2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)12 函數(shù)模型及其應(yīng)用必刷題 理（含解析）

考點(diǎn)12 函數(shù)模型及其應(yīng)用1、某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A. BC. D1【答案】D【解析】設(shè)第一年年初生產(chǎn)總值為1，則這兩年的生產(chǎn)總值為(p1)(q1)設(shè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，則(1x)2(p1)(q1)，解得x1，故選D.2、在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L，記作H)和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L，記作OH)的乘積等于常數(shù)1014.已知pH值的定義為pHlg H，健康人體血液的pH值保持在7.357.45之間，那么健康人體血液中的可以為(參考數(shù)據(jù)：lg 20.30，lg 30.48)()A.BCD【答案】C【解析】H·OH1014，H2×1014，7.35<lg H<7.45，107.45<H<107.35，100.9<1014·H2<100.7，100.9>，lg(100.7)0.7>lg 3>lg 2，100.7>3>2，100.7<<，<<.故選C.3、一水池有兩個(gè)進(jìn)水口，一個(gè)出水口，每個(gè)水口的進(jìn)、出水速度如圖甲、乙所示某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示給出以下3個(gè)論斷：0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水，則一定正確的是()A BC D【答案】A【解析】由甲、乙兩圖知，進(jìn)水速度是出水速度的，所以0點(diǎn)到3點(diǎn)不出水，3點(diǎn)到4點(diǎn)也可能一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，一個(gè)出水口出水，但總蓄水量降低，4點(diǎn)到6點(diǎn)也可能兩個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，一個(gè)出水口出水，一定正確的是.4、某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33 的保鮮時(shí)間是()A16小時(shí) B20小時(shí)C24小時(shí) D28小時(shí)【答案】C【解析】由已知條件，得192eb，bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k.設(shè)該食品在33 的保鮮時(shí)間是t小時(shí)，則te33kln 192192 e33k192(e11k)3192×24(小時(shí))5、某商店計(jì)劃投入資金20萬元經(jīng)銷甲或乙兩種商品已知經(jīng)銷甲、乙商品所獲得的利潤分別為P(萬元)和Q(萬元)，且它們與投入資金x(萬元)的關(guān)系是：P，Q (a>0)若不管資金如何投入，經(jīng)銷這兩種商品或其中的一種商品所獲得的純利潤總不少于5萬元，則a的最小值應(yīng)為()A.B5CD2【答案】A【解析】設(shè)投入x萬元經(jīng)銷甲商品，則經(jīng)銷乙商品投入(20x)萬元，總利潤yPQ·.令y5，則·5對(duì)0x20恒成立a10，a對(duì)0x<20恒成立f(x)的最大值為，且x20時(shí)，a10也成立，amin.故選A.6、某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費(fèi)f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)已知某家庭2018年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為()A11.5元 B11元C10.5元 D10元【答案】A【解析】根據(jù)題意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得A5，B，C4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5.7、某校甲、乙兩食堂某年1月營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則本年5月份()A甲食堂的營業(yè)額較高B乙食堂的營業(yè)額較高C甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D不能確定甲、乙哪個(gè)食堂的營業(yè)額較高【答案】A【解析】設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m，甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a0)，乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x，由題意可得，m8am×(1x)8，則5月份甲食堂的營業(yè)額y1m4a，乙食堂的營業(yè)額y2m×(1x)4，因?yàn)閥y(m4a)2m(m8a)16a20，所以y1y2，故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高8、加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為_分鐘【答案】3.75【解析】由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和函數(shù)模型知，二次函數(shù)pat2btc的圖象過點(diǎn)(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分別代入解析式，得解得所以p0.2t21.5t20.2(t3.75)20.812 5，所以當(dāng)t3.75時(shí)，可食用率p最大，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘9、某商店按每件80元的成本購進(jìn)某商品1 000件，根據(jù)市場預(yù)測，銷售價(jià)為每件100元時(shí)可全部售完，定價(jià)每提高1元時(shí)銷售量就減少5件若要獲得最大利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為每件_元【答案】190 元【解析】設(shè)售價(jià)提高x元，則依題意y(1 0005x)×(20x)5x2900x20 0005(x90)260 500.