2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 數(shù)列教案 舊人教版

2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本數(shù)列教案舊人教版一、基礎(chǔ)知識定義1數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1,2,3,，.數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列a的一般形式通常記作a,a,a,，a或a,a,a,，a。其中n123n123na叫做數(shù)列的首項，a是關(guān)于n的具體表達式，稱為數(shù)列的通項。1n定理1若S表示a的前n項和，則S=a,當(dāng)n1時，a=S-S.nn11nnn-1定義2等差數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)n,都有a-a=d(常數(shù))，貝a稱為等差數(shù)列,n+1nnd叫做公差。若三個數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，即2b=a+c,則稱b為a和c的等差中項，若公差為d,則a=b-d,c=b+d.定理2等差數(shù)列的性質(zhì)：1)通項公式a=a+(n-1)d；2)前n項和公式：n1n(a+a)n(n-1),S=1n=na+d；3)a-a=(n-m)d,其中n,m為正整數(shù)；4)若n+m=p+q,n212nm則a+a=a+a；5)對任意正整數(shù)p,q,恒有a-a=(p-q)(a-a)；6)若A,B至少有一個nmpqpq21不為零，則a是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.n定義3等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n,都有，貝a稱為等比數(shù)列，q叫做公比。n定理3等比數(shù)列的性質(zhì)：1)a=aqn-1；2)前n項和S，當(dāng)q1時，S=；當(dāng)q=1時，S=na；n1nnn13)如果a,b,c成等比數(shù)列，即b2=ac(b0)，則b叫做a,c的等比中項；4)若m+n=p+q,則aa=aa。mnpq定義4極限，給定數(shù)列a和實數(shù)A,若對任意的0,存在M,對任意的nM(nwN)，都有n|a-A|，則稱A為n+B時數(shù)列a的極限，記作nn,定義5無窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列a的公比q滿足|q|1,則稱之為無窮遞增等比n數(shù)列，其前n項和S的極限(即其所有項的和)為(由極限的定義可得)。n定理3第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：(1)p(no)成立；(2)當(dāng)p(n)時n=k成立時能推出p(n)對n=k+1成立，則由(1),(2)可得命題p(n)對一切自然數(shù)n三氣成立。競賽常用定理定理4第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：(1)p(n°)成立；(2)當(dāng)p(n)對一切nWk的自然數(shù)n都成立時(k三氣)可推出p(k+1)成立，則由(1),(2)可得命題p(n)對一切自然數(shù)n三n°成立。°定理5對于齊次二階線性遞歸數(shù)列x=ax+bx，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個根為a,nn-1n-2B:若aB，則x=can-1+cpn-1,其中c,c由初始條件x,x的值確定；若a邙,n121212則x=(cn+c)an-1，其中c,c的值由x,x的值確定。n121212二、方法與例題1不完全歸納法。這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊一猜想一數(shù)學(xué)歸納法證明。例1試給出以下幾個數(shù)列的通項(不要求證明)；1)0,3,8,15,24,35,；2)1,5, 19,65,；3)-1,0,3,8,15,。【解】1)a=n-1；2)a=3n-2n；3)a=n2-2n.n2nn例2已知數(shù)列a滿足a=,a+a+a=n2a,n±1,求通項a.n112nnn【解】因為a1=,又a1+a2=22a?,所以a2=,a3二,猜想(n三1).證明；1)當(dāng)n=1時，a1=，猜想正確。2)假設(shè)當(dāng)nWk時猜想成立。當(dāng)n=k+1時，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a+a+a二(k+1)2-1ak,111k+1所以=k(k+2)ak+1,+3x2kx(k+1)111111+1=k(k+2)ak+1,即1-1+1-1+1-丄223kk+1所以=k(k+2)a，所以a=k+1k+1由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以例3設(shè)Oal,數(shù)列a滿足a=1+a,a=a+,求證：對任意nwN,有a>1.nnn-1+n【證明】證明更強的結(jié)論：1aW1+a.n1) 當(dāng)n=1時，1<ai=1+a，式成立；2) 假設(shè)n=k時，式成立，即1aW1+a,則當(dāng)n=k+1時，有n111+a+a21+a1+a>a=+a>+a二>=1.k+ia1+a1+a1+ak由數(shù)學(xué)歸納法可得式成立，所以原命題得證。2迭代法。數(shù)列的通項a或前n項和S中的n通常是對任意neN成立，因此可將其中的n換成n+1nn或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。例4數(shù)列a滿足a+pa+qa=0,n±3,qO,求證：存在常數(shù)c,使得a+nnn-1n-2n【證明a+(pa+a)+=a(qa)+二n+1n+1n+2n+2n+a(pq+qa)=q().nn+1n若=0，則對任意n,+=0,取c=0即可.若0,貝9+是首項為，公式為q的等比數(shù)列。所以+=qn.取即可.綜上，結(jié)論成立。