2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第五十講《生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世界》教案1 北師大版

2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)第五十講生活中的數(shù)學(xué)（三）鏡子中的世界教案1北師大版在日常生活中，人們?yōu)榱擞^察自己的服裝儀表是否整潔漂亮，常常要照鏡子.如果鏡面是很平的，那么在鏡子中，人或物體與其像是完全一樣的.而且我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)人走近鏡面，人在鏡中的像也走進(jìn)鏡面；當(dāng)人遠(yuǎn)離鏡面，人在鏡中的像也遠(yuǎn)離鏡面.如果你留心的話，就可以發(fā)現(xiàn)：人和像與鏡面的距離保持相等（圖2-155），這種現(xiàn)象叫作面對(duì)稱.如果我們只取一個(gè)側(cè)面，那么鏡面就可用一條直線來(lái)表示，人和人在鏡中的像可用一個(gè)平面圖形來(lái)表示，這樣，人、像與鏡就成了軸對(duì)稱，也叫直線對(duì)稱（圖2-155）.如果實(shí)物是ABC,那么它在鏡中的像就成了圖形AA，BzC'.直線l表示鏡,這時(shí)稱lABC和AA，BzC'的對(duì)稱軸（圖2-156）圖中，A與A，B與Bz,C與C'是對(duì)稱點(diǎn).以對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)所連結(jié)的線段AA，BB，CC，被對(duì)稱軸l垂直平分，因此，如果以直線l為折痕，把AABC翻折過(guò)來(lái)，它必與AA，B，C，重合，所以成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形必全等.例1設(shè)圖形ABCDEF是半個(gè)蝴蝶形（圖2-157（a），試以直線l為對(duì)稱軸，畫(huà)出整個(gè)蝴蝶來(lái).11(a)EJQE(b)圖Z-157解為了畫(huà)出整個(gè)蝴蝶，只需要畫(huà)出圖形ABCDEF關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形就可以了.因?yàn)锳點(diǎn)、F點(diǎn)在直線l上,所以它們的對(duì)稱點(diǎn)分別和A，F(xiàn)是同一點(diǎn)，這樣,只要畫(huà)出B，C，D，E關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)就行了.為此，先分別過(guò)B,C,D,E向l作垂線，設(shè)垂足分別為M,N,P,Q,然后在BM,CN,DP,EQ的延長(zhǎng)線上取B，C',D'和E'點(diǎn)，使得BzM=MB,CzN=NC,DzP=PD,EzQ=QE,最后連結(jié)AB',BC，CzD',D'E',E'F,于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE'D'CB了(圖2-157(b).例2設(shè)直線L和直線l2平行，且L和l2間的距離為a.如果線段AB在l勺右側(cè)，并設(shè)AB關(guān)于l；的對(duì)稱圖形是A'B'',而A'B'關(guān)于l2的對(duì)稱圖形是AB；(圖2-158)，那么，線段AB和AB有什么關(guān)系？"簽2-158解因?yàn)長(zhǎng)平行于l2，并且AA'A垂直于-當(dāng)然也垂直于打，同理BB'B也垂直于l和l.我們知道：“在平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”,12所以AA'ABB'B.另一方面，因?yàn)锳P=PA',A'P'=P'A，所以AA'A=2PP'=2a,同理BB'B=2a，所以AA'A=BB'B.由，可知，ABB-A卩為平行四邊舷所以a-B擰全血E.通過(guò)例2,我們可知，如果在平面上兩條直線互相平行，有一個(gè)圖形以這兩條直線為對(duì)稱軸，連續(xù)作了兩次軸對(duì)稱移動(dòng)，那么相當(dāng)于這個(gè)圖形作了一次平行移動(dòng)，平行移動(dòng)的距離剛好是這兩個(gè)對(duì)稱軸間距離的2倍.如果我們反復(fù)利用例2的原理，就可以做成帶形的花邊圖案.例如，我們把一張等寬的長(zhǎng)紙條像圖2-159那樣折疊起來(lái)，并在上面用小刀刻出一個(gè)三角形的洞，然后再展開(kāi)這張紙條，就會(huì)得到如圖2-160那樣的帶形圖案.I丨丨丨丨iIfa翦S-159如果我們把圖2-160中的m2,mi，mo,巴，巴，巴看成鏡子，Ao看作實(shí)物，那么A1，A2和A-1，A-2就是A0在鏡子中的像了其實(shí)，圖中的A1是Ao以mo為對(duì)稱軸作對(duì)稱移動(dòng)的對(duì)稱圖形，也可以把A看作是A作一次平行移到所得到的圖形.由此，怎樣看待A1和A?的關(guān)系以及A2和Ao的關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們自己乍出回答.有了上面的知識(shí)，同學(xué)們不僅可以自己設(shè)計(jì)一些帶形花邊圖案，還可以了解某些廣告上畫(huà)的花邊圖案的原理了.下面的圖2-161和圖2-162是兩個(gè)帶形圖案，你能看出它們是怎樣設(shè)計(jì)的嗎？