高中數(shù)學 直線與圓錐曲線 板塊一 直線與橢圓(1)完整講義（學生版）

學而思高中完整講義：直線與圓錐曲線.板塊一.直線與橢圓(1).學生版1橢圓的定義：平面內與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡（或集合）叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距2橢圓的標準方程：，焦點是，且，焦點是，且3橢圓的幾何性質（用標準方程研究）：范圍：，；對稱性：以軸、軸為對稱軸，以坐標原點為對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心；橢圓的頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，如圖中的；長軸與短軸：焦點所在的對稱軸上，兩個頂點間的線段稱為橢圓的長軸，如圖中線段的；另一對頂點間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段橢圓的離心率：，焦距與長軸長之比，越趨近于，橢圓越扁；反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓4直線：與圓錐曲線：的位置關系：直線與圓錐曲線的位置關系可分為：相交、相切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切這三種位置關系的判定條件可歸納為：設直線：，圓錐曲線：，由消去（或消去）得：若，相交；相離；相切若，得到一個一次方程：為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；為拋物線，則與拋物線的對稱軸平行因此直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件5連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求；另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點坐標分別為，則弦長公式為兩根差公式：如果滿足一元二次方程：，則（）6直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有：從方程的觀點出發(fā)，利用根與系數(shù)的關系來進行討論，這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎要重視通過設而不求與弦長公式簡化計算，并同時注意在適當時利用圖形的平面幾何性質以向量為工具，利用向量的坐標運算解決與中點、弦長、角度相關的問題典例分析【例1】 直線與橢圓交于不同兩點和，且（其中為坐標原點），求的值【例2】 在平面直角坐標系中，經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和求的取值范圍；設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由【例3】 已知，直線，橢圓， 分別為橢圓的左、右焦點當直線過右焦點時，求直線的方程；設直線與橢圓交于，兩點，的重心分別為，若原點在以線段為直徑的圓內，求實數(shù)的取值范圍【例4】 已知橢圓短軸的一個端點，離心率過作直線與橢圓交于另一點，與軸交于點（不同于原點），點關于軸的對稱點為，直線交軸于點求橢圓的方程；求的值【例5】 已知橢圓中心在原點，一個焦點為，且離心率滿足：成等比數(shù)列求橢圓方程；是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點、，且線段恰被直線平分，若存在，求出的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由【例6】 直線與橢圓交于、兩點，記的面積為，求在的條件下，的最大值；當，時，求直線的方程【例7】 已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點是其左頂點，點在橢圓上且求橢圓的方程；若平行于的直線和橢圓交于兩個不同點，求面積的最大值，并求此時直線的方程【例8】 如圖，點是橢圓短軸的下端點過作斜率為的直線交橢圓于，點在軸上，且軸，若點坐標為，求橢圓方程；若點坐標為，求的取值范圍【例9】 已知橢圓的焦點是，點在橢圓上且滿足 求橢圓的標準方程； 設直線與橢圓的交點為，）求使的面積為的點的個數(shù)；）設為橢圓上任一點，為坐標原點，求的值【例10】 已知橢圓的離心率為若原點到直線的距離為，求橢圓的方程；設過橢圓的右焦點且傾斜角為的直線和橢圓交于兩點 i）當，求的值； ii）對于橢圓上任一點，若，求實數(shù)滿足的關系式【例11】 已知橢圓的左右焦點分別為在橢圓中有一內接三角形，其頂點的坐標，所在直線的斜率為 求橢圓的方程；當?shù)拿娣e最大時，求直線的方程【例12】 已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，且，點在橢圓上求橢圓的方程；過的直線與橢圓相交于、兩點，且的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程【例13】 已知橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，離心率為，且點在該橢圓上求橢圓的方程；過橢圓的左焦點的直線與橢圓相交于、兩點，若的面積為，求圓心在原點且與直線相切的圓的方程【例14】 橢圓：的離心率為，長軸端點與短軸端點間的距離為求橢圓的方程；設過點的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，若為直角三角形，求直線的斜率【例15】 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，過點的直線與橢圓相交于不同的兩點求橢圓的方程；是否存直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由【例16】 已知橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線方程為求橢圓的標準方程；（準線方程）過點的直線與該橢圓交于，兩點，且，求直線的方程【例17】 設橢圓 的左、右焦點分別為、，離心率， 、是直線：上的兩個動點，且若，求、的值證明：當取最小值時，與共線【例18】 已知橢圓，過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、若與軸相交于點，且是的中點，求直線的方程；設為橢圓上一點，且（為坐標原點），求當時，實數(shù)的取值范圍【例19】 已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為，若求此橢圓的方程；點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于、兩點（在第一象限內），又、是此橢圓上兩點，并且滿足，求證：向量與共線【例20】 一束光線從點出發(fā)，經(jīng)直線：上一點反射后，恰好穿過點，求點關于直線的對稱點的坐標；求以、為焦點且過點的橢圓的方程；設直線與橢圓的兩條準線分別交于、兩點，點為線段上的動點，且不為、，求點到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標【例21】 已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點和上頂點橢圓的右頂點為點是橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點求橢圓的方程；求線段的長度的最小值當線段的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)；若不存在，說明理由