例5已知a=0,a=5a+,求證：a都是整數(shù)，neN.1n+1nn+【證明】因為a=0,a=1，所以由題設(shè)知當(dāng)n±1時a>a.12n+1n又由a=5a+移項、平方得n+1na2一10aa+a2一1=0.n+1nn+1n當(dāng)n±2時，把式中的n換成n-1得a2-10aa+a2-1=0，即nnn一1n一1a2一10aa+a2一1=0.n+1nn+1n因為a<a，所以式和式說明a,a是方程X2-10ax+-1=0的兩個不等根。由韋達-1+1-1+1定理得a+a=10a(n22).+1-1再由a=0,a=1及式可知，當(dāng)neN時，a都是整數(shù)。12+3數(shù)列求和法。數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。例6【解】已知a=(n=1,2,)，求S=a+a+a.12100n9912992X2100+4n+4100-n因，為a+a=+=n100-n4100X2+2100(4n+4100-n)992100992101所以S二£(a+a)=X992n100一n2n=1例7求和：+解】一般地，k(k+1)(k+2)=1)k+2一k2k(k+1)(k+2)21k(k+1)(k+1)(k+2)丿所以Sn=n11111=一+一+21_1x22x32x33x411+一n(n+1)(n+1)(n+2)例8已知數(shù)列a滿足a=a=1,a=a+a,S為數(shù)列的前n項和，求證:n12n+2n+1nnS<2。n112358a因為S=+-+-+-+-+n,n222232425262n【證明】由遞推公式可知，數(shù)列a前幾項為1,1,2,3,5,8,13。n11235a所以一S=+-+-+-+。2n222324252n+1111r11、aa由-得三S=+n-2n-2n222V2222n-2丿2n+1所以。又因為S<S且>0,-2所以S,所以，n所以S<2，得證。n4特征方程法。例9已知數(shù)列a滿足a=3,a=6,a=4-4a，求a.12+2+1【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.故設(shè)a=(a+Bn)2n-i,其中，12n所以a=3,B=0,所以a=32n-i.n例10已知數(shù)列a滿足a=3,a=6,a=2a+3a，求通項a.n12n+2n+1nn【解】由特征方程X2=2x+3得xg,x2=-1,所以a=a3n+B(-1)n,其中，n解得a=,B,所以3。5構(gòu)造等差或等比數(shù)列。例11正數(shù)列a,a,，a,滿足=2a(n±2)且a=a=1，求通項。01nn-101iI【解】由aa-xaa=2a得=1,'nn-2-n-1n-2n-1I(、Iarclar即In+1二2In-1+1.aVan-1vn-2丿令b=+1,貝yb是首項為+1=2，公比為2的等比數(shù)列，nn所以b=+1=2n，所以=(2n-1)2,n所以aa=n0注:CCC.12n例12已知數(shù)列x滿足x=2,x=,neN,求通項。n1n+1+【解】考慮函數(shù)f(x)=的不動點，由=乂得x=因為x=2,x=，可知x的每項均為正數(shù)。1n+1n又+2三，所以xXn+1-=,n+1X+=,n+1由三得。n+1三（n±1）。又又>0，由可知對任意neN,>0且lg+x-%2n+4x+2n+1=2lg所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列。所以，所以,解得(2+邁)(2+邁)2n-1(2、：2)2n1注：本例解法是借助于不動點，具有普遍意義。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1. 數(shù)列x滿足x=2,X=S+(n+l)，其中S為x前n項和，當(dāng)n±2時，x=,n1n+1nnnn2. 數(shù)列x滿足x=,x二，則x的通項x=.n1n+1nn3. 數(shù)列x滿足x=1,x=+2n-1(n22)，則x的通項x=.n1nnn4. 等差數(shù)列a滿足3a=5a，且a>0,S為前n項之和，則當(dāng)S最大時，n=.n8131nn5. 等比數(shù)列a前n項之和記為S,若S=10，S=70，則S=.nn1030406. 數(shù)列x滿足x=x-x(n三2),x=a,x=b,S=x+x+x，則S=.nn+1nn-112n12n1007. 數(shù)列a中，S=a+a+a二n24n+1貝則|a|+|a|+a|=.nn12n1210xxTinn-T'并且尸尸+于8,則x1=xxx8.9.10.若一i二2=3x+1x+3x+5123n等差數(shù)列a，b的前n項和分別為S和T,若，則=,nnnn若n!=n(n1)21,則=.11. 若a是無窮等比數(shù)列，a為正整數(shù)，且滿足a+a=4&logaloga+logaloga+nn5622232225logaloga+logaloga=36,求的通項。2226252612. 已知數(shù)列a是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，且b=1,b=5,n12b=17,求：(1)q的值；(2)數(shù)列b的前n項和S。四、高考水平訓(xùn)練題c1x+21.已知函數(shù)f(x)二<2x1x一13nn(1)I2丿(1A-<x<1，若數(shù)列a滿足a=,a=f(a)(neN+),n1n+1nk2丿(x>1)則axx=.xx2已知數(shù)列a滿足a=1,a二a+2a+3a+(n-1)a(n22),則a的通項a=.n1n123n1nn3. 若a=n2+,且a是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.nn4. 設(shè)正項等比數(shù)列a的首項a=,前n項和為S,且2吧(2】。+1)S+S=0,則n1n302010a=.n5. 已知，則a的取值范圍是.6. 數(shù)列a滿足a=3a+n(nwN+)，存在個a值，使a成等差數(shù)列；存在nn+1n1n個a值，使a成等比數(shù)列。1n7. 已知(nGN+),貝在數(shù)列an的前50項中，最大項與最小項分別是.8. 有4個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和中16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，則這四個數(shù)分別為.9. 設(shè)a是由正數(shù)組成的數(shù)列，對于所有自然數(shù)n,a與2的等差中項等于S與2的等比nnn中項，則a=.n10. 