高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 多面體 人教版

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 多面體定義1：與多面體各棱相切的球與各面與的截線在所在面的多邊形內(nèi)，那么該球稱為該多面體的內(nèi)棱切球，其球心稱為該多面體的內(nèi)棱心。定理1：多面體的內(nèi)棱心在各面的射影是相應(yīng)面的內(nèi)心，內(nèi)棱切球與各面的截線是相應(yīng)面的內(nèi)切圓。證明：因?yàn)榍蚺c平面的截線是圓，并且截線與截面的各邊只有一交點(diǎn)，也就是與截面各邊都相切。因?yàn)榻鼐€在截面所在的多邊形內(nèi)，所以截線是截面的內(nèi)切圓。設(shè)點(diǎn)R是某多面體的內(nèi)棱心，平面A1A2An是該多邊形的一個(gè)面，點(diǎn)R在平面A1A2An的射影是I，棱切球與棱A1A2、A2A3、AnA1的切點(diǎn)分別是B1、B2、Bn，因?yàn)镽A1A2I圖1B1B2RB1 = RB2 = = RBn，RIA1 = RIA2 = = RIAn = 90°，所以RIA1 RIA2 RIAn，所以IA1 = IA2 = = IAn，因此點(diǎn)I 是n邊形A1A2An的外心。定理2：如果多面體存在內(nèi)棱切球，則該內(nèi)棱切球是唯一的。證明：如果多面體存在內(nèi)棱切球，根據(jù)定理1，過各面的內(nèi)心作所在面的垂線，那么垂線的交點(diǎn)就是多面體的內(nèi)棱心，所以該多面體的內(nèi)棱心是唯一確定的。另外，球的半徑是內(nèi)棱心與該多面體的某一棱的距離，所以球的半徑也是唯一確定的，因而內(nèi)棱切球也唯一確定。定理3：空間一點(diǎn)是四面體的內(nèi)棱心的充要條件是：該點(diǎn)與四面體各頂點(diǎn)的連線與過該頂點(diǎn)三棱的夾角相等并且都是銳角。證明：（1）充分性ABCDEFG圖2RHIJ設(shè)空間一點(diǎn)R與與四面體ABCD各頂點(diǎn)的連線與過該頂點(diǎn)三棱的夾角相等，連AR、BR、CR、DR，過點(diǎn)R作棱AB、AC、AD、BC、BD、CD的垂線，垂足分別是E、F、H、G、I、J，并且都在各棱內(nèi)，則AER AFR AGR，所以ER = FR = GR。同理可得ER = HR = IR，F(xiàn)R = HR = JR，GR = IR = JR，所以ER = FR = GR = HR = IR = JR，所以點(diǎn)R是四面體ABCD的內(nèi)棱心（2）必要性設(shè)點(diǎn)R是四面體ABCD的內(nèi)棱心，內(nèi)棱切球與棱AB、AC、AD、BC、BD、CD的切點(diǎn)分別是E、F、H、G、I、J，并且都在個(gè)棱內(nèi)，則ER = FR = GR = HR = IR = JR，所以EAR = FAR = GAR < 90°，即AR與AB、AC、AD的夾角相等。同理可怔BR與AB、BD、BC的夾角相等，CR與AC、BC、CD的夾角相等，DR與AD、BD、CD的夾角相等。定理4：四面體ABCD有內(nèi)棱切球相切的充要條件是：AB + CD = AC + BD = AD + BC。證明：（1）充分性設(shè)ABC的內(nèi)切圓與AB、AC、BC分別相切于點(diǎn)E、F、G，ABD的內(nèi)切圓與AB、AD、BD分別相切于點(diǎn)E、H、I，ACD的內(nèi)切圓與AC、AD、BD分別相切于點(diǎn)F、H、J，BCD的內(nèi)切圓與BC、BD、CD分別相切于點(diǎn)G、I、J。因?yàn)锳B + CD = AC + BD = AD + BC，所以ABCDEFGHIJ圖3AE + BE + CJ + DJ = AF + CF + BI + DI，又因?yàn)锽E = BI，CJ = CF，所以AE + DJ = AF + DI，由于AE = AH，DJ = DH，AF = AH，DI = DH，所以AH + DH = AH + DH，因?yàn)锳H + DH = AH + DH（= AD），以上兩式相減，得到AH AH = AH AH，亦即AH = AH，因此點(diǎn)H與H 重合。同理可證點(diǎn)E與E 重合，點(diǎn)F與F 重合，點(diǎn)G與G 重合，點(diǎn)I與I 重合，點(diǎn)J與J 重合。因此該四面體內(nèi)棱切球。（2）必要性設(shè)內(nèi)棱切球與AB、AC、BC、AD、BD、CD分別相切于點(diǎn)E、F、G、H、I、J。