（新課標(biāo)）2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第11章 第4節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 理

課時(shí)作業(yè)(七十四)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2答案：D解析：當(dāng)nk時(shí)，左端123k2，當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2.故應(yīng)選D.2(2020·岳陽(yáng)模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7B8C9D10答案：B解析：1整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少應(yīng)取8.3用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n1)·(n2)··(nn)2n·1·3·(2n1)”，從“k到k1”左端需增乘的代數(shù)式為()A2k1B2(2k1)C.D答案：B解析：nk1時(shí)，左端為(k2)(k3)··(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)··(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)··(kk)2(2k1)，應(yīng)乘2(2k1)，故應(yīng)選B.4對(duì)于不等式n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，不等式成立，即k1，則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A過(guò)程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確答案：D解析：在nk1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法，故應(yīng)選D.5(2020·上海模擬)平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()An1B2nC.Dn2n1答案：C解析：1條直線將平面分成11個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1(12)4(個(gè))區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7(個(gè))區(qū)域；n條直線最多可將平面分成1(123n)1(個(gè))區(qū)域故應(yīng)選C.6(2020·南寧模擬)已知f(n)(2n7)·3n9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意nN*，f(n)都能被m整除，則m的最大值為()A18B36C48D54答案：B解析：由于f(1)36，f(2)108，f(3)360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值為36.當(dāng)n1時(shí)，可知猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，猜想成立，即f(k)(2k7)·3k9能被36整除；當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)(2k9)·3k19(2k7)·3k936(k5)·3k2，因此f(k1)也能被36整除，故所求m的最大值為36.二、填空題7用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN*)”時(shí)，第一步驗(yàn)證為_(kāi)答案：當(dāng)n1時(shí)，左邊4右邊，不等式成立解析：由nN*可知初始值為1.8(2020·徐州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)nk(kN*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真答案：k2解析：n為正奇數(shù)，假設(shè)nk成立后，需證明的應(yīng)為nk2時(shí)成立9若f(n)122233(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_答案：f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2解析：f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.10用數(shù)學(xué)歸納法證明··(k1)，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)乘上_，這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是_答案：2k1解析：因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是，最后一個(gè)是，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得共有12k2k12k1項(xiàng)三、解答題11(2020·綿陽(yáng)一模)已知數(shù)列xn滿(mǎn)足x1，xn1，nN*.猜想數(shù)列x2n的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論解：由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2>x4>x6猜想：數(shù)列x2n是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，已證命題成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即x2k>x2k2，易知xk>0，當(dāng)nk1時(shí)，x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.也就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)命題也成立結(jié)合和知命題成立12(2020·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a13，an1a2nan2(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式(不需證明)；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試求使得Sn2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明解：(1)a2a2a125，a3a2×2a227，a4a2×3a329.猜想an2n1(nN*)(2)Snn22n(nN*)，使得Sn2n成立的最小正整數(shù)n6.下證：當(dāng)n6(nN*)時(shí)都有2nn22n.當(dāng)n6時(shí)，2664,622×648,6448，命題成立假設(shè)nk(k6，kN*)時(shí)，2kk22k成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，2k12·2k2(k22k)k22kk22kk22k32k(k1)22(k1)，即nk1時(shí)，不等式成立；由可得，對(duì)于所有的n6(nN*)都有2nn22n成立