2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)42 直線、平面平行的判定與性質(zhì)必刷題 理（含解析）

考點(diǎn)42 直線、平面平行的判定與性質(zhì)1（山東省泰安市2019屆高三第二輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測理）如圖，在下列四個(gè)正方體中，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，陰影平面與所在平面平行的是( )ABCD【答案】A【解析】A中，因?yàn)?所以可得平面,又，可得平面，從而平面平面B中，作截面可得平面平面（H為C1D1中點(diǎn)）,如圖：C中，作截面可得平面平面（H為C1D1中點(diǎn)）,如圖：D中，作截面可得為兩相交直線，因此平面與平面不平行,如圖：2（遼寧省葫蘆島市普通高中2019屆高三第二次模擬考試?yán)恚┤鐖D所示，正方體的棱長為1，為線段，上的動點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截該正方體的截面記為S，則下列命題正確的是_當(dāng)且時(shí)，S為等腰梯形；當(dāng)分別為，的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為；當(dāng)M為中點(diǎn)且時(shí)，S與的交點(diǎn)為R，滿足；當(dāng)M為中點(diǎn)且時(shí)，S為五邊形；當(dāng)且時(shí)，S的面積.【答案】【解析】對于，畫出圖像如下圖所示，過作，交于，截面為，由于，所以，故，所以，即截面為等腰梯形.故正確.對于，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直線坐標(biāo)系，則,則,.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故.則點(diǎn)到平面的距離為.而，故，故命題正確.對于，延長交的延長線于，連接交于，由于，所以，故.由于，所以,故，故判斷錯誤.對于，當(dāng)時(shí)，截面為三角形，故判斷錯誤.對于，延長,交的延長線于，連接,交于，則截面為四邊形.由于,所以，面積比等于相似比的平方，即，故.在三角形中，,邊上的高為,故,所以.綜上所述，本小題正確的命題有.3（陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三考前模擬練習(xí)數(shù)學(xué)理）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，四邊形是直角梯形，.（）證明：平面.（）若平面平面，為的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（I）見解析；（II）【解析】（）取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)?，四邊形是直角梯形，得且，所以四邊形為平行四邊形，即?又因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，進(jìn)而，得為平行四邊形，即有，又平面，平面，所以平面.（）取的中點(diǎn)，在菱形中，可得.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AN為x軸，AB為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.故，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有即令可得.易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則,即所求二面角的余弦值為.【4（天津市河西區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)理）如圖，已知四邊形的直角梯形，,，為線段的中點(diǎn)，平面，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）.（）若，（i）求證：平面；（ii）求直線與平面所成的角的大??；（）否存在實(shí)數(shù)滿足，使得平面與平面所成的銳角為，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由.【答案】（）（i）見解析（ii）（）【解析】（）（i）證明：連接交于點(diǎn)，連接，依題意易證四邊形為平行四邊形.又，又平面，平面，平面. （ii）解：如圖，在平行四邊形中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)為平面的法向量則，得，不妨設(shè)又，即直線與平面所成的角的大小為. （）設(shè)設(shè)為平面的法向量，則得，不妨設(shè)，又平面的法向量為，.，. 5（廣東省肇慶市2019屆高中畢業(yè)班第三次統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)理）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，是棱的中點(diǎn)，在線段上，且.（1）證明：面；（2）若，面面，求二面角的余弦值【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】解：（1）連接交于點(diǎn)，連接因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又面，面，所以?（2）過作于，因?yàn)?，所以是線段的中點(diǎn)因?yàn)槊婷?，面面，所以面連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，是線段的中點(diǎn)，所以.如圖以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)，不妨設(shè)，則，由，得，的中點(diǎn)，.設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，即，得方程的一組解為，即.面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的余弦值為.6（浙江省金華十校2019屆第二學(xué)期高考模擬考試）在四棱錐中，底面為直角梯形，為線段上的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，是，的中點(diǎn)，又，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面（2）取的中點(diǎn)，連接，過作的平行線，以為原點(diǎn)，以，和平面過點(diǎn)的垂線為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)二面角的大小為，則，.，設(shè)平面的法向量為，則，即，令可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，.直線與平面所成角的余弦值為7（北京市房山區(qū)2019年第二次高考模擬檢測高三數(shù)學(xué)理）已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)在線段上.（）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）證明：存在點(diǎn)，使得平面，并求的值.【答案】（）詳見解析；（）；（）詳見解析.【解析】（）設(shè)，連結(jié)，因?yàn)檎叫?