2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題12 函數(shù)模型及其應(yīng)用（含解析）

專題12函數(shù)模型及其應(yīng)用最新考綱1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實(shí)例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.基礎(chǔ)知識融會貫通1幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a，b為常數(shù)，a0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax【知識拓展】1解函數(shù)應(yīng)用題的步驟2“對勾”函數(shù)形如f(x)x(a>0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(，和，)上單調(diào)遞增，在，0)和(0，上單調(diào)遞減(2)當(dāng)x>0時(shí)，x時(shí)取最小值2，當(dāng)x<0時(shí)，x時(shí)取最大值2.重點(diǎn)難點(diǎn)突破【題型一】用函數(shù)圖象刻畫變化過程【典型例題】某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值（單位：°C）數(shù)據(jù)，繪制如下折線圖，那么，下列敘述錯(cuò)誤的是（）A各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B全年中2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C全年中各月最低氣溫平均值不高于10的月份有5個(gè)D從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢【解答】解：由2018年各月的每天最高氣溫平均值和最低氣溫平均值（單位：）數(shù)據(jù)，繪制出的折線圖，知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān)，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個(gè)，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯(cuò)誤故選：D【再練一題】某種熱飲需用開水沖泡，其基本操作流程如下：先將水加熱到100，水溫y（）與時(shí)間t（min）近似滿足一次函數(shù)關(guān)系；用開水將熱飲沖泡后在室溫下放置，溫度y（）與時(shí)間t（min）近似滿足函數(shù)的關(guān)系式為（a，b為常數(shù)），通常這種熱飲在40時(shí)，口感最佳某天室溫為20時(shí)，沖泡熱飲的部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示那么按上述流程沖泡一杯熱飲，并在口感最佳時(shí)飲用，最少需要的時(shí)間為（）A35minB30minC25minD20min【解答】解：由題意知當(dāng)0t5時(shí)，圖象是直線，當(dāng)t5時(shí)，圖象的解析式為，圖象過（5，100）和（15，60），則，得，即y80（）20，t5，當(dāng)y40時(shí)，得80（）2040，即80（）20，得（），得2，得t25，即最少需要的時(shí)間為25min，故選：C思維升華 判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案【題型二】已知函數(shù)模型的實(shí)際問題【典型例題】在一定的儲存溫度范圍內(nèi)，某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲存溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系yekx+b（e2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)），若該食品在0時(shí)的保鮮時(shí)間為120小時(shí)，在30時(shí)的保鮮時(shí)間為15小時(shí)，則該食品在20時(shí)的保鮮時(shí)間為（）A30小時(shí)B40小時(shí)C50小時(shí)D80小時(shí)【解答】解：由題意可知，e30k，e10k，e20k+b（e10k）2eb12030故選：A【再練一題】地震里氏震級是地震強(qiáng)度大小的一種度量地震釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE4.8+1.5M已知兩次地震的里氏震級分別為8.0級和7.5級，若它們釋放的能量分別為E1和E2，則的值所在的區(qū)間為（）A（1，2）B（5，6）C（7，8）D（15，16）【解答】解：lgE4.8+1.5M，lgE14.8+1.5×816.8，lgE24.8+1.5×7.516.05，E11016.8，E21016.05，100.75，100.7590.7531.535，的值所在的區(qū)間為（5，6），故選：B思維升華 求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型求解實(shí)際問題【題型三】構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問題命題點(diǎn)1構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型【典型例題】已知汽車剎車距離y（米）與行駛速度的平方v2（v的單位：千米/時(shí)）成正比，當(dāng)汽車行駛速度為60千米/時(shí)，剎車距離為20米若某人駕駛汽車的速度為90千米/時(shí)，則剎車距離為 米【解答】解：由汽車剎車距離y（米）與行駛速度的平方v2（v的單位：千米/時(shí)）成正比，設(shè)ykv2，當(dāng)汽車行駛速度為60千米/時(shí)，剎車距離為20米，203600k，解得k，yv2，當(dāng)v90千米/時(shí)，y90245米，故答案為：45【再練一題】某農(nóng)場種植一種農(nóng)作物，為了解該農(nóng)作物的產(chǎn)量情況，現(xiàn)將近四年的年產(chǎn)量f（x）（單位：萬斤）與年份x（記2015年為第1年）之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下：x1234f（x）4.005.627.008.86則f（x）近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f（x）ax+b；f（x）2x+a；f（x）x2+b則你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號是 【解答】解：若模型為，則f（1）2+a4，解得a2，于是f（x）2x+2，此時(shí)f（2）6，f（3）10，f（4）18，與表格中的數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為，則f（1）1+b4，解得b3，于是f（x）x2+3，f（2）7，f93）12，f（4）19，此時(shí)，與表格中的數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)得，解得a，b，經(jīng)檢驗(yàn)是最適合的函數(shù)模型故答案為：命題點(diǎn)2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型【典型例題】已知某種藥物在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，現(xiàn)給某病人靜脈注射了該藥物2500mg，設(shè)經(jīng)過x個(gè)小時(shí)后，藥物在病人血液中的量為ymg（1）y與x的關(guān)系式為 ；（2）當(dāng)該藥物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有療效；而低于500mg，病人就有危險(xiǎn)，要使病人沒有危險(xiǎn)，再次注射該藥物的時(shí)間不能超過 小時(shí)（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：0.20.30.6，0.82.30.6，0.87.20.2，0.89.90.1）【解答】解：（1）由題意知，該種藥物在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，給某病人注射了該藥物2500mg，經(jīng)過x個(gè)小時(shí)后，藥物在病人血液中的量為y2500×（120%）x2500×0.8x（mg），即y與x的關(guān)系式為 y2500×0.8x；（2）當(dāng)該藥物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有療效；而低于500mg，病人就有危險(xiǎn)，令2500×0.8x500，0.8x0.2，0.87.20.2，y0.8x是單調(diào)減函數(shù)，x7.2，所以要使病人沒有危險(xiǎn)，再次注射該藥物的時(shí)間不能超過7.2小時(shí)故答案為：（1）y2500×0.8x，（2）7.2【再練一題】燕子每年秋天都要從北方飛到南方過冬研究發(fā)現(xiàn)，燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v5log2，單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量的單位數(shù)記v125m/s時(shí)耗氧量為O1，v25m/s時(shí)耗氧量為O2，則O1是O2的16倍【解答】解：v5log2，當(dāng)v125m/s時(shí)耗氧量為O1，則255log2，即25，即O110×25，v25m/s時(shí)耗氧量為O2，55log2，即2，即O210×2，2416，故則O1是O2的16倍，故答案為：16命題點(diǎn)3構(gòu)造yx(a>0)型函數(shù)【典型例題】某公司一年購買某種貨物480噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為10萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為3x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)之和最小，則x的值是 【解答】解：設(shè)總費(fèi)用為y，則y3x+103x2240，當(dāng)且僅當(dāng)3x即x40時(shí)取等號故答案為：40【再練一題】某輛汽車以xkm/h的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求60x120）時(shí)，每小時(shí)的油耗（所需要的汽油量）為L，其中k為常數(shù)若汽車以120km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為11.5L欲使每小時(shí)的油耗不超過9L，則速度x的取值范圍為 【解答】解：設(shè)每小時(shí)的油耗（所需要的汽油量）為y，由題意可得y，當(dāng)x120時(shí)，y11.5，11.5（120k），解得k100，y（x100）每小時(shí)的油耗不超過9L，（x100）0，即x2145x+45000，解得45x100，又60x120，可得60x100，每小時(shí)的油耗不超過9升，x的取值范圍為60，100，故答案為：60，100命題點(diǎn)4構(gòu)造分段函數(shù)模型【典型例題】2018年個(gè)稅改革方案中專項(xiàng)附加扣除等內(nèi)容將于2019年全面施行不過，為了讓老百姓盡早享受到減稅紅利，自2018年10月至2018年12月，先將工資所得稅起征額由3500元/月提高至5000元/月，并按新的稅率表（見附錄）計(jì)算納稅按照稅法規(guī)定，小王2018年9月和10月稅款計(jì)算情況分別如下：月份納稅所得額起征額應(yīng)納稅額適用稅率速算扣除數(shù)稅款稅后工資960003500250010%1051455855106000500010003%0305970（相關(guān)計(jì)算公式為：應(yīng)納稅額納稅所得額起征額，稅款應(yīng)納稅額×適用稅率速算扣除數(shù)，稅后工資納稅所得額稅款）（1）某職工甲2018年9月應(yīng)納稅額為2000元，那么他9月份的稅款為 元；（2）某職工乙2018年10月稅后工資為14660元，則他享受減稅紅利為 元附錄：原稅率表（執(zhí)行至2018年9月）新稅率表（2018年10月起執(zhí)行）應(yīng)納稅額稅率速算扣除數(shù)應(yīng)納稅額稅率速算扣除數(shù)不超過1500元3%0元不超過3000元3%0元1500元至4500元10%105元3000元至12000元10%210元4500元至9000元20%555元12000元至25000元20%1410元9000元至35000元25%1005元25000元至35000元25%2660元【解答】解：（1）根據(jù)題意，某職工甲2018年9月應(yīng)納稅額為2000元，則甲的應(yīng)納稅額對應(yīng)的稅率為10%，速算扣除數(shù)為105，那么他9月份的稅款為2000×10%10595元；（2）根據(jù)題意，設(shè)乙的工資為x元，個(gè)稅改革之前其應(yīng)繳的個(gè)稅為y元，個(gè)稅改革之后其應(yīng)繳的個(gè)稅為y元，則y，y，若職工乙2018年10月稅后工資為14660元，即y14660，分析可得有0.1（x5000）210x14660，解可得x15500，該職工的稅款1550014660840元，在個(gè)稅改革之前，該職工的稅款y0.25×（155003500）10051995元，則職工乙享受減稅紅利為19958401155元；故答案為：（1）95，（2）1155【再練一題】某公司代理銷售某種品牌小商品，該產(chǎn)品進(jìn)價(jià)為5元/件，銷售時(shí)還需交納品牌使用費(fèi)3元/件，售價(jià)為x元/件，其中10x30，且xN*根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)10x15，且xN*時(shí)，每月的銷售量h（萬件）與（18x）2成正比；當(dāng)15x30，且xN*時(shí)，每月的銷售量h（萬件）與成反比已知售價(jià)為15元/件時(shí)，月銷售量為9萬件（1）求該公司的月利潤f（x）（萬件）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，該公司的月利潤f（x）最大？