因?yàn)锳E = AF = AH，BE = BG = BI，CF = CG = CJ，DH = DI = DJ，所以AE + BE + CJ + DJ = AF + CF + BI + DI = AH + DH + BG + CG，亦即AB CD = AC BD = AD BC。定理5：四面體ABCD的內(nèi)棱切球半徑是r，四面體ABCD的體積為V，AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，a + p = b + q = c + r = s，那么。證明：設(shè)ABC內(nèi)切圓的半徑是r1，ABD內(nèi)切圓的半徑是r2，二面角C-AB-D的平面角是q，ABC = a，ABD = b，ACD = g，那么仿照外接球中外接球半徑計(jì)算定理中計(jì)算EO的方法，得到內(nèi)棱切球的半徑r 是。因?yàn)?，代入r，得到?，F(xiàn)在來計(jì)算a2b2c2 sin2 a sin2 b (r12 + r22 2r1r2 cos q)。由于，因此又因?yàn)椋谑牵ㄔ敿?xì)計(jì)算過程省略），由于，因此所以得到。定理6：四面體ABCD的內(nèi)棱切球球心是R，四面體ABCD的體積為V，AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，a + p = b + q = c + r = s，令Z = (a + b)ab + (a + c)ac + (b + c)bc a3 b3 c3 4(ab + ac + bc)s + 3(a + b + c)s2 2s3，如果Z > 0，那么點(diǎn)R與點(diǎn)A在平面BCD的同側(cè)；如果Z < 0，那么點(diǎn)R與點(diǎn)A在平面BCD的異側(cè)；如果Z = 0，那么點(diǎn)R在平面BCD內(nèi)。證明：作BCD的內(nèi)心I1，作球R與AB、BC的切點(diǎn)E、F，連EF、ER、FI1、RI1，四面體ABCD內(nèi)棱切球的半徑是r，BCD的內(nèi)切圓半徑是r1。當(dāng)點(diǎn)R在平面BCD內(nèi)時(shí)，RI1 = 0，EI1 = ER = r，所以RI12 + EI12 ER2 = 0；當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)A在平面BCD的同側(cè)時(shí)，EI1R是銳角，所以RI12 + EI12 ER2 > 0；圖4ABCDEFRI1當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)A在平面BCD的異側(cè)時(shí)，EI1R是鈍角，所以RI12 + EI12 ER2 < 0。因?yàn)镽I12 = r2 r12，EI12 = EF2 + r12 2 · r1 · EF · cos EFI1，ER = r，所以RI12 + EI12 ER2 = EF2 2 · r1 · EF · cos EFI1。設(shè)二面角A-BC-D的平面角是a，則（請參考三面角）， 所以因?yàn)椋?，所以。因?yàn)椋裵、q、r換成s a、s b、s c，然后代入EF2 2 · r1 · EF · cos EFI1中，計(jì)算分子，得到分子是（計(jì)算過程省略）(s c)Z，如果Z > 0，那么點(diǎn)R與點(diǎn)A在平面BCD的同側(cè)；如果Z < 0，那么點(diǎn)R與點(diǎn)A在平面BCD的異側(cè)；如果Z = 0，那么點(diǎn)R在平面BCD內(nèi)。定理7：如果四面體既存在垂心又存在內(nèi)棱切球，則該四面體是一正三棱錐。證明：設(shè)在四面體ABCD中，AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，如果四面體既存在垂心又存在內(nèi)棱切球，那么必然a + p = b + q = c + r，a2 + p2 = b2 + q2 = c2 + r2，前一式平方減去后一式，得到2ap = 2bq = 2cr，再用a2 + p2 = b2 + q2 = c2 + r2減去上一式，得到(a p)2 = (b q)2 = (c r)2。如果a p = b q = c r，那么與a + p = b + q = c + r相加，便得到a = b = c，與a + p = b + q = c + r相減，便得到p = q = r，所以四面體ABCD是正三棱錐。