基本不等式[完整版][非常全面]
.wd. 基本不等式專題輔導(dǎo)一、知識點(diǎn)總結(jié)1、 基本不等式原始形式1假設(shè),則 2假設(shè),則2、 基本不等式一般形式均值不等式假設(shè),則3、 基本不等式的兩個重要變形1假設(shè),則2假設(shè),則總結(jié):當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時,它們的和有最小值; 當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時,它們的積有最小值;特別說明:以上不等式中,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=4、求最值的條件:“一正,二定,三相等5、常用結(jié)論1假設(shè),則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=2假設(shè),則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=3假設(shè),則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=4假設(shè),則5假設(shè),則特別說明:以上不等式中,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=6、柯西不等式 1假設(shè),則2假設(shè),則有:3設(shè)是兩組實(shí)數(shù),則有二、題型分析題型一:利用 基本不等式證明不等式1、設(shè)均為正數(shù),證明不等式:2、為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證:3、,求證:4、 ,且,求證:5、 ,且,求證:6、2013年新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)理選修45:不等式選講設(shè)均為正數(shù),且,證明:(); ().7、2013年江蘇卷數(shù)學(xué)選修45:不等式選講,求證:題型二:利用不等式求函數(shù)值域1、求以下函數(shù)的值域1 23 4題型三:利用不等式求最值 一湊項(xiàng) 1、,求函數(shù)的最小值;變式1:,求函數(shù)的最小值;變式2:,求函數(shù)的最大值;練習(xí):1、,求函數(shù)的最小值; 2、,求函數(shù)的最大值;題型四:利用不等式求最值 二湊系數(shù)1、當(dāng)時,求的最大值;變式1:當(dāng)時,求的最大值;變式2:設(shè),求函數(shù)的最大值。2、假設(shè),求的最大值;變式:假設(shè),求的最大值;3、求函數(shù)的最大值; 提示:平方,利用 基本不等式變式:求函數(shù)的最大值;題型五:巧用“1的代換求最值問題1、,求的最小值;法一:法二:變式1:,求的最小值;變式2:,求的最小值;變式3:,且,求的最小值。變式4:,且,求的最小值;變式5:1假設(shè)且,求的最小值;2假設(shè)且,求的最小值;變式6:正項(xiàng)等比數(shù)列滿足:,假設(shè)存在兩項(xiàng),使得,求的最小值;題型六:別離換元法求最值了解1、求函數(shù)的值域;變式:求函數(shù)的值域;2、求函數(shù)的最大值;提示:換元法變式:求函數(shù)的最大值;題型七: 基本不等式的綜合應(yīng)用1、,求的最小值2、2009天津,求的最小值;變式1:2010四川如果,求關(guān)于的表達(dá)式的最小值;變式2:2012湖北武漢診斷,當(dāng)時,函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn),假設(shè)點(diǎn)在直線上,求的最小值;3、,求最小值;變式1:,滿足,求范圍;變式2:2010山東,求最大值;提示:通分或三角換元變式3:2011浙江,求最大值;4、2013年山東理設(shè)正實(shí)數(shù)滿足,則當(dāng)取得最大值時,的最大值為 A B C D提示:代入換元,利用 基本不等式以及函數(shù)求最值變式:設(shè)是正數(shù),滿足,求的最小值;題型八:利用 基本不等式求參數(shù)范圍1、2012沈陽檢測,且恒成立,求正實(shí)數(shù)的最小值;2、且恒成立,如果,求的最大值;參考:4提示:別離參數(shù),換元法變式:滿則,假設(shè)恒成立,求的取值范圍;題型九:利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式 假設(shè),則2、二維形式的柯西不等式的變式3、二維形式的柯西不等式的向量形式4、三維柯西不等式假設(shè),則有:5、一般維柯西不等式設(shè)是兩組實(shí)數(shù),則有:題型分析題型一:利用柯西不等式一般形式求最值1、設(shè),假設(shè),則的最小值為時, 析: 最小值為此時 ,2、設(shè),求的最小值,并求此時之值。:3、設(shè),求之最小值為 ,此時 析:4、2013年湖南卷理則的最小值是 ()5、2013年湖北卷理設(shè),且滿足:,求的值;6、求 的最大值與最小值。:最大值為,最小值為 -析:令 = (2sinq,cosq,- cosq),= (1,sinf,cosf)