并求出最大值【解答】解：（1）當(dāng)10x15且xN×時(shí)，設(shè)h（x）k1（18x）2，由題意可知h（15）9，即99k1，故k11，此時(shí)利潤f（x）（x8）（18x）2，當(dāng)15x30且xN×時(shí)，設(shè)h（x），又h（15）9，故9，故k23此時(shí)利潤f（x）（x8）f（x）（2）當(dāng)10x15且xN×時(shí)，f（x）（x18）（3x34），令f（x）0可得x18（舍）或x，當(dāng)10x時(shí)，f（x）0，當(dāng)x15時(shí)，f（x）0，f（x）在10，）上單調(diào)遞增，在（，15上單調(diào)遞減，xN×，且f（11）147，f（12）144，當(dāng)x11時(shí)，f（x）取得最大值147當(dāng)15x30且xN×時(shí)，f（x），令f（x）0可得x10±2（舍），當(dāng)15x30時(shí)，f（x）0，故f（x）在15，30上單調(diào)遞增，當(dāng)x30時(shí)，f（x）取得最大值f（30）99綜上，當(dāng)x11時(shí)，f（x）取得最大值147答：當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為11元時(shí)，該公司的月利潤f（x）最大，最大利潤為147萬元思維升華 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實(shí)際問題對變量的限制基礎(chǔ)知識訓(xùn)練1圖是一棟新農(nóng)村別墅，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成如圖，屋頂由四坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形點(diǎn)F在平面ABCD和BC上的射影分別為H，M已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面積是FBC面積的2.2倍設(shè)FMH = （1）求屋頂面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （2）已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為k（k為正的常數(shù)），下部主體造價(jià)與其 高度成正比，比例系數(shù)為16 k現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6 m的別墅，試問：當(dāng)為何值時(shí)，總造價(jià)最低？ 【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)該別墅總造價(jià)最低【解析】（1）由題意FH平面ABCD，F(xiàn)MBC，又因?yàn)镠M Ì平面ABCD，得FHHM 在RtFHM中，HM = 5，所以 因此FBC的面積為從而屋頂面積所以S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為)（2）在RtFHM中，所以主體高度為 所以別墅總造價(jià)為記，所以，令，得，又，所以列表：-0+所以當(dāng)時(shí)，有最小值答：當(dāng)時(shí)該別墅總造價(jià)最低2如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，點(diǎn)O距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每10min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處已知在時(shí)刻時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為，其中，求的解析式；在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)P距離地面超過70m？【答案】（1）； （2）摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有點(diǎn)P距離地面超過70m.【解析】（1）由題意可得 （2）由解得：故摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有距離地面超過3小王在某景區(qū)內(nèi)銷售該景區(qū)紀(jì)念冊，紀(jì)念冊每本進(jìn)價(jià)為5元，每銷售一本紀(jì)念冊需向該景區(qū)管理部門交費(fèi)2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念冊以每本20元的價(jià)格銷售時(shí)，小王一年可銷售2000本，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每本紀(jì)念冊的銷售價(jià)格在每本20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400本，而每增加一元則減少銷售100本，現(xiàn)設(shè)每本紀(jì)念冊的銷售價(jià)格為x元寫出小王一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念冊所獲得的利潤與每本紀(jì)念冊的銷售價(jià)格的函數(shù)關(guān)系式，并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域；當(dāng)每本紀(jì)念冊銷售價(jià)格x為多少元時(shí)，小王一年內(nèi)利潤最大，并求出這個(gè)最大值【答案】（1）見解析；（2）32400【解析】由題每本書的成本為7元設(shè)每本紀(jì)念冊的銷售價(jià)格為x元當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，小王一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念冊所獲得的利潤與每本紀(jì)念冊的銷售價(jià)格的函數(shù)關(guān)系式為：此函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)，則當(dāng)時(shí)， 當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，小王獲得的利潤最大為4某地區(qū)遭受了罕見的旱災(zāi)，“旱災(zāi)無情人有情”某單位給某鄉(xiāng)中小學(xué)捐獻(xiàn)一批飲用水和蔬菜共320件，其中飲用水比蔬菜多80件（1）求飲用水和蔬菜各有多少件？（2）現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛，一次性將這批飲用水和蔬菜全部運(yùn)往該鄉(xiāng)中小學(xué)已知每輛甲種貨車最多可裝飲用水40件和蔬菜10件，每輛乙種貨車最多可裝飲用水和蔬菜各20件，則安排甲、乙兩種貨車時(shí)有幾種方案？請你幫助設(shè)計(jì)出來；（3）在（2）的條件下，如果甲種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)400元，乙種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)360元應(yīng)選擇哪種方案可使運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少元？