了解一片大約10000株樹木的生長情況，隨機(jī)測量了其中100株樹木的底部周長(單位：cm)根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出的樣本頻率分布直方圖如下圖所示，那么在這片樹木中，底部周長小于110 cm的樹大約是()A3000株 B6000株C7000株 D8000株解析：底部周長小于110 cm的頻率為：(0.010.020.04)×100.7，所以底部周長小于110 cm的樹大約是：10000×0.77000，故選C.答案：C8一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c(0,1)，已知他投籃一次得分的期望為2，則的最小值為()A. B. C. D.解析：由已知得3a2b0×c2，即3a2b2，其中0a，0b1.又32 ，且當(dāng)a2b時取等號，即的最小值為，選D.答案：D9甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下射手甲擊中環(huán)數(shù)18910概率P0.20.60.2射手乙擊中環(huán)數(shù)28910概率P0.40.20.4則兩名射手的射擊水平是()A甲比乙優(yōu)秀 B乙比甲優(yōu)秀C甲、乙水平相當(dāng) D不能比較解析：E18×0.29×0.610×0.29，E28×0.49×0.210×0.49，D1(89)2×0.2(99)2×0.6(109)2×0.20.4，D2(89)2×0.4(99)2×0.2(109)2×0.40.8，由E1E29，D10.4D20.8可知甲更出色答案：A10的概率密度函數(shù)f(x) e，下列錯誤的是()AP(1)P(1)BP(11)P(11)Cf(x)的漸近線是x0D1N(0,1)解析：由題知：N(1,1)，函數(shù)圖象對稱軸是x1，所以A正確又因?yàn)殡S機(jī)變量落在某個區(qū)間上的概率是該區(qū)間上概率密度曲線下方的面積，而在一點(diǎn)上的概率為0，即P(1)P(1)0，故P(11)P(1)P(11)P(1)P(11)，所以，B正確；N(0,1)，即1N(0,1)所以，D正確f(x)的漸近線是x軸，即y0，所以，只有C錯誤答案：C11N(1，2)，且P(31)0.4，則P(1)等于()A0.1 B0.2 C0.3 D0.4解析：因?yàn)镹(1，2)，N(0,1)，所以，P(31)P(1)P(3)(0)0.50.4即0.1，而P(1)1P(1)110.1.答案：A12節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元，銷售價(jià)每束5元；節(jié)后賣不出的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布，若進(jìn)這種鮮花500束，則期望利潤是()200300400500P0.200.350.300.15A.706元 B690元C754元 D720元解析：本題考查期望的概念節(jié)日期間預(yù)售的量E200×0.2300×0.35400×0.3500×0.154010512075340(束)，則期望的利潤51.6(500)500×2.53.4450E3.4E4503.4×340450706元故期望利潤為706元故選A.答案：A第卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確答案填在題中橫線上)13(2020·北京)從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，由圖中數(shù)據(jù)可知a_.若要從身高在120,130)，130,140)，140,150三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動，則從身高在140,150內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為_解析：因?yàn)橹狈綀D中的各個矩形的面積之和為1，所以有10×(0.0050.035a0.0200.010)1，解得a0.030.由直方圖可知三個區(qū)域內(nèi)的學(xué)生總數(shù)為100×10×(0.0300.0200.010)60人其中身高在140,150內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為10人，所以從身高在140,150范圍內(nèi)抽取的學(xué)生人數(shù)為×103人答案：0.030314已知(1)0.8413，正態(tài)總體N(2,9)在區(qū)間(1,5)內(nèi)的取值概率是_解析：依題意知P(1<<5)(1)(1)(1)1(1)2(1)10.6826.答案：0.682615設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0,1)，記(x)P(<x)，給出下列結(jié)論：(0)0.5；(x)1(x)；P(|<2)2(2)1.