對于滿足(a p)2 = (b q)2 = (c r)2的其它情況同樣可以證明四面體ABCD是正三棱錐，所以如果四面體既存在垂心又存在內(nèi)棱切球，則該四面體是一正三棱錐。定義2：與四面體各棱或其所在直線相切，并且至少有一個(gè)四面體的面與球的截線不在該面所含的三角形內(nèi)，則稱該球?yàn)樵撍拿骟w的外棱切球，其球心稱為該四面體的外棱心。如果外棱切球的各切點(diǎn)所都在臨面區(qū)邊界上，則稱棱切球在臨面區(qū)與四面體各棱相切；如果外棱切球有五個(gè)切點(diǎn)在臨棱區(qū)邊界上，則稱棱切球在臨棱區(qū)與四面體各棱相切；如果外棱切球有三個(gè)切點(diǎn)在臨頂區(qū)邊界上，則稱棱切球在臨頂區(qū)與四面體各棱相切。仿照定理1和定理2的證明，得到定理8：如果四面體ABCD的臨面區(qū)BCD存在外棱切球與各棱相切，則球與平面BCD的截線是BCD的內(nèi)切圓，與平面ACD、ABD、ABC的截線分別是ACD、ABD、ABC的旁切圓；在平面BCD的射影是BCD的內(nèi)心，在平面ACD的射影是ACD的與點(diǎn)A分在CD兩側(cè)的旁心，在平面ABD的射影是ABD的與點(diǎn)A分在BD兩側(cè)的旁心，在平面ABC的射影是ABC的與點(diǎn)A分在BC兩側(cè)的旁心。定理9：如果四面體ABCD的臨面區(qū)BCD存在外棱切球與各棱相切，則該棱切球是唯一確定的。仿照定理3的證明，可得定理10：空間一點(diǎn)P是四面體ABCD的一臨面區(qū)的外棱心的充要條件是：AP與棱AB、AC、AD的夾角相等，BP與AB的延長線、棱BC、BD的夾角相等，CP與AC的延長線、棱BC、CD的夾角相等，DP與AD的延長線、棱BD、CD的夾角相等，并且這些夾角都是銳角。定理11：球R是四面體ABCD的外棱切球，并且球R在平面BCD的臨面區(qū)與四面體ABCD各棱相切的充要條件是：AB CD = AC BD = AD BC。證明：（1）充分性設(shè)ABC與點(diǎn)A相對的旁切圓與AB、AC、BC分別相切于點(diǎn)E、F、G，ABD與點(diǎn)A相對的旁切圓與AB、AD、BD分別相切于點(diǎn)E、H、I，ACD與點(diǎn)A相對的旁切圓與AC、AD、BD分別相切于點(diǎn)F、H、J，BCD的內(nèi)切圓與BC、BD、CD分別相切于點(diǎn)G、I、J。因?yàn)锳B CD = AC BD = AD BC，所以ABCDEFGHIJ圖5AE BE CJ DJ = AF CF BI DI，又因?yàn)锽E = BI，CJ = CF，所以AE DJ = AF DI，由于AE = AH，DJ = DH，AF = AH，DI = DH，所以AH DH = AH DH，因?yàn)锳H DH = AH DH（= AD），以上兩式相減，得到AH AH = AH AH，亦即AH = AH，因此點(diǎn)H與H 重合。同理可證點(diǎn)E與E 重合，點(diǎn)F與F 重合，點(diǎn)G與G 重合，點(diǎn)I與I 重合，點(diǎn)J與J 重合。因此該四面體有球心與點(diǎn)A分別在平面BCD的兩側(cè)的外棱切球。（2）必要性設(shè)球心與點(diǎn)A分別在平面BCD的兩側(cè)的外棱切球與AB、AC、BC、AD、BD、CD分別相切于點(diǎn)E、F、G、H、I、J。因?yàn)锳E = AF = AH，BE = BG = BI，CF = CG = CJ，DH = DI = DJ，所以AE BE CJ DJ = AF CF BI DI = AH DH BG CG，亦即AB CD = AC BD = AD BC。定理12：四面體ABCD在平面BCD的臨面區(qū)的外棱切球半徑是rA，四面體ABCD的體積為V，AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，a p = b q = c r = s，則。證明：設(shè)ABC與點(diǎn)A相對的旁切圓的半徑是r1，ABD與點(diǎn)A相對的旁切圓的半徑是r2，ABC = a，ABD = b，ACD = g，二面角C-AB-D的平面角是q，那么仿照外接球中外接球半徑計(jì)算定理中計(jì)算EO的方法，四面體ABCD在平面BCD的臨面區(qū)的外棱切球半徑是rA是。因?yàn)椋雛A，得到。現(xiàn)在來計(jì)算a2b2c2 sin2 a sin2 b (r12 + r22 2r1r2 cos q)。由于，因此又因?yàn)椋谑?，由于，因此所以得到。仿照定?