【答案】（1）飲用水和蔬菜分別為200件和120件；（2）有3種方案設(shè)計(jì)方案分別為：甲車2輛，乙車6輛；甲車3輛，乙車5輛；甲車4輛，乙車4輛；（3）運(yùn)輸部門應(yīng)選擇甲車2輛，乙車6輛，可使運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是2960元【解析】（1）設(shè)飲用水有x件，則蔬菜有（x80）件x+（x80）=320，解得x=200x80=120答：飲用水和蔬菜分別為200件和120件；（2）設(shè)租用甲種貨車m輛，則租用乙種貨車（8m）輛得：，解得2m4m為正整數(shù)，m=2或3或4，安排甲、乙兩種貨車時(shí)有3種方案設(shè)計(jì)方案分別為：甲車2輛，乙車6輛；甲車3輛，乙車5輛；甲車4輛，乙車4輛；（3）3種方案的運(yùn)費(fèi)分別為：2×400+6×360=2960（元）；3×400+5×360=3000（元）；4×400+4×360=3040（元）；方案運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是2960元答：運(yùn)輸部門應(yīng)選擇甲車2輛，乙車6輛，可使運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是2960元5某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，54，58為了預(yù)測以后各月的患病人數(shù)，甲選擇的了模型，乙選擇了模型，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a，b，c，p，q，r都是常數(shù)，結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為66，82，115，你認(rèn)為誰選擇的模型較好？需說明理由至少要經(jīng)過多少個(gè)月患該傳染病的人數(shù)將會超過2000人？試用你選擇的較好模型解決上述問題【答案】（1）應(yīng)將作為模擬函數(shù),理由見解析；（2）個(gè)月.【解析】由題意，把，2，3代入得：，解得，所以，所以，；把，2，3代入，得：，解得，所以，所以；更接近真實(shí)值，應(yīng)將作為模擬函數(shù)，解得，至少經(jīng)過11個(gè)月患該傳染病的人數(shù)將會超過2000人6某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量（單位：千克）與銷售單價(jià)（單位：元/千克）滿足關(guān)系式，其中為常數(shù)，已知銷售單價(jià)為元/千克時(shí)，每日可售出該商品千克.（1）求的值；（2）若該商品的進(jìn)價(jià)為元/千克，試確定銷售單價(jià)的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出利潤的最大值.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值等于440.【解析】（1）因?yàn)?且時(shí)，.所以解得. . （2）由（1）可知，該商品每日的銷售量. 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤： 因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，且開口向上，對稱軸為. 所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值等于440. 所以當(dāng)銷售價(jià)格定為6元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大利潤為440元.7小明和爸爸從家步行去公園，爸爸先出發(fā)一直勻速前行，小明后出發(fā)勻速前行，且途中休息一段時(shí)間后繼續(xù)以原速前行家到公園的距離為2000m，如圖是小明和爸爸所走的路程s（m）與步行時(shí)間t（min）的函數(shù)圖象（1）直接寫出BC段圖象所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出t的取值范圍）_（2）小明出發(fā)多長時(shí)間與爸爸第三次相遇？（3）在速度都不變的情況下，小明希望比爸爸早18分鐘到達(dá)公園，則小明在步行過程中停留的時(shí)間需減少多少分鐘？【答案】(1) s=40t400 (2) 37.5min (3) 3min【解析】（1）設(shè)直線BC所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為s=kt+b，將（30，800），（60，2000）代入得，解得，直線BC所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為s=40t400（2）設(shè)小明的爸爸所走路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為s=mt+n，則，解得即小明的爸爸所走路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式是s=24t+200，解方程組，得，即小明出發(fā)37.5min時(shí)與爸爸第三次相遇（3）當(dāng)s=2000時(shí)，2000=24t+200，得t=75，7560=15，小明希望比爸爸早18 min到達(dá)公園，則小明在步行過程中停留的時(shí)間需要減少3min8“綠水青山就是金山銀山”，為了保護(hù)環(huán)境和提高果樹產(chǎn)量，某果農(nóng)計(jì)劃從甲、乙兩個(gè)倉庫用汽車向A，B兩個(gè)果園運(yùn)送有機(jī)化肥，甲、乙兩個(gè)倉庫分別可運(yùn)出80噸和100噸有機(jī)化肥；A，B兩個(gè)果園分別需用110噸和70噸有機(jī)化肥兩個(gè)倉庫到A，B兩個(gè)果園的路程如下表所示：路程（千米）甲倉庫乙倉庫A果園1525B果園2020設(shè)甲倉庫運(yùn)往A果園x噸有機(jī)化肥，若汽車每噸每千米的運(yùn)費(fèi)為2元（1）根據(jù)題意，填寫下表運(yùn)量（噸）運(yùn)費(fèi)（元）甲倉庫乙倉庫甲倉庫乙倉庫A果園x110x2×15x2×25（110x）B果園_（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)甲倉庫運(yùn)往A果園多少噸有機(jī)化肥時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最?。孔钍〉目傔\(yùn)費(fèi)是多少元？【答案】(1)運(yùn)量（噸）運(yùn)費(fèi)（元）甲倉庫乙倉庫甲倉庫乙倉庫A果園x110x2×15x2×25（110x）B果園80xx102×20×（80x）2×20×（x10） (2) y=20x+8300,當(dāng)甲倉庫運(yùn)往A果園80噸有機(jī)化肥時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省，最省的總運(yùn)費(fèi)是6700元【解析】（1）填表如下：運(yùn)量（噸）運(yùn)費(fèi)（元）甲倉庫乙倉庫甲倉庫乙倉庫A果園B果園故答案為80x，x10，2×20×（80x），2×20×（x10）；（2）y=2×15x+2×25×（110x）+2×20×（80x）+2×20×（x10），整理得y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=20x+8300，20<0，且10x80，當(dāng)x=80時(shí)，總運(yùn)費(fèi)y最省，此時(shí)y最小=20×80+8300=6700故當(dāng)甲倉庫運(yùn)往A果園80噸有機(jī)化肥時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省，最省的總運(yùn)費(fèi)是6700元9一輛公交車從A站出發(fā)勻速開往B站在行駛時(shí)間相同的前提下，如果車速是60千米/小時(shí)，就會超過B站0.2千米；如果車速是50千米/小時(shí)，就還需行駛0.8千米才能到達(dá)B站（1）求A站和B站相距多少千米？