高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何綜合檢測 新人教B版選修2-1

高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何綜合檢測 新人教B版選修2-1一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1(xx·佛山高二檢測)與向量a(1，3,2)平行的一個向量的坐標(biāo)是()A(，1,1)B(1，3,2)C(，1) D(，3，2)【解析】a(1，3,2)2(，1)【答案】C2在正方體ABCDA1B1C1D1中，xy()，則()Ax1，y Bx1，yCx，y1 Dx1，y【解析】()，x1，y.應(yīng)選D.【答案】D3已知A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，D(0,0,0)，令a，b，則ab為()A(5，9,2) B(5,9，2)C(5,9，2) D(5，9，2)【解析】a(1,0，2)，b(4,9,0)，ab(5,9，2)【答案】B4(xx·洛陽高二檢測)棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，下列結(jié)論不正確的是()A. B.·0C.·0 D.·0【解析】如圖，B1D1，故A、B、C選項均正確【答案】D5已知向量a、b是平面內(nèi)的兩個不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則c·a0，且c·b0是l的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【解析】若l，則l垂直于內(nèi)的所有直線，從而有c·a0，c·b0.反之由于a、b是否共線沒有確定，若共線，則結(jié)論不成立；若不共線，則結(jié)論成立【答案】B6已知ABC的三個頂點為A(3,3,2)，B(4，3,7)，C(0,5,1)，則BC邊上的中線長為()A2B3 C4D5【解析】設(shè)BC中點為D，則D(2,1,4)，(1，2,2)，|3，即BC邊上的中線長為3.【答案】B7(xx·岳陽高二檢測)若向量a(1，2)，b(2，1,2)，且a與b的夾角的余弦值為，則()A2 B2C2或 D2或【解析】cosa，b，解得2或.【答案】C8正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A.B. C.D.【解析】設(shè)正方體的棱長為1，建系如圖則D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)平面ACD1的法向量為(1,1,1)又(0,0,1)，則cos，.故BB1與平面ACD1所成角的余弦值為.【答案】D9已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，平面ABC，則等于()A(，4) B(，3)C(，4) D(，3)【解析】，·352z0，z4，(3,1,4)平面ABC，·0，·0，解得，(，3)【答案】D10在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角ABDP的大小為()A30°B45° C60°D75°【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則(3,0，)，(3,4,0)設(shè)n(x，y，z)為平面PBD的一個法向量，則即令x1，則n(1，)又n1(0,0，)為平面ABCD的一個法向量，cosn1，n.所求二面角為30°.【答案】A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)11(xx·北京高二檢測)若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且a與b為共線向量，則x_，y_.【解析】由題意得，x，y.【答案】12(xx·重慶高二檢測)已知點A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，則ABC的形狀是_【解析】(5,1，7)，(2，3,1)，·10370.，ACB90°，又|，ABC為直角三角形【答案】直角三角形13已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都等于1，且兩兩夾角都是60°，則對角線AC1的長是_【解析】如圖所示，設(shè)a，b，c，a·ba·cb·c1×1×cos 60°.又abc，|.【答案】14命題：若a與b共線，b與c共線，則a與c共線；向量a、b、c共面，則它們所在的直線也共面；若a與b共線，則存在惟一的實數(shù)，使ba；若A、B、C三點不共線，O是平面ABC外一點，則點M一定在平面ABC上，且在ABC內(nèi)部上述命題中的真命題是_【解析】當(dāng)b0時，不正確；a、b、c共面于平面，則a，b，c所在的直線可能異面，但都與平行，所以不正確；不正確因為abba(a0)；由空間向量基本定理可知正確【答案】三、解答題(本大題共4小題，共50分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)圖115(本小題滿分12分)如圖1所示的平行六面體中，求證：.【證明】平行六面體的六個面均為平行四邊形，.()()()2()又，.2.圖216(本小題滿分12分)如圖2，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，AB5，BC4，AA14，點D是AB的中點(1)求證：ACBC1；(2)求證：AC1平面CDB1.【證明】直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長AC3，BC4，AB5，AC，BC，C1C兩兩垂直如圖，以C為坐標(biāo)原點，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)(1)(3,0,0)，(0，4,4)，·0，ACBC1.(2)設(shè)CB1與C1B的交點為E，則E(0,2,2)(，0,2)，(3,0,4)，.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.圖317(本小題滿分12分)如圖3，四棱錐SABCD的底面是邊長為2a的菱形，且SASC2a，SBSDa，點E是SC上的點，且SEa(02)(1)求證：對任意的(0,2，都有BDAE；(2)若SC平面BED，求直線SA與平面BED所成角的大小【解】(1)證明連接BD，AC，設(shè)BD與AC交于O.由底面是菱形，得BDAC.SBSD，O為BD中點，BDSO.又ACSOO，BD平面SAC.又AE平面SAC，BDAE.(2)由(1)知BDSO，同理可證ACSO，SO平面ABCD.取AC和BD的交點O為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)SOx，則OA，OB.OAOB，AB2a，(4a2x2)(2a2x2)4a2，解得xa.OAa，則A(a,0,0)，C(a,0,0)，S(0,0，a)SC平面EBD，是平面EBD的法向量(a,0，a)，(a,0，a)設(shè)SA與平面BED所成角為，則sin ，即SA與平面BED所成的角為.圖418(本小題滿分14分)(xx·山東高考)在如圖4所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60°，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求證：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值【解】(1)證明因為四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60°，所以ADCBCD120°.又CBCD，所以CDB30°，因此ADB90°，即ADBD.又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)CB1，則C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(，0)，F(xiàn)(0,0,1)因此(，0)，(0，1,1)設(shè)平面BDF的一個法向量為m(x，y，z)，則m·0，m·0，所以xyz，取z1，則m(，1,1)由于(0,0,1)是平面BDC的一個法向量，則cosm，所以二面角FBDC的余弦值為.