在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有項是在100與1000之間的整數(shù).11. 已知數(shù)列a中，a0,求證：數(shù)列a成等差數(shù)列的充要條件是nnn11111+-(n三2)恒成立。aaaaaaaaaa122334nn+11n+112. 已知數(shù)列a和b中有a=ab,b=(n三2),當(dāng)a=p,b=q(p>0,q>0)且p+q=1時，nnnn1nn11(1) 求證：a>0,b>0且a+b=1(neN)；(2)求證：a+1=；(3)求數(shù)列nnnnn13. 是否存在常數(shù)a,b,c,使題設(shè)等式122+232+n(n+l)2=(an2+bn+c)對于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項和為972，這樣的數(shù)列共有個。2. 設(shè)數(shù)列x滿足x=1,x=，則通項x=.n1nn3. 設(shè)數(shù)列a滿足a=3,a>0，且，則通項a=.n1nn4. 已知數(shù)列a,a,a,，a,滿足關(guān)系式(3-a)(6+a)=18,且a=3,則二.012+105. 等比數(shù)列a+log3,a+log3,a+log3的公比為=.2486. 各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項的平方與其余各項之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有項.7. 數(shù)列a滿足a=2,a=6,且=2,則12a+、:'aalim12n=.nT8n2&數(shù)列a稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a=0,a-qa構(gòu)成公比為q的等比0+1數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時，項數(shù)最多有項.a為偶數(shù)n。問：對于怎樣的ha為奇數(shù)na9.設(shè)heN，數(shù)列a定義為：a=1,a=<2+n0n+1a+hn存在大于0的整數(shù)n,使得a=1?n10設(shè)a為一非負整數(shù)列，且對任意k±l,滿足a三a+a，(1)求證：對任意正整kk21k2k2k+1數(shù)n,數(shù)列中存在n個連續(xù)項為0；(2)求出一個滿足以上條件，且其存在無限個非零項的數(shù)列。11.求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列,篤,使得a1=1,a2>1,an+1(an+1-1)=六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1. 設(shè)a為下述自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1,3或4,求n證：a是完全平方數(shù)，這里n=1,2,.2n2. 設(shè)a,a,，a表示整數(shù)1,2,，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)12n的排列數(shù)目：a=1;la.-a.|W2,i=1,2,nT。1ii+1試問f(xx)能否被3整除？3.設(shè)數(shù)列a和b滿足a=1,b=0，且nn00Ia=7a+6b-3,/n+1nnb=8a+7b-4,n=0,1,2,.n+1nn求證：a(n=0,1,2,)是完全平方數(shù)。n4. 無窮正實數(shù)數(shù)列x具有以下性質(zhì)：x=1,x.x.(i=0,1,2,)，n0i+1i(1) 求證：對具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個n±1,使三3.999均成立；(2) 尋求這樣的一個數(shù)列使不等式4對任一n均成立。5. 設(shè)x,x,x是各項都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-xk|(k=3,4,n).試12nkk-1k-2問這樣的序列最多有多少項？6. 設(shè)a=a=，且當(dāng)n=3,4,5,時，a=,12n(i)求數(shù)列an的通項公式；(ii)求證：是整數(shù)的平方。7. 整數(shù)列u,U,u,u,滿足u=1，且對每個正整數(shù)n,uu=ku，這里k是某個固定的01230n+1n-1u正整數(shù)。如果u=xx，求k的所有可能的值。xx8. 求證：存在無窮有界數(shù)列x，使得對任何不同的m,k,有|x-xj三nmk9. 已知n個正整數(shù)a,a,a和實數(shù)q,其中0q1,求證：n個實數(shù)b,b,b和滿01n01n足：(1)ab(k=l,2,，n)；kk2)q(k=1,2,n)；(3) b+b+b(a+a+a).12n01n2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本極限與導(dǎo)數(shù)教案舊人教版一、基礎(chǔ)知識1. 極限定義：(1)若數(shù)列u滿足，對任意給定的正數(shù)£，總存在正數(shù)m,當(dāng)n>m且nNn時，恒有|u-A|£成立(A為常數(shù))，則稱A為數(shù)列u當(dāng)n趨向于無窮大時的極限，記為,nn另外=A表示x大于xo且趨向于xo時f(x)極限為A,稱右極限。類似地表示x小于xo且趨向于X時f(x)的左極限。02. 極限的四則運算：如果f(x)=a,g(x)=b，那么f(x)±g(x)=a±b,f(x)g(x)=ab,3連續(xù):如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。4. 最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5. 導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個增量4x時(4x充分小)，因變量y也隨之取得增量4y(Ay=f(x0+Ax)-f(x0).