行駛時(shí)間是多少？如果要在行駛時(shí)間點(diǎn)恰好到達(dá)B站，行駛的速度是多少？（2）圖是這輛公交車線路的收支差額y（票價(jià)總收入減去運(yùn)營成本）與乘客數(shù)量的函數(shù)圖象目前這條線路虧損，為了扭虧，有關(guān)部門舉行了提高票價(jià)的聽證會乘客代表認(rèn)為：公交公司應(yīng)節(jié)約能源，改善管理，降低運(yùn)營成本，以此舉實(shí)現(xiàn)扭虧公交公司認(rèn)為：運(yùn)營成本難以下降，公司已盡力，提高票價(jià)才能扭虧根據(jù)這兩種意見，可以把圖分別改畫成圖和圖（a）說明圖中點(diǎn)A和點(diǎn)B的實(shí)際意義；（b）你認(rèn)為圖和圖兩個(gè)圖象中，反映乘客意見的是_，反映公交公司意見的是_【答案】(1) A站和B站相距5.8千米，行駛時(shí)間是0.1小時(shí)，如果要在行駛時(shí)間點(diǎn)恰好到達(dá)B站，行駛的速度是58千米/小時(shí)(2)（a）A點(diǎn)表示公交公司的該條公交路線的運(yùn)營成本為1萬元；B點(diǎn)表示當(dāng)乘客量為1.5萬人時(shí)，公交公司的該條公交路線收支恰好平衡；（b）反映乘客意見的是圖；反映公交公司意見的是圖；【解析】（1）設(shè)A,B兩站相距千米，行駛時(shí)間是小時(shí)，依題意得，解得（千米/小時(shí)），即如果要在行駛時(shí)間點(diǎn)恰好到達(dá)B站，行駛的速度是（千米/小時(shí)）.（2）（a）A點(diǎn)表示公交公司的該條公交線路的運(yùn)營成本為萬元；B點(diǎn)表示當(dāng)乘客量為萬人時(shí)，公交公司的該條公交線路收支恰好平衡；（b）反映乘客意見的是圖，反映公交公司意見的是圖.10某銀行柜臺異地跨行轉(zhuǎn)賬手續(xù)費(fèi)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為轉(zhuǎn)賬金額的，且最低1元筆，最高50元筆，王杰需要在該銀行柜臺進(jìn)行一筆異地跨行轉(zhuǎn)賬的業(yè)務(wù)(1)若王杰轉(zhuǎn)賬的金額為x元，手續(xù)費(fèi)為y元，請將y表示為x的函數(shù)；(2)若王杰轉(zhuǎn)賬的金額為元，他支付的手續(xù)費(fèi)大于5元且小于50元，求t的取值范圍【答案】(1)；(2).【解析】解：由題意得中的分段函數(shù)得，如果王杰支付的手續(xù)費(fèi)大于5元且小于50元則轉(zhuǎn)賬金額大于1000元，且小于10000元則只需要考慮當(dāng)時(shí)的情況即可由，得即實(shí)數(shù)t的取值范圍是112016年汕頭市開展了一場創(chuàng)文行動一直以來，汕頭市部分市民文明素質(zhì)有待提高、環(huán)境臟亂差現(xiàn)象突出、交通秩序混亂、占道經(jīng)營和違章搭建問題嚴(yán)重，為了解決這一老大難問題，汕頭市政府打了一場史無前例的“創(chuàng)文”仗，目的是全力改善汕頭市環(huán)境、衛(wèi)生道路、交通各方面不文明現(xiàn)象，同時(shí)爭奪2020年“全國文明城市”稱號隨著創(chuàng)文活動的進(jìn)行，我區(qū)生活環(huán)境得到了很大的改善，但因?yàn)檫`法出行的三輪車減少，市民出行偶有不便有一商人從中看到商機(jī)，打算開一家汽車租賃公司，他委托一家調(diào)查公司進(jìn)行市場調(diào)查，調(diào)查公司的調(diào)查結(jié)果如表：每輛車月租金定價(jià)300030503100315032003250能出租的車輛數(shù)輛1009998979695若他打算購入汽車100輛用于租賃業(yè)務(wù)，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元由上表，他決定每輛車月租金定價(jià)滿足：為方便預(yù)測，月租金定價(jià)必須為50的整數(shù)倍；不低于3000元；定價(jià)必須使得公司每月至少能出租10輛汽車設(shè)租賃公司每輛車月租金定價(jià)為x元時(shí)，每月能出租的汽車數(shù)量為y輛(1)按調(diào)查數(shù)據(jù)，請將y表示為關(guān)于x的函數(shù)(2)當(dāng)x何值時(shí)，租賃公司月收益最大？最大月收益是多少？【答案】(1)，且；(2) 當(dāng)時(shí)，即月租金定為4050時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307050元【解析】由表格可知，當(dāng)定價(jià)為3000元時(shí)，能出租100輛，當(dāng)定價(jià)每提升50元時(shí)能出租的車輛將減少1輛，則，令，得，得，得，所以所求函數(shù)，且，知，租賃公司的月收益為，則，時(shí)，取得最大值為307050，即月租金定為4050時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307050元122018年末，天貓某商鋪為了制定2019年?duì)I銷方案，分析了2018年每次促銷活動時(shí)某網(wǎng)紅產(chǎn)品的銷售量單位：千套與銷售價(jià)格單位：元的關(guān)系關(guān)系式為，其中，m為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為40元套時(shí)，每次促銷可售出此產(chǎn)品21千套求m的值；假設(shè)此產(chǎn)品的成本約為每套產(chǎn)品20元只考慮銷售出的產(chǎn)品數(shù)，試確定銷售價(jià)格x的值，使該商鋪每次銷售此產(chǎn)品所獲得的利潤最大【答案】（1）320；（2）見解析【解析】代入，得：，設(shè)商鋪所獲利潤為，則，令，則，令，時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最大值，時(shí)，取得最大值故銷售價(jià)格為套時(shí)，該商鋪每次銷售此產(chǎn)品所獲得的利潤最大13科學(xué)研究表明：人類對聲音有不的感覺，這與聲音的強(qiáng)度單位：瓦平方米有關(guān)在實(shí)際測量時(shí)，常用單位：分貝來表示聲音強(qiáng)弱的等級，它與聲音的強(qiáng)度I滿足關(guān)系式：是常數(shù)，其中平方米如風(fēng)吹落葉沙沙聲的強(qiáng)度平方米，它的強(qiáng)弱等級分貝已知生活中幾種聲音的強(qiáng)度如表：聲音來源聲音大小風(fēng)吹落葉沙沙聲輕聲耳語很嘈雜的馬路強(qiáng)度平方米強(qiáng)弱等級分貝10m90求a和m的值為了不影響正常的休息和睡眠，聲音的強(qiáng)弱等級一般不能超過50分貝，求此時(shí)聲音強(qiáng)度I的最大值【答案】（1）；（2）平方米【解析】（1）將平方米，平方米代入得： 則： 由題意得：，即：，得，即 