圖2-161圖2-162如果我們把前面圖2-160中的m,m,m,m,m等看作平行的鏡子，A看作一210-1-20個(gè)人，如果這個(gè)人在鏡子中m和IQ之間反復(fù)映照，那么就會(huì)看到圖2-163的情況.m3叫ftiqm-im-2rn-3m-4九1%A-!-2A-s;1'-2-163可以想象，在鏡子m中的像A,A,A，以及在鏡子m中的像A,A,A，01231-1-2-3是無(wú)限多的.還可以知道：A在鏡m中的像是A，A在鏡m中的像是A，A在鏡0011-1-2-2m中的像是A，如此等等.因?yàn)锳和A，A和A是軸對(duì)稱移動(dòng)，所以A到A是平03011202行移動(dòng).例3設(shè)直線11和直線12相交，交點(diǎn)為0,其夾角為a.如果線段AB關(guān)于1勺軸對(duì)稱圖形是AzBz，而AB'關(guān)于l的軸對(duì)稱圖形是AB.試問(wèn)AB和AB2間有什么關(guān)系？（見(jiàn)圖2-164）解因?yàn)橐阎狝B關(guān)于11的對(duì)稱圖形是AzBZ,AZB'關(guān)于12的對(duì)稱圖形是AB，所以AB=AZBz，AzBz=AB，所以AB=AB，0國(guó)：2lE4由于ZA0P=ZAz0P，ZAzOP'=ZAOP',所以ZA0A=2ZP0P'=2a.同理ZB0B=2ZP0P'=2a，所以ZA0A=ZB0B=2a.由，可知：在平面上，如果兩條直線相交，一個(gè)圖形以這兩條直線為對(duì)稱軸，連續(xù)作兩次對(duì)稱移動(dòng)，那么相當(dāng)于這個(gè)圖形以這兩條直線的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，以這兩條直線的交角的2倍為旋轉(zhuǎn)角，作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)移動(dòng)下，圖形的大小不變.例4同學(xué)們小時(shí)候常常玩萬(wàn)花筒，它是由三塊等寬、等長(zhǎng)的玻璃片圍成的為什么在萬(wàn)花筒中會(huì)出現(xiàn)美麗奇特的圖案呢？試用前邊的知識(shí)揭開(kāi)萬(wàn)花筒的秘密.解萬(wàn)花筒中所以能呈現(xiàn)千變?nèi)f化、美麗而奇特的圖案，主要是利用了圖形的對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)原理.為具體說(shuō)明，給出的圖2-165為萬(wàn)花筒中的一個(gè)圖案，它是用一個(gè)小圓、一個(gè)平行四邊形和一段短線在萬(wàn)花筒中連續(xù)反射而成的圖形.為了清楚地說(shuō)明上圖形成的原理，我們?nèi)〕鰣D形中的一部分（圖2-166）加以分析.正厶ABO以O(shè)B為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱移動(dòng)，就得到CB0；ACB0以O(shè)C為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱移動(dòng)，就得到厶CDO.經(jīng)過(guò)這樣兩個(gè)軸對(duì)稱移動(dòng)，實(shí)際上相當(dāng)于ABO以0為中心，以120°為旋轉(zhuǎn)角，作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)這樣：點(diǎn)A-點(diǎn)C,邊A0-邊C0，點(diǎn)B-點(diǎn)D,邊AB-邊CD，點(diǎn)0-點(diǎn)0,邊B0-邊D0.在這樣旋轉(zhuǎn)移動(dòng)下ABO中的平行四邊形、小圓和曲線也跟著旋轉(zhuǎn)了120°.經(jīng)多次反復(fù)，就形成了圖2-165的綺麗景色.如果同學(xué)們有興趣，可以自己在紙上再現(xiàn)萬(wàn)花筒中的世界！練習(xí)二十九1. 設(shè)l和l是兩面平行相對(duì)的鏡子，如果把一個(gè)小球放在l和l之間(圖12122-167)，試問(wèn):11A*：=L*魁Z167(1) 小球A在鏡l1中的像A'在什么位置?(2) 小球A在鏡li中的像A'在鏡l2中的像A又在什么位置？分別畫(huà)在圖上；(3) 小球A和像A之間的距離與l和l之間的距離有什么關(guān)系？122. 圖2-168是萬(wàn)花筒中的一個(gè)圖案，其中菱形FJKG變成菱形FDAC，如果看成經(jīng)過(guò)以F點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角為x的旋轉(zhuǎn)移動(dòng)得到的，那么x等于多少度？請(qǐng)從下面的四個(gè)答案中選出一個(gè)正確的答案來(lái).圖2168(A) 60°；(B) 120°；(0180°；(D)以上答案都不對(duì).3. 圖2-169是游樂(lè)園中的大型旋轉(zhuǎn)車(chē)的簡(jiǎn)圖，游人坐在旋轉(zhuǎn)車(chē)的車(chē)斗中，任憑旋轉(zhuǎn)車(chē)不停地旋轉(zhuǎn)，但總是頭朝上，絕不會(huì)掉下來(lái)試問(wèn)車(chē)斗所作的移動(dòng)是什么移動(dòng)？請(qǐng)?jiān)谙旅娲鸢钢羞x一個(gè)正確的答案.(A)旋轉(zhuǎn)；(B)對(duì)稱；(C) 平移；(D)以上答案都不對(duì).4. 圖2-170表示一張長(zhǎng)方形球臺(tái)，設(shè)P，Q為兩個(gè)球，若擊P球，使它碰CD邊后，反彈正好擊中Q球.試問(wèn)P應(yīng)碰撞CD邊的哪一點(diǎn)？