若存在，則稱f(x)在x°處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，記作(x0)或或:即)二limf(X)f(%)由定義知f(x)在點x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若xff(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處切線的斜率。6. 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)=0(c為常數(shù))；(2)(a為任意常數(shù))；(3)(4);(5);(6);(7)；(8)7. 導(dǎo)數(shù)的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)工0,則(1)u(x)土v(x)'=u'(x)土v'(x)；(2)u(x)v(x)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)；(3)(c為常數(shù))；(4)；(5)學(xué)'=u(x)u(x)v'(x)u'(x)v(x)u2(x)8. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對應(yīng)的點u(u=(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，且(f(x)=.9導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：(1)若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；(2)若對一切xw(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；(3)若對一切x£(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。10. 極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在乂處可導(dǎo)，且在x處取得極值，則0011. 極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x°-B,x0+6)內(nèi)可導(dǎo)，(1)若當(dāng)x£(x-6,x)時，當(dāng)xW(x,x+B)時，則f(x)在x處取得極小值；(2)若當(dāng)xG(x-6，00000x0)時，當(dāng)xG(x0,x0+6)時，則f(x)在x0處取得極大值。12. 極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在X。的某領(lǐng)域(x0-6,x0+6)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且。(1)若，則f(x)在x0處取得極小值；(°2)若，則f(x)在x0處取得極大值。13. 羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b),貝V存在§丘(a,b)，使證明若當(dāng)xW(a,b),f(x)三f(a),則對任意x£(a,b),.若當(dāng)x£(a,b)時,f(x)Mf(a),因為f(x)在a,b上連續(xù)，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一個不等于f(a),不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則cW(a,b),且f(c)為最大值，故，綜上得證。14. Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在gW(a,b),使證明令F(x)=f(x)-,則F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且F(a)=F(b),所以由13知存在gW(a,b)使=0,即15. 曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1)如果對任意xWI,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；(2)如果對任意xWI,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。16. 琴生不等式：設(shè)a,a，,awr+,a+a+a=1。(1)若f(x)是a,b上的凸函12n12n數(shù)，則x,x,xWa,b有f(ax+ax+ax)Waf(x)+af(x)+af(x).12n1122nn1122nn二、方法與例題1.極限的求法。例1求下列極限：(1)；(2)；(3)limns11+-JVn2+2yn2+n丿；(4)=1.11)=；2)an當(dāng)a>1時，limnT81+an=lim1ng(1=1.當(dāng)0a1時，limnT81+anlimann阿1+limanns1+0當(dāng)a=1時，liman1+an=lim1f+1lim-+1nTVa丿=0.n(3)因為.=n2+n+-n2+2vn2+1而lim=limnTg：n2+n二1,lim11+1nTg：n2+1i1n=lim二1,：1+丄所以lim+mg4)lim*n(、n+1一*n)=limnTgnTgy.n<n+1+、n=limnTg例2求下列極限：(1)(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|1)；(2)；(3)。解(l)(l+x)(l+x2)(l+)(1+)(1x)(1+x)(1+x2)(1+x2n)1一x2n+11lim=lim=ns1一xnT81一x1一x2)lim=limxt1(1x)(2+x)=limxI=limxtII=lim2+x=1.xT11+x+x2(x21)(*3x+1+x)x2一1(3)lim=limxtiJ3x一+'1+xxti(<3x一y'1+x)(a/3x+a/1+x)2(1-x)xtI(x一1)(x+1)(3x+：1+x)一(x+1)(蘋3x+1+x)lim=limxtI2連續(xù)性的討論。例3設(shè)f(x)在(-00，+00)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x),又當(dāng)xG0,1)時，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。