2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題11 函數(shù)與方程（含解析）

專題11函數(shù)與方程最新考綱結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).基礎(chǔ)知識(shí)融會(huì)貫通1函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)_c_也就是方程f(x)0的根2二次函數(shù)yax2bxc (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系【知識(shí)拓展】有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)重點(diǎn)難點(diǎn)突破【題型一】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定【典型例題】函數(shù)f（x）lnx+2x6的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（4，5）【解答】解：f（1）260，f（2）4+ln260，f（3）6+ln360，f（4）8+ln460，f（2）f（3）0，m的所在區(qū)間為（2，3）故選：B【再練一題】函數(shù)f（x）log8x的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【解答】解：函數(shù)f（x）log8x的連線增函數(shù)，f（1）00，f（2）log820，可得f（1）f（2）0，函數(shù)f（x）的其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（1，2），故選：B思維升華 確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合法【題型二】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷【典型例題】已知偶函數(shù)yf（x）（xR）滿足f（x+1）f（x1）且x0，1時(shí)f（x）x，則函數(shù)g（x）f（x）log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)共有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【解答】解：由f（1+x）f（1x），取xx+1，得：f（x+1+1）f（1x1），所以f（x+2）f（x），又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以f（x+2）f（x）f（x），所以函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)因?yàn)楫?dāng)x1，0時(shí)，f（x）x，由偶函數(shù)可知，當(dāng)x1，0時(shí)，f（x）x，所以函數(shù)f（x）的圖象是f（x）x在1，1內(nèi)的部分左右平移2個(gè)單位周期出現(xiàn)，0求函數(shù)g（x）f（x）|log3x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是求兩函數(shù)yf（x）與y|log3x|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由于log331，所以兩函數(shù)在（0，3內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知：3，0）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，所以交點(diǎn)總數(shù)為4個(gè)，所以函數(shù)g（x）f（x）|log3x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4故選：D【再練一題】已知f（x）x，則yf（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A4B3C2D1【解答】解：已知f（x）x，則yf（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程 x的解的個(gè)數(shù)當(dāng)x0時(shí)，方程即x+1，故該方程解的個(gè)數(shù)即函數(shù)yx+1與函數(shù)y的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)x0時(shí)，方程即x1，故該方程解的個(gè)數(shù)即函數(shù)yx1與函數(shù)y的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得，方程 x的解的個(gè)數(shù)為2，故選：C思維升華 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)；(2)利用零點(diǎn)存在性定理再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷【題型三】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)【典型例題】已知函數(shù)f（x）lnxax+1（1）若f（x）在x1處取到極值，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍【解答】解：（1）函數(shù)f（x）lnxax+1，x0，f（x）在x1處取到極值，f（1）1a0，解得a1，實(shí)數(shù)a的值為1（2）x0，由f（x）0，得x當(dāng)a0時(shí)，f（x）0，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，當(dāng)a0時(shí)，x（0，），f（x）0，f（x）在上單調(diào)遞增，x（，+），f（x）0，f（x）在上單調(diào)遞減當(dāng)a0時(shí)，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，f（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（，+）上是減函數(shù)，f（）是函數(shù)f（x）的最大值，當(dāng)f（）0時(shí)，f（x）最多只有一個(gè)零點(diǎn)，f（）ln0，解得0a1，此時(shí)，且f（）110，f（）22lna132lna，（0a1），令F（a）32lna，則F（x）0，F(xiàn)（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（a）F（1）3e20，即f（）0，a的取值范圍是（0，1）【再練一題】已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)g（x）f（x）2m+3有3個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)所以，解得a2，即，所以f'（x）x