高三數(shù)學第一篇七 概率與統(tǒng)計 第2講 概率、離散型隨機變量及其分布 理

第第2 2講講 概率、離散型隨機變量及其概率、離散型隨機變量及其分布分布考情分析考情分析總綱目錄考點一 古典概型與幾何概型考點二 相互獨立事件和獨立重復試驗（高頻考點）考點三 隨機變量的分布列、均值與方差考點一 古典概型與幾何概型1.古典概型的概率公式P(A)=.說明說明求事件包含的基本事件數(shù)常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關知識.mnA事件 所包含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù)2.幾何概型的概率公式P(A)=.()()A構成事件 的區(qū)域長度 面積或體積試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度 面積或體積典型例題典型例題(1)(2017山東,8,5分)從分別標有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.B.C.D.(2)(2017西安八校聯(lián)考)在平面區(qū)域(x,y)|0 x2,0y4內(nèi)隨機投入一點P,則點P的坐標(x,y)滿足yx2的概率為()A.B.C.D.51849597912132334解析解析(1)由題意可知依次抽取兩次的基本事件總數(shù)n=98=72,抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的基本事件個數(shù)m=40,所以所求概率P=.故選C.(2)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為24=8,不等式組表示的平面區(qū)域的面積為x2dx=x3=,因此所求的概率為=,故選B.15C14C22Amn40725902,04xy202,04,xyyx2013208383813答案答案(1)C(2)B方法歸納方法歸納1.古典概型求解的關鍵點(1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),這常常用到排列、組合的有關知識;(2)對于較復雜的題目計數(shù)時要正確分類,分類時應不重不漏.2.幾何概型的適用條件及其關鍵(1)適用條件:當構成試驗的結果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時,應考慮使用幾何概型求解.(2)關鍵:尋找構成試驗全部結果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域是關鍵,有時需要設出變量,在坐標系中表示所需要的區(qū)域.跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試)從1至9共9個自然數(shù)中任取七個不同的數(shù),則這七個數(shù)的平均數(shù)是5的概率為()A.B.C.D.23131918答案答案C從1至9共9個自然數(shù)中任取七個不同的數(shù)的取法共有=36種,因為1+9=2+8=3+7=4+6,所以從(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)中任選三組,則有=4,故這七個數(shù)的平均數(shù)是5的概率為=,故選C.79C9 8234C436192.(2017廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試)在區(qū)間-1,1上隨機取一個數(shù)k,使直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交的概率為()A.B.C.D.12132423答案答案C若直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交,則圓心到直線的距離d=1,解得-k,故在區(qū)間-1,1上隨機取一個數(shù)k,使直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交的概率為P=,選C.2|3 |1kk242422224考點二 相互獨立事件和獨立重復試驗(高頻考點)命題點命題點1.條件概率.2.相互獨立事件的概率.3.獨立重復試驗的概率.1.條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率:P(B|A)=.()( )P ABP A2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B).3.獨立重復試驗、二項分布如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p,那么它在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.Ckn典型例題典型例題(2017天津,16改編)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為,.(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列;(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.解析解析(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=1-1-+1-1-+=,P(X=2)=+=,1213141121131141412131412131411211314112411213141211314121311414(2)設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù),則所求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=+=.所以,這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.14112411241411481148P(X=3)=.所以,隨機變量X的分布列為121314124X0123P14112414124方法歸納方法歸納求相互獨立事件和獨立重復試驗概率的策略(1)求復雜事件的概率,要正確分析復雜事件的構成,看復雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件,然后用概率公式求解.(2)一個復雜事件若正面情況比較多,反面情況較少,則一般利用對立事件進行求解,對于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解.(3)注意辨別獨立重復試驗的基本特征:在每次試驗中,試驗結果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;在每次試驗中,事件發(fā)生的概率相同.(4)牢記公式Pn(k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n,并深刻理解其含義.Ckn跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017武漢武昌調(diào)研考試)小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游,每人只去一個景點,設事件A=“4個人去的景點不相同”,事件B=“小趙獨自去一個景點”,則P(A|B)=()A.B.C.D.29134959答案答案 A小趙獨自去一個景點,則有4個景點可選;其余3人只能在剩下的3個景點中選擇,共有333=27種選取方法,所以小趙獨自去一個景點共有427=108種選取方法,4個人去的景點不相同共有4321=24種選取方法,所以P(A|B)=.故選A.24108292.(2017寶雞質(zhì)量檢測(一)現(xiàn)有4個人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動,該活動有甲、乙兩個項目可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯(lián)歡,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲項目聯(lián)歡,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙項目聯(lián)歡.(1)求這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率;(2)求這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率.