解當(dāng)x£0,1)時，有f(x)=x(1-x)2,在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t則x=t-1,當(dāng)x1,2)時，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因為tTW0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-1)2,從而tw1,2)時,有f(t)=2(t-1)(2-1)2；同理，當(dāng)x£1,2)時，令x+1=t，則當(dāng)tw2,3)時，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-1)2.從而2(x1)(2x)2,xe1,2)f(x)=<、所以4(x2)(3x)2,xe2,3丿limf(x)=lim2(x1)(2x)2=0,limf(x)=lim4(x2)(3x)2=0，所以x-2x-2x-2+x-2+f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。3利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。解因為點(2,0)不在曲線上，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0)，貝9，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因為此切線過點(2,0)，所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0.4導(dǎo)數(shù)的計算。例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=sin(3x+1)；(2)；(3)y=ecos2x；(4)；(5)y=(1-2x)x(x>0且)。解(1)y'=cos(3x+1)-(3x+1)'=3cos(3x+1).(2)y'=(5x2+3x、'x)'x(5x2+3xx)-(x)'x21)10x+3x5x2+3x+寸x2jx丿x2(3)y'二ecos2x-(cos2x)'=ecos2x-(-sin2x)-(2x)'=-2ecos2xsin2x.4)I(x+px2-1)'=x+i：x21(5)y'=(12x)x'=exin(1-2x)'二exin(1-2x)(xln(12x)'二(I-2x)xln(1-2x)-y5用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例6設(shè)a0,求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(xW(0,+b)的單調(diào)區(qū)間。解1x+a(x>0)因為x0,a0,所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+<0.(1) 當(dāng)al時，對所有x>0,有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;(2) 當(dāng)a=1時，對xMl,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+s)內(nèi)遞增；(3)當(dāng)0a1時,令，即x2+(2a-4)x+a20，解得x2-a-或x2-a+，因此,f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+00)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-aYx2-a+時，x2+(2a-4)x+<0，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)內(nèi)單調(diào)遞減。6利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。例7設(shè)，求證：sinx+tanx2x.證明設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當(dāng)時，1cosx+一cos2xI1>2.'cosx-cos2x因為0cosx1)所以cosx二cosx+sec2x-2二cosx+.又f(x)在上連續(xù)，所以f(x)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x丘時，f(x)>f(0)=0,即sinx+tanx2x.7. 利用導(dǎo)數(shù)討論極值。例8設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在xi=1和x2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時f(x)在xi與x2處是取得極大值還是極小值。解因為f(x)在(0,+o)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在xi=1,x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1,所以a+2b+1=0,0,解得23162 121(x1)(2x)所以f(x)=lnxx2+X,f(x)=x+1=3 63x33x所以當(dāng)x£(0,1)時，所以f(x)在(0,1上遞減；當(dāng)xe(1,2)時，所以f(x)在1,2上遞增；當(dāng)xW(2,+8)時，所以f(x)在2,+8)上遞減。綜上可知f(x)在xi=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。例9設(shè)x£0,n,yW0,1,試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解首先，當(dāng)x£0,n,yW0,1時，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2xsin(1y)x(1y)xsinx+xy2(1y)2sinxsin(1y)x+(1y)x令g(x)=,2y1(1y)2sinx=(1-y)2x,/、cosx(xtanxV兀、x2g'(x)=(x豐-)當(dāng)時，因為cosx0,tanxx，所以;當(dāng)時，因為cosx0,tanx0,x-tanx0，所以；又因為g(x)在(0,n)上連續(xù)，所以g(x)在(0,n)上單調(diào)遞減。