的證明，可以得到定理11：四面體ABCD在平面BCD的臨面區(qū)的外棱切球球心是RA，四面體ABCD的體積為V，AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，a p = b q = c r = s，令Z1 = (a + b)ab + (a + c)ac + (b + c)bc a3 b3 c3 4(ab + ac + bc)s + 3(a + b + c)s2 2s3，Z2 = a3 + b3 c3 (a + b)ab + (a c)ac + (b c)bc + 2abc 2(a2 + b2 c2)s + (a + b c)s2，（1）如果Z1 > 0，那么點(diǎn)RA與點(diǎn)A在平面BCD的異側(cè)；如果Z1 < 0，那么點(diǎn)RA與點(diǎn)A在平面BCD的同側(cè)；如果Z1 = 0，那么點(diǎn)RA在平面BCD內(nèi)。（2）如果Z2 > 0，那么點(diǎn)RA與點(diǎn)D在平面ABC的同側(cè)；如果Z2 < 0，那么點(diǎn)RA與點(diǎn)D在平面ABC的異側(cè)；如果Z2 = 0，那么點(diǎn)RA在平面BCD內(nèi)。仿照定理6的證明，可以得到定理13：四面體ABCD存在垂心，并且在平面BCD的臨面區(qū)存在外棱切與各棱相切，則四面體ABCD是BCD為正三角形的正三棱錐A-BCD。定理14：除了在臨面區(qū)有可能存在外棱切球外，在臨棱區(qū)以及臨頂區(qū)均不存在外棱切球。證明：（1）在臨棱區(qū)的情況不失一般情況，如圖6所示，假設(shè)在四面體ABCD棱CD的臨棱區(qū)有一球與該四面體的各棱均相切，設(shè)與AB，AC，AD，BC，BD，CD的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，I，J。因?yàn)锽E = BH = BI，AE = AF = AG，CF = CH = CJ，DG = DI = DJ，所以BE AE = BH AF = BI AC，亦即AB = BC AC = BD AD，在ABC和ABD中，這與AB > BC AC及AB > BD AD矛盾，因此在臨棱區(qū)不可能存在外棱切球。（2）在臨頂區(qū)的情況不失一般情況，如圖7所示，假設(shè)在四面體ABCD頂點(diǎn)A的臨頂區(qū)有一球與該四面體的各棱均相切，設(shè)與AB，AC，AD，BC的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H。因?yàn)锳E = AF = AG，BE = BH，CF = CH，所以BE AE = BH AF，亦即AB = BC + CH AF = BC + CF AF = BC + AC，在ABC中，這與AB < BC + AC矛盾，因此在臨頂區(qū)不可能存在外棱切球。ABCDEFGHIJ圖6圖7ABCDEFGH定義3：對棱相等的四面體稱為等腰四面體，所有棱都相等的四面體稱為正四面體。定理16：如果四面體存在外棱切球，則外棱切球或者只有唯一個(gè)，或者有四個(gè)；如果存在四個(gè)外棱切球，則該四面體是等腰四面體。證明：假設(shè)四面體ABCD有兩個(gè)外棱切球，分別在平面BCD及平面ACD的臨面區(qū)與四面體各棱相切，并令A(yù)B = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，則由外棱切球存在的充要條件，分別得到a p = b q = c r，a p = q b = r c，因此得到a = p，b = q，c = r，滿足上面條件的四面體是等腰四面體。根據(jù)等腰四面體的關(guān)系還可以得到p a = b q = r c，p a = q b = c r，也就是在平面ABD及平面ABC的臨面區(qū)分別有一球與四面體各棱相切，外棱切球有四個(gè)。定理17：如果四面體既有內(nèi)棱切球又有外棱切球，則該四面體是一個(gè)外棱切球所在臨面區(qū)所在平面的三角形是正三角形的正三棱錐。證明：假設(shè)四面體ABCD有一個(gè)內(nèi)棱切球和一個(gè)外棱切球，外棱切球平面BCD的臨面區(qū)與四面體各棱相切，并令A(yù)B = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，則由內(nèi)棱切球和外棱切球存在的充要條件，分別得到a + p = b + q = c + r，a p = b q = c r，兩式相加，并除以2，得到a = b = c；前式減后式，并除以2，得到p = q = r。因此四面體ABCD是BCD為正三角形的正三棱錐A-BCD。