2x2由f'（x）x2x20，解得1x2；由f'（x）0，得x1或x2所以函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是（1，2），遞增區(qū)間是（，1），（2，+）（2）由（1）知，同理，由數(shù)形結(jié)合思想，要使函數(shù)g（x）f（x）2m+3有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得所以m的取值范圍為命題點(diǎn)2根據(jù)函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)求參數(shù)【典型例題】已知函數(shù)f（x）x2+（a1）x+b，f（1）1（1）若函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸是x1，解不等式f（x）1【解答】解：（1）由f（1）1得1+a1+b1，得a+b1，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，所以x2+（a1）x+b0中0，即（a1）24b0，又b1a，所以（a1）24（1a）0，化為a2+2a30，解得3a1；（2）函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸是x1，即，又b1a，聯(lián)立解得a1，b2x22x+21，化為（x1）20，解得x1，所以f（x）1的解集為x|x1【再練一題】已知f（x）acos2x+2cosx3（） 當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)yf（x）的值域；（）若函數(shù)yf（x）存在零點(diǎn)，求a的取值范圍【解答】解：由已知可得：f（x）acos2x+2cosx32acos2x+2cosx（3+a）（）當(dāng)a1時(shí)，f（x）2cos2x+2cosx42（cosx）2由1cosx1，得函數(shù)yf（x）的值域?yàn)椋?（）函數(shù)yf（x）存在零點(diǎn)，即2at2+2t（3+a）0在1，1上有解（1）a0時(shí)，方程的解t1，1不滿足條件（2）當(dāng)a時(shí)，設(shè)g（t）2t2（）則當(dāng)g（1）g（1）0時(shí)滿足條件，此時(shí)有1a5當(dāng)g（1）g（1）0時(shí)時(shí)，必有以下四式同時(shí)成立即g（1）0，g（1）0，0，11解得a5，或a綜上可得，a的取值范圍為（，）1，+）命題點(diǎn)3根據(jù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)【典型例題】已知函數(shù)f（x）3x22（k2k+1）x+5，g（x）2k2x+k，其中kR（1）設(shè)函數(shù)p（x）f（x）+g（x）若p（x）在（0，3）上有零點(diǎn)，求k的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)q（x）是否存在k，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x1，存在惟一的非零實(shí)數(shù)x2（x2x1），使得q（x2）q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）f（x）3x22（k2k+1）x+5，g（x）2k2x+k，p（x）在（0，3）上有零點(diǎn)，p（x）f（x）+g（x）3x2+2（k1）x+k+5在（0，3）上有零點(diǎn)（4k28k+4）12k600，解得 k2，或 k7若p（x）在（0，3）上有唯一零點(diǎn)，則 p（0）p（3）（k+5）（7k+26）0 ，或，或，或解得5k，解得k，解得k，解可得 k2，或k7當(dāng)k7時(shí)，p（x）f（x）+g（x）3x2+2（k1）x+k+53x2+12x+12的零點(diǎn)是2，不符合題意所以k7舍去若p（x）在（0，3）上有2個(gè)零點(diǎn)，則有，解得k2綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為5，2（2）函數(shù)q（x），即q（x）顯然，k0不滿足條件，故k0當(dāng)x0時(shí)，q（x）2k2x+kk，+）當(dāng)x0時(shí)，q（x）3x22（k2k+1）x+5（5，+）記Ak，+），B（15，+）當(dāng)x20時(shí)，q（x）在（0，+）上是增函數(shù)，要使q（x2）q（x1），則x10，且AB，故k5；當(dāng)x20時(shí)，q（x）在（，0）上是減函數(shù)，要使q（x2）q（x1），則x10，且BA，故k5；綜上可得，k5滿足條件故存在k5，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x1，存在惟一的非零實(shí)數(shù)x2（x2x1），使得q（x2）q（x1）【再練一題】已知函數(shù)f（x）alnx（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若a0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍【解答】解：（1）函數(shù)f（x）alnx的定義域?yàn)椋?，+），f（x）xa0時(shí)，f（x）0，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；a0時(shí)，由f（x）0得x；由f（x）0得0x即f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增綜上：a0時(shí)，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；a0時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增（2）當(dāng)a0時(shí)，由（1）知f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，若1，即0a1時(shí)，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，f（1），f（x）在區(qū)間（1，e）上無(wú)零點(diǎn)若1e，即1ae2時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，e）上單調(diào)遞增f（x）minf（）a（1lna）f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，f（1）0，f（）a（1lna）0f（e）e2a0，eae2若e，即ae2時(shí)，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，f（1）0，f（e）e2a0，f（x）在區(qū)間（1，e）上有一個(gè)零點(diǎn)綜上，f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍是（e，e2）思維升華 