高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊一 直線與橢圓(2)完整講義（學(xué)生版）

學(xué)而思高中完整講義：直線與圓錐曲線.板塊一.直線與橢圓(1).學(xué)生版1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡（或集合）叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距2橢圓的標準方程：，焦點是，且，焦點是，且3橢圓的幾何性質(zhì)（用標準方程研究）：范圍：，；對稱性：以軸、軸為對稱軸，以坐標原點為對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心；橢圓的頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，如圖中的；長軸與短軸：焦點所在的對稱軸上，兩個頂點間的線段稱為橢圓的長軸，如圖中線段的；另一對頂點間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段橢圓的離心率：，焦距與長軸長之比，越趨近于，橢圓越扁；反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓4直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為：設(shè)直線：，圓錐曲線：，由消去（或消去）得：若，相交；相離；相切若，得到一個一次方程：為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；為拋物線，則與拋物線的對稱軸平行因此直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件5連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求；另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點坐標分別為，則弦長公式為兩根差公式：如果滿足一元二次方程：，則（）6直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有：從方程的觀點出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來進行討論，這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ)要重視通過設(shè)而不求與弦長公式簡化計算，并同時注意在適當(dāng)時利用圖形的平面幾何性質(zhì)以向量為工具，利用向量的坐標運算解決與中點、弦長、角度相關(guān)的問題典例分析【例1】 設(shè)橢圓過點，且左焦點為求橢圓的方程；當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上【例2】 已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切求橢圓的方程；設(shè)，是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)交橢圓于另一點，證明直線與軸相交于定點；在的條件下，過點的直線與橢圓交于，兩點，求的取值范圍【例3】 已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為求橢圓的標準方程；若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標【例4】 在直角坐標系中，點到點，的距離之和是，點的軌跡是與軸的負半軸交于點，不過點的直線與軌跡交于不同的兩點和求軌跡的方程；當(dāng)時，求與的關(guān)系，并證明直線過定點【例5】 在直角坐標系中，點到點，的距離之和是，點的軌跡是，直線與軌跡交于不同的兩點和求軌跡的方程；是否存在常數(shù)，？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【例6】 設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率，且過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點求橢圓的方程；是否存在直線，使得若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由若是橢圓經(jīng)過原點的弦，求證：為定值【例7】 已知橢圓的左、右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為的正方形求橢圓的方程；若、分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連結(jié)，交橢圓于點證明：為定值在的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由【例8】 已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，斜率為且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點，與共線求橢圓的離心率；設(shè)為橢圓上任意一點，且，證明為定值【例9】 已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，經(jīng)過點且離心率過定點的直線與橢圓相交于，兩點求橢圓的方程；在軸上是否存在點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由