則正確的結(jié)論的序號是_解析：依題意，(0)1(0)，(0)，正確；(x)P(<x)P(>x)1(x)，正確；P(|<2)P(2<<2)(2)(2)(2)1(2)2(2)1，正確答案：16某省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三共有學(xué)生600人，一次數(shù)學(xué)考試的成績(試卷滿分150分)服從正態(tài)分布N(100，2)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示學(xué)生考試成績在80分到100分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的，則此次考試成績不低于120分的學(xué)生約有_人解析：數(shù)學(xué)考試成績N(100，2)，作出正態(tài)分布圖，可以看出，圖象關(guān)于直線x100對稱；顯然P(80100)P(100120)；P(80)P(120)，又P(80)P(120)1P(80100)P(100120)；P(120)×；成績不低于120分的學(xué)生約為600×100人答案：100三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)(2020·全國)如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨(dú)立已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999.(1)求p；(2)求電流能在M與N之間通過的概率；(3)表示T1，T2，T3，T4中能通過電流的元件個數(shù)，求的期望解析：記Ai表示事件：電流能通過Ti，i1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一個能通過電流，B表示事件：電流能在M與N之間通過(1)1·2·3，A1，A2，A3相互獨(dú)立，P()P(1·2·3)P(1)P(2)P(3)(1p)3，又P()1P(A)10.9990.001，故(1p)30.001，p0.9.(2)BA44·A1·A34·1·A2·A3，P(B)P(A44·A1·A34·1·A2·A3)P(A4)P(4·A1·A3)P(4·1·A2·A3)P(A4)P(4)P(A1)P(A3)P(4)P(1)P(A2)P(A3)0.90.1×0.9×0.90.1×0.1×0.9×0.90.9891.(3)由于電流能通過各元件的概率都是0.9，且電流能否通過各元件相互獨(dú)立，故B(4,0.9)，E4×0.93.6.18(本小題滿分12分)某同學(xué)參加3門課程的考試假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q(p>q)，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨(dú)立記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為0123Pab(1)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；(2)求p，q的值；(3)求數(shù)學(xué)期望E.解析：事件Ai表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績”，i1,2,3.由題意知P(A1)，P(A2)p，P(A3)q.(1)由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“0”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1P(0)1.(2)由題意知P(0)P(123)(1p)(1q)，P(3)P(A1A2A3)pq.整理得pq，pq1.由p>q，可得p，q.(3)由題意知aP(1)P(A123)P(1A23)P(12A3)(1p)(1q)p(1q)(1p)q.bP(2)1P(0)P(1)P(3).E0×P(0)1×P(1)2×P(2)3×P(3).19(本小題滿分12分)一個正四面體的四個面上分別標(biāo)有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為x1、x2，記(x13)2(x23)2.(1)分別求出取得最大值和最小值時的概率；(2)求的分布列及數(shù)學(xué)期望解析：(1)擲出的點(diǎn)數(shù)x的可能取值為：1,2,3,4.則x3的可能取值分別為：2，1,0,1.于是(x3)2的所有可能取值分別為：0,1,4.因此的所有可能取值為：0,1,2,4,5,8.