，所以為中點(diǎn)又矩形,為的中點(diǎn)所以且所以為平行四邊形所以又平面，平面所以平面（）以為原點(diǎn)，分別以為軸建立坐標(biāo)系則設(shè)平面的法向量為，由得則易知平面的法向量由圖可知二面角為銳角所以二面角的余弦值為（）設(shè)，則若平面，則，即所以解得所以所以8（遼寧省丹東市2019屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試?yán)恚┤鐖D，四棱錐中，平面，是中點(diǎn)，是線段上的點(diǎn).（1）若是中點(diǎn)，求證：平面；（2）設(shè)與平面所成角為，求最大值.【答案】（1）見證明；（2）【解析】解法1：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè).則，所以，.因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，平面一個(gè)法向量為.因?yàn)?，平面，所以平?（2），設(shè)，則，.平面的一個(gè)法向量為，所以.因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值.解法2：（1）取中點(diǎn)為，連結(jié)，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，同理平?所以平面平面，因此平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，.設(shè)，則，.平面的一個(gè)法向量為，所以.因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值.解法3：（1）同解法2.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫?，所以?所以平面，則.設(shè)，則，.的最小值為到距離等于，所以的最大值.9（江西省名校（臨川一中、南昌二中)2019屆高三5月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)理）已知空間幾何體中，與均為邊長為的等邊三角形，為腰長為的等腰三角形，平面平面，平面平面.（1）試在平面內(nèi)作一條直線，使直線上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行，并給出詳細(xì)證明；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】如圖所示:取BC和BD的中點(diǎn)H、G，連接HG.HG為所求直線.所以,因?yàn)槠矫嫫矫妫?所以，取CD中點(diǎn)O,連接EO,因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以AH|EO,又平面CDE,平面CDE,所以.因?yàn)?所以,因?yàn)?則，所以直線HG上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行.(2)以CD中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD所在直線為x軸，OB所在直線為Y軸，OE所在直線為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.,設(shè)所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.10（北京市昌平區(qū)2019屆高三5月綜合練習(xí)二模數(shù)學(xué)理）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面,，為中點(diǎn)（）求證：平面； （）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由【答案】（I）見解析； （II）； （）答案見解析 .【解析】（I）設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)榈酌媸蔷匦?所以為中點(diǎn) .又因?yàn)闉橹悬c(diǎn) , 所以.因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面. （II）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)榈酌鏋榫匦?所以.因?yàn)椋?所以，所以.又因?yàn)槠矫鍼CD平面ABCD,平面平面PCD平面ABCD=CD.所以PO平面ABCD，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,則，設(shè)平面的法向量為， 所以令，則，所以.平面的法向量為，則.如圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.（）在棱上存在點(diǎn), 使.設(shè),則.因?yàn)?所以.因?yàn)?所以.所以，解得.所以在棱上存在點(diǎn),使，且.11（北京市朝陽區(qū)2019屆高三第二次（5月)綜合練習(xí)（二模)數(shù)學(xué)理）在三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)棱底面D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)G，且，（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.【解析】（1）證明：因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，G為B1C中點(diǎn)所以EGAB1又因?yàn)镋G平面AB1D，AB1平面AB1D，所以EG平面AB1D （2） 證明：取B1C1的中點(diǎn)D1，連接DD1顯然DA，DC，DD1兩兩互相垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D（0，0，0），B（0，-2，0），C（0，2，0）所以，又因?yàn)?，所以BC1DA，BC1DB1又因?yàn)镈ADB1=D，所以BC1平面AB1D （3）解：顯然平面B1CB的一個(gè)法向量為=（1，0，0）設(shè)平面AB1C的一個(gè)法向量為：=（x，y，z），又，由得設(shè)x=1，則，則所以設(shè)二面角A-B1C-B的平面角為，由圖可知此二面角為銳二面角，所以12（）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，安徽省1號卷A10聯(lián)盟2019屆高考最后一卷數(shù)學(xué)理（1）若點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）若二面角為直二面角，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）為等邊三角形，且是線段的中點(diǎn) ， 平面，平面 平面點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn) 平面，平面 平面 平面平面（2）設(shè)交于點(diǎn)，連接由對稱性知，為的中點(diǎn)，且，二面角為直二面角 平面不妨設(shè)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)平面的法向量為則，即：令，得， 直線與平面所成角的正弦值為13（山東省威海市2019屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)理）如圖，在四棱錐中，已知平面，為等邊三角形，與平面所成角的正切值為.