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練1下列函數(shù)中，能用二分法求零點(diǎn)的是（）ABCD【答案】D【解析】由題意以及零點(diǎn)判定定理可知：只有選項(xiàng)D能夠應(yīng)用二分法求解函數(shù)的零點(diǎn)，故選：D2方程的根所在的區(qū)間為ABCD【答案】C【解析】令函數(shù)，則方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn)，再由，且，可得函數(shù)上有零點(diǎn)故選：C3函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是ABCD【答案】C【解析】上的增函數(shù)，又，故零點(diǎn)所在對(duì)的區(qū)間為，選C4已知函數(shù)若方程有5個(gè)解，則 的取值范圍是（）ABCD【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)上是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示：設(shè)，則原方程為，因?yàn)槭欠匠痰母?，所以由圖象可知，若關(guān)于的方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，只需直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，且關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，其中一根，另一根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選D.5已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若函數(shù)上有五個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為（ ）ABCD【答案】A【解析】有題意知，則的周期為。又上有五個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程上有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即的圖像在上有五個(gè)交點(diǎn)。圖像如下：由圖像可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)。故選A6已知分別是方程的實(shí)數(shù)解，則（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)題干要求得到，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)四個(gè)函數(shù)圖像，如下圖：方程的根就是兩個(gè)圖像的交點(diǎn)，根據(jù)圖像可得到：.故答案為：B.7已知實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)ABCD【答案】B【解析】根據(jù)題意，實(shí)數(shù)a滿足3a5，則alog351，則函數(shù)為增函數(shù)，且f（2）（log35）2+2×（2）log530，f（1）（log35）1+2×（1）log5320，f（0）（log35）0log531log530，由函數(shù)零點(diǎn)存在性可知函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（1，0）上，故選：B8已知定義在上的函數(shù)滿足:,.若方程有5個(gè)實(shí)根,則正數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】由，得函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，做出函數(shù)yf（x）與函數(shù)yax的圖象，由圖象可得方程y（x4）2+1ax， 即 x2+（a8）x+150在（3，5）上有2個(gè)實(shí)數(shù)根，由 解得 0a82再由方程f（x）ax 在（5，6）內(nèi)無(wú)解可得6a1，a綜上可得：a82，故選：C9函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A10B20C30D40【答案】A【解析】畫(huà)出圖象函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是10，故選：A10設(shè)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCD【答案】B【解析】函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，方程，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令g（x）=，則g（x）=，當(dāng)時(shí)，g（x）0，當(dāng)時(shí)，g（x）0，g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)x=時(shí)，g（x）取得極大值g（）=，又g（0）= g（）=0，若方程，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則a=故選B.11已知函數(shù)，方程對(duì)于任意都有9個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)榉匠虒?duì)于任意都有9個(gè)不等實(shí)根，不妨令，則方程有9個(gè)不等實(shí)根，令，解得：.所以都要有3個(gè)不同的根由可得：，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，由有3個(gè)不等實(shí)根，可得不是單調(diào)函數(shù)，即：令，解得：，作出的關(guān)系如下表：作出的簡(jiǎn)圖如下：要使得有3個(gè)根，至少要滿足，即：，解得：.即：，排除A,B,C.故選：D.12已知函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)最多為（ ）A6B7C8D9【答案】C【解析】由題得函數(shù)的值域?yàn)?，設(shè)g（x）=t(),作出函數(shù)f(x)的圖像為：所以f(t)=a,當(dāng)1a2時(shí)，直線和圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，有四個(gè)交點(diǎn)，也就是t有四個(gè)實(shí)根.且一個(gè)t-1，有三個(gè)t1.因?yàn)楹瘮?shù)在（0,1）（-1,0）單調(diào)遞減，在（1，+），（-，-1）單調(diào)遞增.所以g(x)=t, 當(dāng)t在每取一個(gè)t值時(shí)，x都有兩個(gè)值和它對(duì)應(yīng)，因?yàn)閠最多有4個(gè)根，所以x最多有8個(gè)解.故選:C13設(shè)，函數(shù)，若時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值個(gè)數(shù)有_.