當(dāng)x11且x21時，(x13)2(x23)2可取得最大值8，此時，P(8)×；當(dāng)x13且x23時，(x13)2(x23)2可取得最小值0，此時，P(0)×.(2)由(1)知的所有可能取值為：0,1,2,4,5,8.P(0)P(8)；當(dāng)1時，(x1，x2)的所有取值為(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)，即P(1)；當(dāng)2時，(x1，x2)的所有取值為(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4)，即P(2)；當(dāng)4時，(x1，x2)的所有取值有(1,3)、(3,1)，即P(4)；當(dāng)5時，(x1，x2)的所有取值為(1,2)、(2,1)、(1,4)、(4,1)，即P(5).所以的分布列為：012458P即的期望E0×1×2×4×5×8×3.20(本小題滿分12分)設(shè)b、c1,2,3,4,5,6，用隨機(jī)變量表示方程2x2cxb0的實(shí)根的個數(shù)(重根按一個計(jì))(1)求方程2x2cxb0有實(shí)根的概率；(2)求的分布列和數(shù)學(xué)期望解析：(1)記“方程2x2cxb0有且僅有一個實(shí)根”為事件B，“方程2x2cxb0有兩個相異實(shí)根”為事件A.c，b分別取1到6，基本事件總數(shù)為6×636種事件B需要滿足c28b0，按序窮舉可得，c4時b2符合，其概率為P(B).事件A需要滿足c28b>0，按序窮舉可得，c3時b1；c4時b1；c5時b1,2,3；c6時b1,2,3,4.共計(jì)9種其概率為P(A).又因?yàn)锽，A是互斥事件，故所求概率PP(B)P(A).(2)由題意，的可能取值為0,1,2.P(1)，P(2)，P(0)1P(1)P(2)1.故的分布列為：012P所以的數(shù)學(xué)期望E0×1×2×.21(本小題滿分12分)冬季運(yùn)往四川災(zāi)區(qū)的一批棉衣成箱包裝，每箱5件，當(dāng)?shù)匕踩|(zhì)檢部門在運(yùn)出這批棉衣前任取3箱，然后再從每箱中任取2件棉衣進(jìn)行檢驗(yàn)，假設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品(1)求被抽檢的6件棉衣中恰有一件二等品的概率；(2)用表示被抽檢的6件棉衣中二等品的件數(shù)，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望解析：(1)設(shè)被抽檢的6件棉衣中恰有一件二等品的概率為P，則P··.(2)表示被抽檢的6件棉衣中的二等品的件數(shù)，則P(0)·；P(1)··；P(2)··；P(3)·.的分布列為：0123PE0×1×2×3×1.2.22(本小題滿分12分)一種賭博游戲，一個布袋內(nèi)裝有6個紅球與6個白球，除顏色外十二個球完全一樣，每次從袋中摸6個球，輸贏的規(guī)則為：6個全紅，贏得100元；5紅1白，贏得50元；4紅2白，贏得20元；3紅3白，輸?shù)?00元；2紅4白，贏得20元；1紅5白，贏得50元；6個全白，贏得100元只有你摸出了3紅3白才會輸100元，而對于其他六種情況，你均能贏得相應(yīng)的錢數(shù)，而且這個游戲是免費(fèi)的(注：這個游戲有時稱為“袋子”模型)(1)請解釋下面說法是否正確：用概率的語言說，這7種情況是等可能的，贏的機(jī)會為，輸?shù)臋C(jī)會僅為，摸7次有6次都應(yīng)該贏(2)很多人認(rèn)為這種游戲非常令人心動現(xiàn)在，請求出游戲者贏錢的數(shù)學(xué)期望，解釋我們是否該“心動”解析：(1)游戲中，任意摸6個球，不論紅或白，共有C126924種可能，而摸5紅1白的概率為，摸3紅3白的概率為.故輸錢的可能性約占，正是由于各種情況出現(xiàn)的概率不均等，才導(dǎo)致了人們上當(dāng)受騙現(xiàn)列出7種情況出現(xiàn)概率如下表所示.結(jié)果6個全紅5紅1白4紅2白3紅3白2紅4白1紅5白6個全 白約出現(xiàn)的概率 從表中看出，要想摸出“6個全紅”與“6個全白”的可能性各僅占0.1%，相當(dāng)于1000次中只有1次贏100元，這是一個小概率事件，根據(jù)實(shí)際推斷原理，在一次摸球中，其基本上是不會發(fā)生的，而摸到3紅3白的可能性為，即幾乎每兩次就有一次可能出現(xiàn)，幾乎有一半的機(jī)會輸?shù)?00元，這就是摸得越多，輸?shù)迷蕉嗟脑?2)為了進(jìn)一步分析，我們設(shè)隨機(jī)變量X表示贏得的錢數(shù)，則X的分布列應(yīng)為：X1005020100P0.0020.0780.4880.432所以，我們贏錢的數(shù)學(xué)期望為：EX100×0.00250×0.07820×0.488100×0.43229.34.由期望的實(shí)際意義，我們每摸一次，就平均輸?shù)?9.34元，所以我們不該“心動”