()證明：平面；()若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】（）見解析.（）.【解析】 ()證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以?所以平面，所以為與平面所成的角在中，所以所以在中，,.又，所以在底面中，,又平面，平面，所以平面()解：取的中點(diǎn)，連接，則,由()知，所以，分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則， 所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即，得，令，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即，得，令，則所以，由圖形可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為14（2019年遼寧省大連市高三5月雙基考試數(shù)學(xué)理）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為3的菱形，ABC=60°PA面ABCD，且PA=3F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上（）若CE面BDF，求PE：ED的值；（）求二面角B-DF-A的大小【答案】（）見解析；（）arctan【解析】（）過E作EGFD交AP于G，連接CG，連接AC交BD于O，連接FOEGFD，EG面BDF，F(xiàn)D面BDF，EG面BDF，又EGCE=E，CE面BDF，EG，CE面CGE，面CGE面BDF，又CG面CGE，CG面BDF，又面BDF面PAC=FO，CG面PAC，F(xiàn)OCG又O為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為AG中點(diǎn)，且AF=1，AF=FG=1，PA=3，F(xiàn)G=GP=1，E為PD中點(diǎn)，PE：ED=1：1（）過點(diǎn)B作BH直線DA交DA延長線于H，過點(diǎn)H作HI直線DF交DF于I，PA面ABCD，面PAD面ABCD，BH面PAD，由三垂線定理可得DIIB，BIH是二面角B-DF-A的平面角由題易得AH=，BH=，HD=，且=，HI=，tanBIH=×=，二面角B-DF-A的大小為arctan15（廣東省揭陽市2019年高考數(shù)學(xué)二模）已知如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E、F分別為PC的三等分點(diǎn)（1）證明：AF平面EBD；（2）已知AP=AD=1，AB=2，求二面角E-BD-A的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）連接AC交于BD點(diǎn)O，連接EO因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)又E、F分別為PC的三等分點(diǎn)，E為CF的中點(diǎn)，所以AFEO因?yàn)镋O平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面EBD（2）以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP的分別為x，y，z軸方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由條件可得D（1，0，0），B（0，2，0），C（1，2，0），P（0，0，1），為平面ABD的一個(gè)法向量，設(shè)面BDE的一個(gè)法向量為，則，即，取y=1，則x=2，z=-2，所以，所以二面角D-AE-C的余弦值為16（四川省百校2019年高三模擬沖刺卷理科）如圖，在三棱柱中，是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若平面是棱的中點(diǎn)，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求線段的長度.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)連結(jié)，而是中點(diǎn)，則因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，所以又是棱的中點(diǎn)，所以面以為原點(diǎn)，過作的垂線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)得長度為，則所以 分別設(shè)平面與平面的法向量為由解得，同理可得由，解得所以線段的長度為17（貴州省貴陽市2019年高三5月適應(yīng)性考試（二)理）如圖（1）中，分別是與的中點(diǎn)，將沿折起連接與得到四棱錐（如圖（2），為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】(1)見解析.(2) .【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由于是的中點(diǎn)，且又，分別為與的中點(diǎn)，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面.（2）當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，平面平面由于，平面，建立如圖所示的坐標(biāo)系，由題知，設(shè)平面的法向量，則，即，取一組解，記與平面所成角為，則 18（吉林省長春市2019屆高三質(zhì)量監(jiān)測（四)數(shù)學(xué)（理）已知四棱柱中，平面，點(diǎn)為中點(diǎn).（）求證：平面平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（）見解析；（）.【解析】解：（）由題意得，故四邊形為平行四邊形，所以，由平面，平面，故平面， 由題意可知，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以所以四邊形為平行四邊形，所以，由平面，平面，所以平面， 又由于相交于點(diǎn)B，平面，所以平面平面。（II）由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，有，令，則， ， 令為直線與平面所成的角，則.19（四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）如圖所示，在三棱錐中，與都是邊長為2的等邊三角形，是側(cè)棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于、的平面分別交棱、于點(diǎn)、.（1）證明：四邊形為矩形；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，平面，平面平面，平面平面，.同理，由平面得，四邊形為平行四邊形.與都是等邊三角形，又，平面，故，又由上知，四邊形為矩形.（2）平面平面，平面平面，平面，平面，兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，與都是邊長為2的等邊三角形，設(shè)平面的法向量為，由，令，得.同理可得平面的法向量， .由圖形可知，所求二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為.20（福建省三明市2019屆高三質(zhì)量檢查測試?yán)恚┤鐖D，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面是邊長為3的菱形.