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)解析式得到函數(shù)是單調(diào)遞增的，由零點(diǎn)存在定理得到若時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，需要滿足，因?yàn)閍是整數(shù)，故可得到a的可能取值為：0，1，2，3.故答案為：4.14定義在上的偶函數(shù)滿足對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，若函數(shù)上至少有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，令，即，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù).根據(jù)偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，畫(huà)出函數(shù)的圖像如下圖所示：當(dāng)時(shí)，畫(huà)出的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖像沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，畫(huà)出的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖像有至少有個(gè)交點(diǎn)，則需，即，解得.15已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以在R上遞增.若存在實(shí)數(shù)，使得，得1，且，即，得.即在0x2有交點(diǎn)，對(duì)稱軸x=a，當(dāng)a時(shí)，上遞增，且0，不滿足在0x2有交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)， 上遞減，在上遞增，且=2-a>0, 不滿足在0x2有交點(diǎn)。當(dāng)a時(shí)，上遞減，在0x2有交點(diǎn)，得綜上：a的取值范圍為 故答案為：16若對(duì)任意，函數(shù)總有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】函數(shù)總有零點(diǎn)，對(duì)任意恒成立，記上單調(diào)遞減，故答案為：17已知函數(shù)，若函數(shù)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【詳解】函數(shù)可化為：f（x），若m0，當(dāng)0x2時(shí)，f（x）遞增，當(dāng)2x3時(shí)，f（x）的對(duì)稱軸是x0，故函數(shù)f（x）在2，3）遞增，f（x）在（0，3）連續(xù)，f（x）在（0，3）遞增；當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，3）不可能有2個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)m0時(shí)，f（x）在（0，3）上沒(méi)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)m0時(shí)，f（x）在（0，2）遞減，當(dāng)02即8m0時(shí)，函數(shù)f（x）在2，3）遞增，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）有2個(gè)不同的零點(diǎn)只需滿足：，解得：m2，當(dāng)23即12m8時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，）遞減，在（，3）遞增，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）有2個(gè)不同的零點(diǎn)只需滿足：，解得m>，又12m8，所以不存在滿足條件的m，當(dāng)3即m12時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，3）遞減，函數(shù)f（x）在（0，3）上不可能有2個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上，m2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上有2個(gè)不同的零點(diǎn)18已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)【答案】【解析】令可得即根據(jù)解析式可知在兩段上分別都是單調(diào)遞增的函數(shù)則均有兩個(gè)不同解當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 則 19已知函數(shù)，函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】【解析】則當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，不妨設(shè)，即有三個(gè)不同的根， 的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，由圖可知，,即,當(dāng)時(shí)，即，則，當(dāng)時(shí)，由,得 ,即，則，設(shè)，則導(dǎo)數(shù),則當(dāng)時(shí), 恒成立，即此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，則，即，即，即的取值范圍是，故答案為.20若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 【答案】【解析】轉(zhuǎn)化為（上半個(gè)單位圓）與的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，要滿足條件，則，；類(lèi)似，當(dāng)時(shí)，；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是能力提升訓(xùn)練1若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】B【解析】時(shí)，由（畫(huà)圖確定只有兩個(gè)解），故有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有1個(gè)零點(diǎn)，畫(huà)出的圖像，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.2若關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ).A B C D【答案】A【解析】因?yàn)椴粷M足方程，所以原方程化為化為， ，令，時(shí)，；時(shí)，令，+0-遞增遞減當(dāng)，即時(shí)，綜上可得，的值域?yàn)?