解析解析依題意,這4個人中,每個人去參加甲項目聯(lián)歡的概率為,去參加乙項目聯(lián)歡的概率為.設“這4個人中恰好有i人去參加甲項目聯(lián)歡”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),則P(Ai)=.(1)這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率P(A2)=.(2)設“這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)”為事件B,則B=A3A4,故P(B)=P(A3)+P(A4)=+=.這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)13234Ci13i423i24C21322382734C3132344C41319的概率為.19考點三 隨機變量的分布列、均值與方差1.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b為實數(shù)).(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b為實數(shù)).2.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若XB(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).典型例題典型例題(2017課標全國,18,12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?解析解析(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=500)=0.4.因此X的分布列為2 16903690257490X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因此只需考慮200n500.當300n500時,若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y=6300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.當200n300時,若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300時,Y的數(shù)學期望達到最大值,最大值為520元.方法歸納方法歸納求解隨機變量分布列問題的兩個關鍵點(1)求離散型隨機變量分布列的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件,然后綜合應用各類概率公式求概率.(2)求隨機變量均值與方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列,若隨機變量服從二項分布,則可直接使用公式法求解.跟蹤集訓跟蹤集訓(2017廣西三市第一次聯(lián)考)某公司為招聘新員工設計了一個面試方案:應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,按照題目要求獨立完成.規(guī)定:至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;應聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列及數(shù)學期望;(2)請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性大.解析解析(1)設甲正確完成面試的題數(shù)為,則的可能取值為1,2,3.P(=1)=;23124236C CC15P(=2)=;P(=3)=.應聘者甲正確完成題數(shù)的分布列為214236C CC35304236C CC15123P153515E()=1+2+3=2.設乙正確完成面試的題數(shù)為,則的可能取值為0,1,2,3.P(=0)=;P(=1)=;15351503C31312713C123213627P(=2)=;P(=3)=.應聘者乙正確完成題數(shù)的分布列為23C22313122733C3238270123P1276271227827E()=0+1+2+3=2.(2)因為D()=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2=,D()=3=,所以D()D().綜上所述,從做對題數(shù)的數(shù)學期望考察,兩人水平相當;從做對題數(shù)的方差考察,甲較穩(wěn)定;從至少完成2道題的概率考察,甲面試通過的可能性大.1276271227827223,( )32.33BE 或因為所以153515252313231.(2017課標全國,2,5分)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.148124隨堂檢測隨堂檢測答案答案B設正方形的邊長為2,則正方形的內(nèi)切圓半徑為1,其中黑色部分和白色部分關于正方形的中心對稱,則黑色部分的面積為,所以在正方形內(nèi)隨機取一點,此點取自黑色部分的概率P=,故選B.222 282.(2017安徽兩校階段性測試)將三顆骰子各擲一次,記事件A=“三個點數(shù)都不同”,B=“至少出現(xiàn)一個6點”,則條件概率P(A|B),P(B|A)分別是()A.,B.,C.,D.,60911212609151860919121612答案答案A由題意得事件A包含的基本事件個數(shù)為654=120,事件B包含的基本事件個數(shù)為63-53=91,在B發(fā)生的條件下A發(fā)生包含的基本事件個數(shù)為=60,在A發(fā)生的條件下B發(fā)生包含的基本事件個數(shù)為=60,所以P(A|B)=,P(B|A)=.故選A.13C25A13C25A609160120123.(2017課標全國,13,5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=.答案答案1.96解析解析由題意可知XB(100,0.02),由二項分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96.4.(2017湖南五市十校聯(lián)考)為響應國家“精準扶貧,產(chǎn)業(yè)扶貧”戰(zhàn)略的號召,進一步優(yōu)化能源消費結構,某市決定在地處山區(qū)的A縣推進光伏發(fā)電項目.在該縣山區(qū)居民中隨機抽取50戶,統(tǒng)計其年用電量得以下統(tǒng)計表.以樣本的頻率作為概率.用電量(單位:度)(0,200(200,400(400,600(600,800(800,1000戶數(shù)51510155(1)在該縣山區(qū)居民中隨機抽取10戶,記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X,求X的數(shù)學期望;(2)已知該縣某山區(qū)自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量為300千瓦的光伏發(fā)電機組,該機組所發(fā)電量除保證該村正常用電外,剩余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價格進行收購.經(jīng)測算每千瓦裝機容量的發(fā)電機組年平均發(fā)電1000度,試估計該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接收益多少元.解析解析(1)記在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶,其年用電量不超過600度為事件A,則P(A)=.由已知可得從該縣山區(qū)居民中隨機抽取10戶,記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X,X服從二項分布,即XB,故E(X)=10=6.(2)設該縣山區(qū)居民戶年均用電量為E(Y),由抽樣可得E(Y)=100+300+500+700+900=500(度).則該自然村年均用電約150000度.又該村所裝發(fā)電機組年預計發(fā)電量為300000度,故該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約150000度,能為該村創(chuàng)造直接收益120000元.35310,535550155010501550550