此時(shí)聲音強(qiáng)度的最大值為平方米14已知甲、乙兩個(gè)旅游景點(diǎn)之間有一條5km的直線型水路，一艘游輪以的速度航行時(shí)考慮到航線安全要求，每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用為萬元為常數(shù)，且，其他費(fèi)用為每小時(shí)萬元若游輪以的速度航行時(shí)，每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用為萬元，要使每小時(shí)的所有費(fèi)用不超過萬元，求x的取值范圍；求該游輪單程航行所需總費(fèi)用的最小值【答案】（1）；（2）見解析【解析】由題意時(shí)，每小時(shí)使用的燃料費(fèi)為，解得；此時(shí)每小時(shí)的所有費(fèi)用為，化簡得，解得；又，的取值范圍是；設(shè)該游輪單程航行所需總費(fèi)用為y萬元，則，令，則，即；由，得對稱軸；，即，則函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；故當(dāng)，即時(shí)，y取得最小值為；，即，則函數(shù)上單調(diào)遞減，故當(dāng)，即時(shí)，y取得最小值為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，該游輪單程航行所需總費(fèi)用的最小值為萬元，當(dāng)時(shí)，該游輪單程航行所需總費(fèi)用的最小值為萬元15隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個(gè)人收入的提高，自2019年1月1日起，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整.調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表：(1)假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記表示總收入，表示應(yīng)納的稅，試寫出調(diào)整前后關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：先從收入在的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅法知識宣講員，求兩個(gè)宣講員不全是同一收入人群的概率；（3）小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時(shí)，請你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少?【答案】（1）調(diào)整前關(guān)于的表達(dá)式為.調(diào)整后關(guān)于的表達(dá)式為.（2）；（3）220.【解析】解：（1）調(diào)整前關(guān)于的表達(dá)式為.調(diào)整后關(guān)于的表達(dá)式為.（2）由頻數(shù)分布表可知從的人群中按分層抽樣抽取人，其中人，分別記為中占人分別記為，再從這人中選人的所有組合有：,共種情況，其中不在同一收入人群的有,共種.所以所求概率為.（3）由于小紅的工資、薪金等稅前收入為元，由（1）得：調(diào)整前元，調(diào)整后元，故實(shí)際收入增加了元.16一種藥在病人血液中的含量不低于2克時(shí)，它才能起到有效治療的作用，已知每服用克的藥劑，藥劑在血液中的含量隨著時(shí)間小時(shí)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中若病人一次服用9克的藥劑，則有效治療時(shí)間可達(dá)多少小時(shí)？若病人第一次服用6克的藥劑，6個(gè)小時(shí)后再服用3m克的藥劑，要使接下來的2小時(shí)中能夠持續(xù)有效治療，試求m的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，當(dāng)可得，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，綜上可得，所以病人一次服用9克的藥劑，則有效治療時(shí)間可達(dá)小時(shí)；時(shí)，由均為減函數(shù)，可得遞減，即有，由，可得，可得m的最小值為17如圖，已知一個(gè)長方形展覽大廳長為20m，寬為16m，展廳入口位于其長邊的中間位置，為其正中央有一個(gè)圓心為C的圓盤形展臺，現(xiàn)欲在展廳一角B點(diǎn)處安裝一個(gè)監(jiān)控?cái)z像頭對展臺與入口進(jìn)行監(jiān)控（如圖中陰影所示），要求B與圓C在同一水平面上（1）若圓盤半徑為2m，求監(jiān)控?cái)z像頭最小水平攝像視角的正切值；（2）若監(jiān)控?cái)z像頭最大水平攝像視角為60°，求圓盤半徑的最大值（注：水平攝像視角指鏡頭中心點(diǎn)與水平觀察物體邊緣的視線的夾角）【答案】(1) 1+ (2) 5-4【解析】解：（1）過C作入口所在邊的高AC，垂足為A，由題意可知AC=8，AB=10，BC=2，tanABC=，過B作圓C的切線BE，切點(diǎn)為E，則CEBE，CE=2，且ABE為監(jiān)控?cái)z像頭最小水平攝像視角BE=12，tanCBE=，tanABE=tan（ABC+CBE）=1+當(dāng)圓盤半徑為2時(shí)，監(jiān)控?cái)z像頭最小水平攝像視角的正切值為1+（2）過B作直線BD，使得ABD=60°，過C作CMBD，垂足為M，則CBD=60°-ABC，tanCBD=tan（60°-ABC）=設(shè)圓盤的最大半徑為r，則tanCBD=解得r=5-4圓盤的最大半徑為5-418經(jīng)市場調(diào)查，某商品在過去60天內(nèi)的銷售量和價(jià)格均為時(shí)間的函數(shù)，且日銷售量近似地滿，前40天價(jià)格為，后20天價(jià)格為試將日銷售額S表示為時(shí)間t的函數(shù)；在過去60天內(nèi)哪一天銷售額最多？哪一天銷售額最少？【答案】（1）；（2）第12天的銷售額最多，第60天的銷售額最少.【解析】時(shí)，當(dāng)時(shí)，的圖象開口向下，對稱軸為，的圖象開口向上，對稱軸為上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，又第12天的銷售額最多，第60天的銷售額最少19改革開放四十周年紀(jì)念幣從2018年12月5日起可以開始預(yù)約通過市場調(diào)查，得到該紀(jì)念章每1枚的市場價(jià)單位：元與上市時(shí)間單位：天的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x天81032市場價(jià)y元826082根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)：中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)刻畫改革開放四十周年紀(jì)念章的市場價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說明理由利用你選取的函數(shù)，求改革開放四十周年紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格【答案】（1）見解析；（2）上市天數(shù)為20時(shí)，市場價(jià)最低，最低價(jià)格為10元【解析】由表格可知隨著上市時(shí)間的增加，市場價(jià)y先減少，后增大，而函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，顯然不符合題意；故選擇函數(shù)模型代入得：，解得：，上市天數(shù)為20時(shí)，市場價(jià)最低，最低價(jià)格為10元20某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元輛，出廠價(jià)為萬元輛，年銷售量為10000輛本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃適度增加投入成本，提高產(chǎn)品檔次若每輛車投入成本增加的比例為，則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為已知年利潤出廠價(jià)一投入成本年銷售量寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；投入成本增加的比例多大時(shí)，木年度預(yù)計(jì)的年利潤最大？