又因為0(1-y)xxn，所以g(1-y)xg(x),即，又因為，所以當(dāng)xW(0,n),yW(0,1)時，f(x,y)>0.其次，當(dāng)x=0時，f(x,y)=0；當(dāng)x=n時，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)n20.當(dāng)y=1時，f(x,y)二-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時，f(x,y)=sinx20.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=n且y=1時，f(x,y)取最小值0。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1=.2已知，則a-b=3limns1+cos2(n+1)33x24x+1+limnT833x2x2+242+(1)nI5.計算lim+lim&x2+1px21)=.nsnxT+86. 若f(x)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù)，且存在，貝y.f(2+h)f(2h)7. 函數(shù)f(x)在(-8,+8)上可導(dǎo)，且，則lim=.h02h8. 若曲線f(x)=x4-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0，則點P坐標(biāo)為.9. 函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是.10. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為.11若曲線在點處的切線的斜率為，求實數(shù)a.12.求sin29。的近似值。13.設(shè)0ba，求證：四、高考水平練習(xí)題1計算=.2計算.3函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間是.。4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是.5函數(shù)f(x)在x0鄰域內(nèi)可導(dǎo)，a,b為實常數(shù)，若，則十f(x+aAx)-f(x-bAx)limoo=.AxtOAx6函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx),x的值域為.7.過拋物線X2=2py上一點(x0,y0)的切線方程為.8. 當(dāng)x>0時，比較大?。簂n(x+l)x.9函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+l,x丘-1,2的最大值為，最小值為.10. 曲線y=e-x(x±O)在點M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t),則S(t)的最大值為.11. 若x>0,求證：(x2-1)lnx三(x-1)2.12. 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+b)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且0,X0W(0,+s).y二kx+m是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m,(1)用x0，f(x0),表示m；(2)證明：當(dāng)xW(0,+8)時，g(x)2f(x)；(3)若關(guān)于x的不等式x2+1±ax+b三在(0,+)上恒成立，其中a,b為實數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。13. 設(shè)各項為正的無窮數(shù)列x滿足lnx+,證明：xW1(nWN)nnn+五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1. 設(shè)M=(十進制)n位純小數(shù)0只取0或1(i=1,2,n-1),a=1，T是M中元素的nnnn個數(shù)，S是M中所有元素的和，則.nn2. 若(1-2x)9展開式的第3項為288，則.3. 設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為.4. 曲線與的交點處的切線夾角是.5. 已知aR+，函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為.6. 已知在(a,3-a2)上有最大值，則a的取值范圍是.7. 當(dāng)x£(1,2時，f(x)=恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為.8. 已知f(x)=ln(ex+a)(a0)，若對任意x£ln(3a),ln(4a)，不等式|m-f-i(x)|+ln0恒成立，則實數(shù)m取值范圍是.9. 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)0ab,證明：0g(a)+g(b)-(b-a)ln2.10. (1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0<x<1)，求f(x)的最小值;(2)設(shè)正數(shù)P,P2,滿足p+p+p+=1，求證：plogp+plogp+log三-n.123121222211. 若函數(shù)gA(x)的定義域A=a,b)，且gA(x)=，其中a,b為任意的正實數(shù)，且a<b,(1)求gA(x)的最小值；(2)討論gA(x)的單調(diào)性；(3)若x丘I=k2,(k+1)2,x丘I二(k+1)2,(k+2)2,證明：4k(k+1)1k2k+1g(x)+g(x)>I1I2kk+1六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1. 證明下列不等式：(1)x<ln(x)<x(x>0)；22(1+x)(2)。2. 當(dāng)0aWbWcWd時，求f(a,b,c,d)二的最小值。3. 已知x,y丘(0,1)求證:xy+yx1.