，要使無(wú)解，則，即使關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.3已知函數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍是（ ）A BC D【答案】B【解析】，當(dāng)時(shí)，上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，上為減函數(shù)；所以的圖像如圖所示：又時(shí)，又的值域?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，所以方程有兩個(gè)不同的解，令，故 ，解得，故選B4已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且是偶函?shù)又，存在，使得，則滿足條件的的個(gè)數(shù)為( )A3 B2 C4 D1【答案】A【解析】由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?由于是偶函數(shù)，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，解得.故.構(gòu)造函數(shù).由于，故，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，由于的最高次項(xiàng)為，根據(jù)所以至多有個(gè)零點(diǎn)，所以滿足條件的共三個(gè).5定義在上的偶函數(shù)滿足:當(dāng)時(shí)有,且當(dāng)時(shí), ,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )A6個(gè) B7個(gè) C8個(gè) D無(wú)數(shù)個(gè)【答案】B【解析】由條件，可知函數(shù)時(shí)，圖象向右平移3個(gè)單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉?lái)的，且當(dāng)時(shí), ,所以函數(shù)的大致圖象：共有7個(gè)交點(diǎn)，故選B.6已知函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A B C D【答案】D【解析】方程至多有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程至少有兩個(gè)零點(diǎn)令若，則上的增函數(shù)，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，舍去；若，則，令，則，上的減函數(shù)，故，若，則上的減函數(shù)，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，舍去；若，則有解,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以上只能有兩個(gè)零點(diǎn)，故，解又方程有一個(gè)零點(diǎn)，故，故，綜上，故選D7已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（f（x）-a 恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)【答案】（0，ln22【解析】函數(shù)f（x）的圖象如圖，當(dāng)a=2時(shí)，則方程f（t）=2有3個(gè)根，且由圖象可知方程f（x）=t1有1根，方程f（x）=t2有2個(gè)根，方程f（x）=t3有2個(gè)根，共有5個(gè)根， 故a=2符合題意；當(dāng)時(shí)，則方程f（t）=有2個(gè)根，且由圖象可知方程f（x）=t1有2根，方程f（x）=t2有2個(gè)根，共有4個(gè)根， 故不符合題意；當(dāng)時(shí)，則方程f（t）=有2個(gè)根，且由圖象可知方程f（x）=t1有2根，方程f（x）=t2有2個(gè)根，共有4個(gè)根， 故不符合題意；當(dāng)時(shí)，則方程f（t）=有1個(gè)根，且由圖象可知方程f（x）=1有2根，1 故不符合題意；當(dāng)時(shí)，則方程f（t）=有3個(gè)根，且.由圖象可知方程f（x）=t1有0根，方程f（x）=t2有2個(gè)根，方程f（x）=t3有2個(gè)根，共有4個(gè)根， 故不符合題意；當(dāng)時(shí)，則方程f（t）=有2個(gè)根，且.由圖象可知方程f（x）=t1有2根，方程f（x）=有3個(gè)根，共有5個(gè)根， 此時(shí),故符合題意；當(dāng)時(shí)，則方程f（t）=無(wú)根，不符合題意.綜上： 2.故答案為：（0，ln22.8關(guān)于x的方程上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【答案】【解析】令則原方程化為，這個(gè)方程在的范圍內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故對(duì)稱軸要大于，判別式要大于零，且將代入方程的左邊所得的值應(yīng)為非負(fù)數(shù)，即解得.9定義在上的偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)有，且當(dāng)時(shí)，若方程恰有三個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是_【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以，又，所以，可作出函數(shù)上的圖象，又函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)在的圖象，同時(shí)作出直線， 如圖：方程恰有三個(gè)實(shí)根即圖象有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由圖象可知，當(dāng)直線，即時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線，即時(shí)有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有3個(gè)交點(diǎn)，同理可得當(dāng)時(shí)，滿足時(shí)，直線有3個(gè)交點(diǎn).故填.10已知函數(shù)，若方程有六個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】 【解析】令tf（x），則原函數(shù)方程等價(jià)為t2+bt0作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：圖象可知當(dāng)由0t1時(shí)，函數(shù)tf（x）有3個(gè)交點(diǎn)所以要使f2（x）+bf（x）0有六個(gè)相異實(shí)根，則等價(jià)為為t2+bt0有兩個(gè)根t1，t2，且0t11，0t21令g（t）t2+bt，則由根的分布（如圖）可得，即，即，解得b1，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（，1）故答案為（，1）31