故當(dāng)x90時(shí)，ymax60 500，此時(shí)售價(jià)為每件190元10、現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200 g，需將它制成工業(yè)生產(chǎn)上需要的含鹽5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食鹽水，設(shè)需要加入4%的食鹽水x g，則x的取值范圍是_【答案】(100,400) 【解析】設(shè)y，令5%y6%，即(200x)5%200×7%x·4%(200x)6%，解得100x400.11、某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價(jià)付費(fèi))；超過3 km但不超過8 km時(shí)，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8 km時(shí)，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了_km.【答案】9【解析】由已知可得y由y22.6解得x9.12、某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不超過0.1%.若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少，至少應(yīng)過濾_次才能達(dá)到市場要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)【答案】8【解析】設(shè)過濾n次才能達(dá)到市場要求，則2%n0.1%，即n，所以nlg1lg 2，所以n7.39，所以n8.13、某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時(shí)間t(小時(shí))的關(guān)系為PP0ekt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費(fèi)的時(shí)間為_小時(shí)【答案】10【解析】由題設(shè)可得(10.1)P0P0e5k，即0.9e5k，故5kln 0.9；又(10.19)P0P0ekt，即0.81ekt，故ktln 0.812ln 0.910k，故t10，應(yīng)填10.14、漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m，為保證魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量已知魚群的年增長量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k0)，則魚群年增長量的最大值是_【答案】【解析】由題意，空閑率為1，ykx，定義域?yàn)?0，m)，ykx2，x(0，m)，k0，當(dāng)x時(shí)，ymax.15、擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位：元)由f(m)1.06(0.5m1)給出，其中m0，m是不超過m的最大整數(shù)(如33，3.73，3.13)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費(fèi)為_元【答案】4.24【解析】m6.5，m6，則f(m)1.06×(0.5×61)4.24.16、某人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)繪制了2018年春節(jié)前后，從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時(shí)間x(天)變化的函數(shù)圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿_千克【答案】【解析】 前10天滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)為ykxb，將點(diǎn)(1，10)和點(diǎn)(10，30)代入函數(shù)解析式得解得k，b，所以yx，則當(dāng)x6時(shí)，y.17、候鳥每年都要隨季節(jié)的變化進(jìn)行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn)， 該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為：vablog3(其中a，b是實(shí)數(shù))據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥類在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要多少個(gè)單位？【答案】(1) (2) 270【解析】(1)由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時(shí)，它的速度為0 m/s，此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，則ablog30，即ab0；當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1 m/s，則ablog31，整理得a2b1.解方程組得(2)由(1)知，vablog31log3.所以要使飛行速度不低于2 m/s，則v2，所以1log32，即log33，解得27，即Q270.所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要270個(gè)單位18、某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(t)；(2)據(jù)進(jìn)一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間【答案】(1) y (2) 【解析】(1)由題圖，設(shè)y當(dāng)t1時(shí)，由y4得k4，由4得a3.所以y(2)由y0.25得或解得t5.因此服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間是5(小時(shí))19、已知一容器中有A，B兩種菌，且在任何時(shí)刻A，B兩種菌的個(gè)數(shù)乘積為定值1010，為了簡單起見，科學(xué)家用PAlg (nA)來記錄A菌個(gè)數(shù)的資料，其中nA為A菌的個(gè)數(shù)，現(xiàn)有以下幾種說法：PA1；若今天的PA值比昨天的PA值增加1，則今天的A菌個(gè)數(shù)比昨天的A菌個(gè)數(shù)多了10個(gè)；假設(shè)科學(xué)家將B菌的個(gè)數(shù)控制為5萬個(gè)，則此時(shí)5PA5.5.