高三數(shù)學(xué)第一篇六 解析幾何刺 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線第1課時(shí) 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì) 文

第第2 2講橢圓、雙曲線、拋物線講橢圓、雙曲線、拋物線考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)(高頻考點(diǎn))考點(diǎn)三 直線與圓錐曲線1.圓錐曲線的定義(1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|);(2)雙曲線:|PF1|-|PF2|=2a(2ab0;(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,其中a0,b0;(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py,y2=2px,其中p0.22xa22yb22221yxab或22xa22yb22221yxab或典型例題典型例題(1)(2017河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)(三)橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F,直線x=a與橢圓相交于點(diǎn)M,N,當(dāng)FMN的周長(zhǎng)最大時(shí),FMN的面積是()A.B.C.D.(2)(2017課標(biāo)全國(guó),5,5分)已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則APF的面積為()A.B.25x24y556 558 554 5523y1312C.D.2332解析解析(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E,由橢圓的定義知FMN的周長(zhǎng)為L(zhǎng)=|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+(2-|ME|)+(2-|NE|).因?yàn)閨ME|+|NE|MN|,所以|MN|-|ME|-|NE|0,當(dāng)直線MN過點(diǎn)E時(shí)取等號(hào),所以L=4+|MN|-|ME|-|NE|4,即直線x=a過橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí),FMN的周長(zhǎng)最大,此時(shí)SFMN=|MN|EF|=2=,故選C.(2)易知F(2,0),不妨取P點(diǎn)在x軸上方,如圖.555512122 458 55(3)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=.答案答案(1)C(2)D(3)6PFx軸,P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),|AP|=1,APPF,SAPF=31=.故選D.(3)如圖,過M、N分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M1、N1,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因?yàn)镸為FN的中點(diǎn),所以|MM1|=3,由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,從而|FN|=2|FM|=6.1232方法歸納方法歸納求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型,后計(jì)算”.(1)定型:就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置,從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)計(jì)算:即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí),拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a0),橢圓常設(shè)為mx2+ny2=1(m0,n0,且mn),雙曲線常設(shè)為mx2-ny2=1(mn0).跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017遼寧沈陽(yáng)質(zhì)量檢測(cè)(二)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M與雙曲線C的焦點(diǎn)不重合,點(diǎn)M關(guān)于F1,F2的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的右支上,若|AN|-|BN|=12,則a=()A.3B.4C.5D.622xa22yb答案答案A如圖,設(shè)MN的中點(diǎn)為P.F1為MA的中點(diǎn),F2為MB的中點(diǎn),|AN|=2|PF1|,|BN|=2|PF2|,又|AN|-|BN|=12,|PF1|-|PF2|=6=2a,a=3.故選A.2.(2017課標(biāo)全國(guó),12,5分)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MNl,則M到直線NF的距離為()A.B.2C.2D.335233答案答案C因?yàn)橹本€MF的斜率為,所以直線MF的傾斜角為60,則FMN=60.由拋物線的定義得|MF|=|MN|,所以MNF為等邊三角形.過F作FHMN,垂足為H.易知F(1,0),l的方程為x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|=+2,即|MF|=4,所以M到直線NF的距離d=|FH|=|MF|sin60=4=2.故選C.3|2MF323考點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)1.求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍;2.由圓錐曲線的性質(zhì)求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;3.求雙曲線的漸近線方程.1.橢圓、雙曲線中,a,b,c之間的關(guān)系(1)在橢圓中:a2=b2+c2,離心率為e=;(2)在雙曲線中:c2=a2+b2,離心率為e=.ca21baca21ba2.雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線方程為y=x.22xa22ybba典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國(guó),12,5分)設(shè)A,B是橢圓C:+=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足AMB=120,則m的取值范圍是()A.(0,19,+)B.(0,9,+)C.(0,14,+)D.(0,4,+)(2)(2017四川成都第二次診斷性檢測(cè))設(shè)雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為P.若以O(shè)F1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的圓與PF2相切,則雙曲線C的離心率為()A.B.C.D.23x2ym3322xa22yb236 24 336 27答案答案(1)A(2)D解析解析(1)當(dāng)0m3時(shí),橢圓C的長(zhǎng)軸在x軸上,如圖(1),A(-,0),B(,0),M(0,1).圖(1)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到短軸的端點(diǎn)時(shí),AMB取最大值,此時(shí)AMB120,則|MO|1,即03時(shí),橢圓C的長(zhǎng)軸在y軸上,如圖(2),A(0,),B(0,-),M(,0),33mm3圖(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到短軸的端點(diǎn)時(shí),AMB取最大值,此時(shí)AMB120,則|OA|3,即3,即m9.綜上,m(0,19,+),故選A.(2)如圖,在圓O中,F1F2為直徑,P是圓O上一點(diǎn),所以PF1PF2,設(shè)以O(shè)F1為m直徑的圓的圓心為M,且圓M與直線PF2相切于點(diǎn)Q,則M,MQPF2,所以PF1MQ,所以=,即=,可得|PF1|=,所以|PF2|=+2a,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以+=4c2,即7e2-6e-9=0,解得e=或e=(舍去).故選D.,02c1|MQPF212|MFF F12|cPF322cc23c23c249c2223ca36 2736 27圓錐曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用(1)分析圓錐曲線中a,b,c,e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵.(2)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍,其關(guān)鍵就是建立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程(組)或不等式(組),再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式.