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）因?yàn)槭橇庑?，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所?（2）在中，根據(jù)余弦定理，因?yàn)?，所以，則，所以，即.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，平?所以平面.設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，,因?yàn)槭橇庑?，所以是等邊三角形，所以，所?作于點(diǎn)，則，在中，所以.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，即，取，解得，此時(shí).由圖可知，平面的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以二面角的余弦值是.21（山西省2019屆高三考前適應(yīng)性訓(xùn)練二模）如圖，平面ABCD平面CDEF，且四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形， ，M是線段DE上的點(diǎn)，滿足DM=2ME (1)證明：BE/平面MAC；(2)求直線BF與平面MAC所成角的正弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）連接，交于，連接，由于，所以.所以.由于平面，平面，所以平面（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，可知兩兩垂直，分別以的方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則，.設(shè)平面的法向量，則，令，得平面的一個(gè)法向量，而，設(shè)所求角為，則.故直線與平面所成的角的正弦值為.22（天津市和平區(qū)2018-2019學(xué)年第二學(xué)期高三年級第二次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)理）如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直， ，,點(diǎn)在線段上.() 若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面； () 求證：平面平面；() 當(dāng)平面與平面所成二面角的余弦值為時(shí)，求的長.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【解析】 (1)正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD為交線，ED平面ABCD，由已知得DA，DE，DC兩兩垂直，如圖建系D-xyz，可得D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(xiàn)(1，0，1).由M為C的中點(diǎn)，知，故.易知平面ADEF的法向量為，BM平面ADEF，BM/平面ADEF.(2)由(1)知，設(shè)平面BDE的法向量為，平面BEC的法向量為，由得，由得，故平面BDE平面BEC.(3)設(shè)，設(shè)，計(jì)算可得，則，設(shè)平面BDM的法向量為，由得，易知平面ABF的法向量為，由已知得 ，解得，此時(shí)，則，即AM的長為.23（河北省武邑中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）如圖，在棱長均為的三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為與的交點(diǎn)，、分別為，的中點(diǎn).（1）求證：四邊形為正方形；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面沒有公共點(diǎn)？若存在求出的值.（該問寫出結(jié)論即可）【答案】(1)見證明；(2) (3) 【解析】解：（1）連結(jié).因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的射影為與的交點(diǎn)，所以.由已知三棱柱各棱長均相等，所以，且為菱形.由勾股定理得，即，所以四邊形為正方形.（2）由（1）知平面，.在正方形中，.如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得，.所以.設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則.于是.又因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為（3）直線與平面沒有公共點(diǎn)，即.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，與重合時(shí)不合題意，所以.因?yàn)?設(shè)為平面的法向量，則即令,則.于是.若，.又，所以解得.此時(shí)，所以.所以.24（山東省鄆城一中等學(xué)校2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）如圖所示的多面體中，四邊形為菱形，且，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】證明：（1）連結(jié)BD，交AC于M，連結(jié)FM，MG，因?yàn)锽CAD2EF，EFBC，BCAD，所以，在ACD中，M，G分別為AC，CD的中點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形EFMG是平行四邊形，所以EGFM，又因?yàn)镕M平面ACF，EC平面ACF，所以EG平面ACF（2）取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)FO，OC，因?yàn)锳FBFBC，ABC60°，四邊形ABCD為菱形，所以FOAB，OCAB，因?yàn)槠矫鍭BF平面ABCD，所以FO平面ABCD，故以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AFBFBC2EF2則A（1，0，0），C（0，0），F(xiàn)（0，0，），E（，），（1，0），設(shè)是平面ACF的一個(gè)法向量，則，令yz1，則，故（，1，1），設(shè)直線EC與平面ACF所成角為，則，所以直線EC與平面ACF所成角的正弦值為25（江西省贛州市2019屆高三3月摸底考試數(shù)學(xué)理）如圖，在平行四邊形中，.現(xiàn)沿對角線將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn).點(diǎn)、分別在、上，且、四點(diǎn)共面.（1）求證：；（2）若平面平面，平面與平面夾角為，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)見證明；(2) 【解析】（1）不妨設(shè)，則，在中，根據(jù)余弦定理可得，計(jì)算得，因?yàn)椋?因?yàn)?，且、四點(diǎn)共面，所以平面.又平面平面，所以.而，故. （2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)?，平面與平面夾角為，所以，從而在中，易知為的中點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，令，得.設(shè)與平面所成角為，則。45