高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何綜合檢測 新人教B版選修2-1
高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何綜合檢測 新人教B版選修2-1一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1(xx·佛山高二檢測)與向量a(1,3,2)平行的一個向量的坐標(biāo)是()A(,1,1)B(1,3,2)C(,1) D(,3,2)【解析】a(1,3,2)2(,1)【答案】C2在正方體ABCDA1B1C1D1中,xy(),則()Ax1,y Bx1,yCx,y1 Dx1,y【解析】(),x1,y.應(yīng)選D.【答案】D3已知A(2,4,1),B(1,5,1),C(3,4,1),D(0,0,0),令a,b,則ab為()A(5,9,2) B(5,9,2)C(5,9,2) D(5,9,2)【解析】a(1,0,2),b(4,9,0),ab(5,9,2)【答案】B4(xx·洛陽高二檢測)棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,下列結(jié)論不正確的是()A. B.·0C.·0 D.·0【解析】如圖,B1D1,故A、B、C選項均正確【答案】D5已知向量a、b是平面內(nèi)的兩個不相等的非零向量,非零向量c在直線l上,則c·a0,且c·b0是l的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【解析】若l,則l垂直于內(nèi)的所有直線,從而有c·a0,c·b0.反之由于a、b是否共線沒有確定,若共線,則結(jié)論不成立;若不共線,則結(jié)論成立【答案】B6已知ABC的三個頂點為A(3,3,2),B(4,3,7),C(0,5,1),則BC邊上的中線長為()A2B3 C4D5【解析】設(shè)BC中點為D,則D(2,1,4),(1,2,2),|3,即BC邊上的中線長為3.【答案】B7(xx·岳陽高二檢測)若向量a(1,2),b(2,1,2),且a與b的夾角的余弦值為,則()A2 B2C2或 D2或【解析】cosa,b,解得2或.【答案】C8正方體ABCDA1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A.B. C.D.【解析】設(shè)正方體的棱長為1,建系如圖則D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1)平面ACD1的法向量為(1,1,1)又(0,0,1),則cos,.故BB1與平面ACD1所成角的余弦值為.【答案】D9已知(1,5,2),(3,1,z),若,(x1,y,3),平面ABC,則等于()A(,4) B(,3)C(,4) D(,3)【解析】,·352z0,z4,(3,1,4)平面ABC,·0,·0,解得,(,3)【答案】D10在矩形ABCD中,AB3,AD4,PA平面ABCD,PA,那么二面角ABDP的大小為()A30°B45° C60°D75°【解析】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則(3,0,),(3,4,0)設(shè)n(x,y,z)為平面PBD的一個法向量,則即令x1,則n(1,)又n1(0,0,)為平面ABCD的一個法向量,cosn1,n.所求二面角為30°.【答案】A二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)11(xx·北京高二檢測)若a(2x,1,3),b(1,2y,9),且a與b為共線向量,則x_,y_.【解析】由題意得,x,y.【答案】12(xx·重慶高二檢測)已知點A(1,2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),則ABC的形狀是_【解析】(5,1,7),(2,3,1),·10370.,ACB90°,又|,ABC為直角三角形【答案】直角三角形13已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長都等于1,且兩兩夾角都是60°,則對角線AC1的長是_【解析】如圖所示,設(shè)a,b,c,a·ba·cb·c1×1×cos 60°.又abc,|.【答案】14命題:若a與b共線,b與c共線,則a與c共線;向量a、b、c共面,則它們所在的直線也共面;若a與b共線,則存在惟一的實數(shù),使ba;若A、B、C三點不共線,O是平面ABC外一點,則點M一定在平面ABC上,且在ABC內(nèi)部上述命題中的真命題是_【解析】當(dāng)b0時,不正確;a、b、c共面于平面,則a,b,c所在的直線可能異面,但都與平行,所以不正確;不正確因為abba(a0);由空間向量基本定理可知正確【答案】三、解答題(本大題共4小題,共50分解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)圖115(本小題滿分12分)如圖1所示的平行六面體中,求證:.【證明】平行六面體的六個面均為平行四邊形,.()()()2()又,.2.圖216(本小題滿分12分)如圖2,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,AB5,BC4,AA14,點D是AB的中點(1)求證:ACBC1;(2)求證:AC1平面CDB1.【證明】直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長AC3,BC4,AB5,AC,BC,C1C兩兩垂直如圖,以C為坐標(biāo)原點,直線CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)(1)(3,0,0),(0,4,4),·0,ACBC1.(2)設(shè)CB1與C1B的交點為E,則E(0,2,2)(,0,2),(3,0,4),.DE平面CDB1,AC1平面CDB1,AC1平面CDB1.圖317(本小題滿分12分)如圖3,四棱錐SABCD的底面是邊長為2a的菱形,且SASC2a,SBSDa,點E是SC上的點,且SEa(02)(1)求證:對任意的(0,2,都有BDAE;(2)若SC平面BED,求直線SA與平面BED所成角的大小【解】(1)證明連接BD,AC,設(shè)BD與AC交于O.由底面是菱形,得BDAC.SBSD,O為BD中點,BDSO.又ACSOO,BD平面SAC.又AE平面SAC,BDAE.(2)由(1)知BDSO,同理可證ACSO,SO平面ABCD.取AC和BD的交點O為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)SOx,則OA,OB.OAOB,AB2a,(4a2x2)(2a2x2)4a2,解得xa.OAa,則A(a,0,0),C(a,0,0),S(0,0,a)SC平面EBD,是平面EBD的法向量(a,0,a),(a,0,a)設(shè)SA與平面BED所成角為,則sin ,即SA與平面BED所成的角為.圖418(本小題滿分14分)(xx·山東高考)在如圖4所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB60°,F(xiàn)C平面ABCD,AEBD,CBCDCF.(1)求證:BD平面AED;(2)求二面角FBDC的余弦值【解】(1)證明因為四邊形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB60°,所以ADCBCD120°.又CBCD,所以CDB30°,因此ADB90°,即ADBD.又AEBD,且AEADA,AE,AD平面AED,所以BD平面AED.(2)由(1)知ADBD,所以ACBC.又FC平面ABCD,因此CA,CB,CF兩兩垂直以C為坐標(biāo)原點,分別以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)CB1,則C(0,0,0),B(0,1,0),D(,0),F(xiàn)(0,0,1)因此(,0),(0,1,1)設(shè)平面BDF的一個法向量為m(x,y,z),則m·0,m·0,所以xyz,取z1,則m(,1,1)由于(0,0,1)是平面BDC的一個法向量,則cosm,所以二面角FBDC的余弦值為.