其中正確的說法為_(寫出所有正確說法的序號(hào))【答案】【解析】當(dāng)nA1時(shí)PA0，故錯(cuò)誤；若PA1，則nA10，若PA2，則nA100，故錯(cuò)誤；設(shè)B菌的個(gè)數(shù)為nB5×104，nA2×105，PAlg(nA)lg 25.又lg 20.3，5PA5.5，故正確20、某人計(jì)劃購買一輛A型轎車，售價(jià)為14.4萬元，購買后轎車一年的保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)、年檢費(fèi)、停車費(fèi)等約需2.4萬元，同時(shí)汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價(jià)值的10%)，那么，大約使用_年后，花費(fèi)在該車上的費(fèi)用(含折舊費(fèi))達(dá)到14.4萬元【答案】4【解析】設(shè)使用x年后花費(fèi)在該車上的費(fèi)用達(dá)到14.4萬元，依題意可得，14.4(10.9x)2.4x14.4.化簡得：x6×0.9x0，令f(x)x6×0.9x.因?yàn)閒(3)1.3740，f(4)0.063 40，所以函數(shù)f(x)在(3，4)上應(yīng)有一個(gè)零點(diǎn)故大約使用4年后，花費(fèi)在該車上的費(fèi)用達(dá)到14.4萬元21、某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測上市初期和后期會(huì)因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：f(x)p·qx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p，q均為常數(shù)，且q1)(1)為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說明理由)?(2)若f(0)4，f(2)6.求出所選函數(shù)f(x)的解析式(注：函數(shù)定義域是0，5，其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此類推)；為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷，請(qǐng)你預(yù)測該海鮮將在哪幾個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌【答案】(1) f(x)x(xq)2p (2) f(x)x36x29x4(0x5) 9月、10月兩個(gè)月【解析】(1)因?yàn)樯鲜谐跗诤秃笃趦r(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)價(jià)格連續(xù)下跌，所以在所給出的函數(shù)中應(yīng)選模擬函數(shù)f(x)x(xq)2p.(2)對(duì)于f(x)x(xq)2p，由f(0)4，f(2)6，可得p4，(2q)21，又q1，所以q3，所以f(x)x36x29x4(0x5)因?yàn)閒(x)x36x29x4(0x5)，所以f(x)3x212x9，令f(x)0，得1x3.所以函數(shù)f(x)在(1，3)內(nèi)單調(diào)遞減，所以可以預(yù)測這種海鮮將在9月、10月兩個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌22、我校為豐富師生課余活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為S(平方米)的AMPN矩形健身場地如圖，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在AB上，且P點(diǎn)在斜邊BC上已知ACB60°，|AC|30米，|AM|x米，x10,20設(shè)矩形AMPN健身場地每平方米的造價(jià)為元，再把矩形AMPN以外(陰影部分)鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為元(k為正常數(shù))(1)試用x表示S，并求S的取值范圍；(2)求總造價(jià)T關(guān)于面積S的函數(shù)Tf(S)；(3)如何選取|AM|，使總造價(jià)T最低(不要求求出最低造價(jià))?【答案】選取|AM|為12米或18米時(shí)總造價(jià)T最低【解析】(1)在RtPMC中，顯然|MC|30x，PCM60°，|PM|MC|·tanPCM(30x)，矩形AMPN的面積S|PM|·|AM|x(30x)，x10,20，200S225.(2)矩形AMPN健身場地造價(jià)T137k，又ABC的面積為450，草坪造價(jià)T2(450S)總造價(jià)TT1T225k，200S225.(3)12，當(dāng)且僅當(dāng)，即S216時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x(30x)216，解得x12或x18.23、某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新上了一個(gè)從生活垃圾中提煉生物柴油的項(xiàng)目經(jīng)測算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為：y且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，政府將給予補(bǔ)貼(1)當(dāng)x200,300時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？【答案】(1) 5 000元 (2) 400噸【解析】(1)當(dāng)x200,300時(shí)，該項(xiàng)目獲利為S，則S200x(x400)2，當(dāng)x200,300時(shí)，S<0，因此，該項(xiàng)目不會(huì)獲利當(dāng)x300時(shí)，S取得最大值5 000，政府每月至少需要補(bǔ)貼5 000元才能使該項(xiàng)目不虧損(2)由題意可知，生活垃圾每噸的平均處理成本為：當(dāng)x120,144)時(shí)，x280x5 040(x120)2240，當(dāng)x120時(shí)，取得最小值240.當(dāng)x144,500)時(shí)，x2002200400200200，當(dāng)且僅當(dāng)，即x400時(shí)，取得最小值200.240>200，當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低10