最大值是多少？【答案】見解析【解析】解：函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線時(shí)，y取得最大值投入成本增加的比例為時(shí)，本年度預(yù)計(jì)的年利潤最大，最大值是萬元能力提升訓(xùn)練1如圖，將寬和長都分別為x，的兩個(gè)矩形部分重疊放在一起后形成的正十字形面積為注：正十字形指的是原來的兩個(gè)矩形的頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，且兩矩形長所在的直線互相垂直的圖形，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；當(dāng)x，y取何值時(shí)，該正十字形的外接圓面積最小，并求出其最小值【答案】(1)；(2)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，外接圓面積最小，且最小值為.【解析】由題意可得：，則，解得關(guān)于x的解析式為；設(shè)正十字形的外接圓的直徑為d，由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，正十字形的外接圓直徑d最小，最小為，則半徑最小值為，正十字形的外接圓面積最小值為2某公司計(jì)劃在辦公大廳建一面長為米的玻璃幕墻.先等距安裝根立柱，然后在相鄰的立柱之間安裝一塊與立柱等高的同種規(guī)格的玻璃.一根立柱的造價(jià)為6400元，一塊長為米的玻璃造價(jià)為元.假設(shè)所有立柱的粗細(xì)都忽略不計(jì)，且不考慮其他因素，記總造價(jià)為元（總造價(jià)=立柱造價(jià)+玻璃造價(jià)）.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，怎樣設(shè)計(jì)能使總造價(jià)最低？【答案】（1）；（2）安裝8根立柱時(shí)，總造價(jià)最小.【解析】解：（1）依題意可知，所以，（2），且，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，又，當(dāng)時(shí)，.所以，安裝8根立柱時(shí)，總造價(jià)最小.3光對物體的照度與光的強(qiáng)度成正比，比例系數(shù)為，與光源距離的平方成反比，比例系數(shù)為均為正常數(shù)如圖，強(qiáng)度分別為8，1的兩個(gè)光源A，B之間的距離為10，物體P在連結(jié)兩光源的線段AB上不含A，若物體P到光源A的距離為x試將物體P受到A，B兩光源的總照度y表示為x的函數(shù)，并指明其定義域；當(dāng)物體P在線段AB上何處時(shí)，可使物體P受到A，B兩光源的總照度最??？【答案】（1）；（2）在連接兩光源的線段上，距光源處.【解析】（1）因?yàn)槲矬w到光源的距離為，所以物體到光源的距離為.因?yàn)樵诰€段上且不與重合，所以.因?yàn)楣鈱ξ矬w的照度與光的強(qiáng)度成正比，與光源距離的平方成反比.所以點(diǎn)受光源的照度為：，點(diǎn)受光源的照度為：，所以物體受到兩光源的總照度.（2）因?yàn)?所以.令，解得.當(dāng)時(shí)，所以上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增.因此，當(dāng)時(shí)，取得極小值，且是最小值.所以在連接兩光源的線段上，距光源處，物體受到光源的總照度最小.4某鎮(zhèn)在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展養(yǎng)殖業(yè)，以增加收入，政府計(jì)劃共投入72萬元，全部用于甲、乙兩個(gè)合作社，每個(gè)合作社至少要投入15萬元，其中甲合作社養(yǎng)魚，乙合作社養(yǎng)雞，在對市場進(jìn)行調(diào)研分析發(fā)現(xiàn)養(yǎng)魚的收益、養(yǎng)雞的收益與投入（單位：萬元）滿足.設(shè)甲合作社的投入為（單位：萬元）.兩個(gè)合作社的總收益為（單位：萬元）.（1）當(dāng)甲合作社的投入為25萬元時(shí)，求兩個(gè)合作社的總收益；（2）試問如何安排甲、乙兩個(gè)合作的投入，才能使總收益最大？【答案】（1）88.5萬元 （2）答案見解析.【解析】（1）當(dāng)甲合作社投入為25萬元時(shí)，乙合作社投入為47萬元，此時(shí)兩個(gè)合作社的總收益為：（萬元）.（2）甲合作社的投入為萬元，則乙合作社的投入為萬元，當(dāng)，則，.令，得.則總收益為，顯然當(dāng)時(shí)，即此時(shí)甲投入16萬元，乙投入56萬元時(shí)，總收益最大，最大收益為89萬元.當(dāng)時(shí)，則.，顯然上單調(diào)遞減，.即此時(shí)甲、乙總收益小于87萬元.對.該公司在甲合作社投入16萬元，在乙合作社投入56萬元，總收益最大，最大總收益為89萬元.5面對擁堵難題，濟(jì)南治堵不舍晝夜.軌道交通1號線已于2019年元旦通車試運(yùn)行，比原定工期提前8個(gè)月，其他各條地鐵線路的建設(shè)也正在如火如荼的進(jìn)行中，完工投入運(yùn)行后將給市民出行帶來便利.已知某條線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔為（單位：分鐘），并且.經(jīng)市場調(diào)研測算，地鐵載客量與發(fā)車時(shí)間間隔相關(guān)，當(dāng)時(shí)，地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為450人；當(dāng)時(shí)，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為258人，記地鐵載客量為（單位：人）.（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，地鐵的載客量；（2）若該線路每分鐘的利潤為（單位：元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的利潤最大.【答案】（1）,人； （2）當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔分鐘時(shí)，該線路每分鐘的利潤最大，最大值為80元.【解析】（1）由題意知為常數(shù) ）因?yàn)?，?所以 得（人） （2）由可得 ， 當(dāng) 時(shí)， ，任取 ，且，則，因?yàn)?，所以，所以，所?在上為增函數(shù)， 最大值為； 當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)等號成立所以當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔分鐘時(shí)，該線路每分鐘的利潤最大，最大值為80元6某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了提高當(dāng)?shù)氐胤浇?jīng)濟(jì)總量，決定引進(jìn)資金對原有的兩個(gè)企業(yè)進(jìn)行改造，計(jì)劃每年對兩個(gè)企業(yè)共投資500萬元，要求對每個(gè)企業(yè)至少投資50萬元.