建立關(guān)于a,b,c的方程(組)或不等式(組),要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì).方法歸納方法歸納跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2016課標(biāo)全國(guó),5,5分)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的,則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.1413122334答案答案B如圖,|OB|為橢圓中心到l的距離,則|OA|OF|=|AF|OB|,即bc=a,所以e=.故選B.2bca122.(2017湖南長(zhǎng)沙模擬)A是拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn),F是拋物線的焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)|AF|=4時(shí),OFA=120,則拋物線的準(zhǔn)線方程是()A.x=-1B.y=-1C.x=-2D.y=-2答案答案A過A向準(zhǔn)線作垂線,設(shè)垂足為B,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D.連接BF.因?yàn)镺FA=120,所以ABF為等邊三角形,DBF=30,從而p=|DF|=2,因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,選A.3.(2017湖南五市十校聯(lián)考)已知F1,F2分別是雙曲線E:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)M,N,已知MF2N是等腰直角三角形,則雙曲線的離心率是()A.B.2C.1+D.2+22xa22yb222答案答案C由已知得=2c,則c2-2ac-a2=0,所以e2-2e-1=0,解得e=1,又e1,所以e=1+,故選C.2ba22考點(diǎn)三 直線與圓錐曲線1.判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或求交點(diǎn)問題的兩種常用方法:(1)代數(shù)法:即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組,消去y(或x)得一元方程,此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù),方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo);(2)幾何法:即畫出直線與圓錐曲線,根據(jù)圖形判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù).2.弦長(zhǎng)公式斜率為k的直線l與圓錐曲線C的兩交點(diǎn)為P(x1,y1),Q(x2,y2).則|PQ|=|x1-x2|=.或|PQ|=|y1-y2|=(k0).21k221212()4(1)xxx xk211k2121221()4 1yyy yk3.弦的中點(diǎn)圓錐曲線C:f(x,y)=0的弦為PQ.若P(x1,y1),Q(x2,y2),中點(diǎn)M(x0,y0),則x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.典型例題典型例題(2016課標(biāo)全國(guó),20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.(1)求;(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說明理由.解析(1)由已知得M(0,t),P.又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),故N,ON的方程為y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.|OHON2,2ttp2,ttppt22tp因此H.所以N為OH的中點(diǎn),即=2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn).理由如下:直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點(diǎn).22,2ttp|OHON2pt2tp解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟(1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組,消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零);(3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式;(4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長(zhǎng)公式求解.方法歸納方法歸納跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.過點(diǎn)M(1,1)作斜率為-的直線與橢圓C:+=1(ab0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率等于()A.B.C.D.1222xa22yb12223233答案答案B設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,+=1.兩式相減并整理得=-.把已知條件代入上式得,-=-,=,故橢圓的離心率e=.212xa212yb222xa222yb1212yyxx22ba1212xxyy1222ba2222ba12221ba222.(2017課標(biāo)全國(guó),20,12分)設(shè)A,B為曲線C:y=上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率;(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AMBM,求直線AB的方程.24x解析解析(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直線AB的斜率k=1.(2)由y=,得y=,設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知=1,解得x3=2,于是M(2,1).設(shè)直線AB的方程為y=x+m,故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.214x224x1212yyxx124xx24x2x32x24x當(dāng)=16(m+1)0,即m-1時(shí),x1,2=22.從而|AB|=|x1-x2|=4.由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直線AB的方程為y=x+7.1m22(1)m2(1)m1.(2017江西南昌第二次模擬)若雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線的傾斜角為30,則其離心率為()A.2B.2C.D.22xa22yb22 333 22隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)答案答案C依題意可得雙曲線的漸近線方程為y=x,=tan30=,故=,離心率e=,選C.baba3322ba13ca22ca222aba432 332.已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若AF1B的周長(zhǎng)為4,則C的方程為()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=122xa22yb33323x22y23x212x28y212x24y答案答案A由e=得=,由AF1B的周長(zhǎng)為4,及橢圓定義,得4a=4,得a=,代入得c=1,所以b2=a2-c2=2,故C的方程為+=1.33ca3333323x22y3.已知雙曲線-x2=1的兩條漸近線分別與拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OAB的面積為1,則p的值為.24y答案答案 2解析解析雙曲線的兩條漸近線方程為y=2x,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,故A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,則|AB|=2p,所以SOAB=2p=1,解得p=.2p,2pp122p22p24.(2017山西太原模擬)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若|AB|=6,則AOB的面積為.答案答案6解析解析由題意知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí),|AB|=4,不滿足題意,所以直線AB的斜率存在且不為零,設(shè)為k,則直線AB的方程為y=k(x-1),與y2=4x聯(lián)立,消去x得ky2-4y-4k=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=,y1y2=-4,所以|y1-y2|=,因?yàn)閨AB|=|y1-y2|=6,所以4=6,解得k=,所以|y1-y2|=2,所以AOB的面積為12=.4k21616k211k211k221616k61266