根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，改造后企業(yè)的年收益（單位：萬元）和企業(yè)的年收益（單位：萬元）與投入資金（單位：萬元）分別滿足關(guān)系式：.設(shè)對企業(yè)投資額為（單位：萬元），每年兩個(gè)企業(yè)的總收益為（單位：萬元）.（1）求；（2）試問如何安排兩個(gè)企業(yè)的投入資金，才能使兩個(gè)企業(yè)的年總收益達(dá)到最大，并求出最大值.【答案】（1）420萬元； （2）對企業(yè)投資108萬元，對企業(yè)投資392萬元時(shí)總收益最大，最大收益為432萬元.【解析】（1）對企業(yè)投資300萬元，則對企業(yè)投資200萬元，（萬元）.（2）設(shè)對企業(yè)投資萬元，則對企業(yè)投資為萬元.每個(gè)企業(yè)至少投資50萬元，解得.令，則，上式化為.當(dāng)時(shí)，取最大值，即時(shí)，取最大值，最大值為432萬元.綜上，對企業(yè)投資108萬元，對企業(yè)投資392萬元時(shí)總收益最大，最大收益為432萬元.7美國對中國芯片的技術(shù)封鎖，這卻激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬元，公司獲得毛收入千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖像如圖所示.（1）試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入（千萬元）與投入資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果公司只生產(chǎn)一種芯片，生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？（3）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時(shí)生產(chǎn)兩種芯片，設(shè)投入千萬元生產(chǎn)芯片，用表示公司所過利潤，當(dāng)為多少時(shí)，可以獲得最大利潤？并求最大利潤.（利潤芯片毛收入芯片毛收入研發(fā)耗費(fèi)資金）【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）千萬元時(shí)，公司所獲利潤最大.最大利潤千萬元.【解析】（1）設(shè)投入資金千萬元，則生產(chǎn)芯片的毛收入；將代入，得所以，生產(chǎn)芯片的毛收入.（2）由，得；由，得；由，得.所以，當(dāng)投入資金大于千萬元時(shí)，生產(chǎn)芯片的毛收入大；當(dāng)投入資金等于千萬元時(shí)，生產(chǎn)芯片的毛收入相等；當(dāng)投入資金小于千萬元，生產(chǎn)芯片的毛收入大.（3）公司投入億元資金同時(shí)生產(chǎn)兩種芯片，設(shè)投入千萬元生產(chǎn)芯片，則投入千萬元資金生產(chǎn)芯片.公司所獲利潤故當(dāng)，即千萬元時(shí)，公司所獲利潤最大.最大利潤千萬元.8醫(yī)藥公司針對某種疾病開發(fā)了一種新型藥物，患者單次服用制定規(guī)格的該藥物后，其體內(nèi)的藥物濃度隨時(shí)間的變化情況（如圖所示）：當(dāng)時(shí)，的函數(shù)關(guān)系式為為常數(shù)）；當(dāng)時(shí)，的函數(shù)關(guān)系式為為常數(shù)）.服藥后，患者體內(nèi)的藥物濃度為，這種藥物在患者體內(nèi)的藥物濃度不低于最低有效濃度，才有療效；而超過最低中毒濃度，患者就會有危險(xiǎn).（1）首次服藥后，藥物有療效的時(shí)間是多長？（2）首次服藥1小時(shí)后，可否立即再次服用同種規(guī)格的這種藥物?（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）小時(shí)；（2）見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像過點(diǎn)，所以，得所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像過點(diǎn)所以，所以由，得，所以則藥物有療效時(shí)間為小時(shí).（2）設(shè)再次服用同等規(guī)格的藥物小時(shí)后的藥物濃度為當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以首次服藥?小時(shí)，可以立即再次服用同等規(guī)格的藥物.9當(dāng)今社會，以信息化、網(wǎng)絡(luò)化，智能化為主要特征的信息技術(shù)浪潮正在形成一場人工智能革命，智能化時(shí)代的到來，為經(jīng)濟(jì)發(fā)展注入了新的活力，人工智能技術(shù)的進(jìn)步和智能裝備制造業(yè)的發(fā)展，從根本上減少了制造領(lǐng)域?qū)趧恿Φ男枨?某工廠現(xiàn)有職工320人，平均每人每年可創(chuàng)利20萬元，該工廠打算購進(jìn)一批智能機(jī)器人（每購進(jìn)一臺機(jī)器人，需要有一名職工下崗）.據(jù)測算，如果購進(jìn)智能機(jī)器人不超過100臺，每購進(jìn)一臺機(jī)器人，所有留崗職工（機(jī)器人視為機(jī)器，不作為職工看待）在機(jī)器人的幫助下，每人每年多創(chuàng)利2千元，每臺機(jī)器人購置費(fèi)及日常維護(hù)費(fèi)用折合后平均每年2萬元，工廠為體現(xiàn)對職工的關(guān)心，給予下崗職工每人每年4萬元補(bǔ)貼；如果購進(jìn)智能機(jī)器人數(shù)量超過100臺，則工廠的年利潤萬元（為機(jī)器人臺數(shù)且）.（1）寫出工廠的年利潤與購進(jìn)智能機(jī)器人臺數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）為使工廠獲得最大經(jīng)濟(jì)效益，工廠應(yīng)購進(jìn)多少臺智能機(jī)器人？此時(shí)工廠的最大年利潤是多少？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1) (2) 【解析】（1）當(dāng)購進(jìn)智能機(jī)器人臺數(shù)時(shí)，工廠的利潤，.（2）由（1）知，時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，綜上可得，工廠購進(jìn)95臺智能機(jī)器人時(shí)獲得最大效益，最大利潤為8205萬元.10某市為了加快經(jīng)濟(jì)發(fā)展，2019年計(jì)劃投入專項(xiàng)獎金加強(qiáng)旅游景點(diǎn)基礎(chǔ)設(shè)施改造.據(jù)調(diào)查，改造后預(yù)計(jì)該市在一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），旅游人數(shù)（萬人）與日期（日）的函數(shù)關(guān)系近似滿足：，人均消費(fèi)（元）與日期（日）的函數(shù)關(guān)系近似滿足：.（1）求該市旅游日收入（萬元）與日期）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該市旅游日收入的最大值.【答案】（1）（2）125萬元【解析】（1）