青島版小學數(shù)學總復習(1-6年級知識點總結).docx

青島版小學數(shù)學總復習目 錄第一部分 常用的數(shù)量關系-1第二部分 小學數(shù)學圖形計算公式-1第三部分 常用單位換算-2第四部分 基 本 概 念-3第一章 數(shù)和數(shù)的運算- -3第二章 度量衡-16第三章 代數(shù)初步知識-17第四章 空間與圖形-20第五章 簡單的統(tǒng)計 -24 【常用的數(shù)量關系】1、每份數(shù)份數(shù)=總數(shù)； 總數(shù)每份數(shù)=份數(shù) ； 總數(shù)份數(shù)=每份數(shù) 2、1 倍數(shù)倍數(shù)=幾倍數(shù)； 幾倍數(shù)1 倍數(shù)=倍數(shù)； 幾倍數(shù)倍數(shù)=1 倍數(shù)3、速度時間=路程 ； 路程速度=時間 ； 路程時間=速度 4、單價數(shù)量=總價； 總價單價=數(shù)量 ； 總價數(shù)量=單價5、工作效率工作時間=工作總量； 工作總量工作效率=工作時間； 工作總量工作時間=工作效率； 6、加數(shù)+加數(shù)=和； 和-一個加數(shù)=另一個加數(shù) 7、被減數(shù)-減數(shù)=差； 被減數(shù)-差=減數(shù)； 差+減數(shù)=被減數(shù) 8、因數(shù)因數(shù)=積； 積一個因數(shù)=另一個因數(shù) 9、被除數(shù)除數(shù)=商 ； 被除數(shù)商=除數(shù)； 商除數(shù)=被除數(shù) 【小學數(shù)學圖形計算公式】 1、正方形（C:周長， S：面積， a:邊長） 周長=邊長4； C=4a 面積=邊長邊長； S=aa 2、正方體（V：體積， a：棱長） 表面積=棱長棱長6； S 表=aa6 體積=棱長棱長棱長； V= aaa 3、長方形（C:周長， S：面積， a:邊長， b：寬 ） 周長=（長+寬）2； C=2(a+b) 面積=長寬 ； S=ab 4、長方體（V：體積， S：面積， a:長， b：寬， h:高） （1）表面積=（長寬+長高+寬高）2； S=2(ab+ah+bh) （2）體積=長寬高； V=abh 5、三角形（S：面積， a:底， h:高） 面積=底高2 ； S=ah2 三角形的高=面積2底 三角形的底=面積2高 6、平行四邊形（S：面積， a:底， h:高） 面積=底高； S=ah 7、梯形（A=r2S：面積， a:上底， b：下底， h:高） 面積=(上底+下底)高2； S=(a+b)h2 8、圓形（S：面積， C：周長， ：圓周率， d：直徑， r：半徑 ） （1）周長= 直徑=2 半徑； C=d=2r （2）面積= 半徑半徑； S= r2 9、圓柱體（V：體積， S：底面積， C：底面周長， h：高， r：底面半徑 ） （1）側面積=底面周長高=Ch=dh=2rh （2）表面積=側面積+底面積2 （3）體積=底面積高 10、圓錐體（V：體積， S：底面積， h：高， r：底面半徑 ） 體積=底面積高3 11、總數(shù)總份數(shù)=平均數(shù) 12、和差問題的公式：已知兩數(shù)的和及它們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應用題，叫做和差應用題，簡稱和差問題。 (和+差)2=大數(shù)； (和-差)2=小數(shù) 13、 和倍問題的公式： 已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的倍數(shù)關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題， 我們通常叫做和倍問題。 和(倍數(shù)-1)= 小數(shù)； 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)（或者：和-小數(shù)=大數(shù)） 14、差倍問題的公式：差倍問題即已知兩數(shù)之差和兩數(shù)之間的倍數(shù)關系，求出兩數(shù)。 差(倍數(shù)-1)= 小數(shù)； 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)（或者：小數(shù)+差=大數(shù)） 15、相遇問題： 相遇路程=速度和相遇時間； 相遇時間=相遇路程速度和； 速度和=相遇路程相遇時間 16、濃度問題 溶質的重量+溶劑的重量=溶液的重量； 溶液的重量濃度=溶質的重量； 溶質的重量溶液的重量100%=濃度； 溶質的重量濃度=溶液的重量 17、利潤與折扣問題： 利潤=售出價-成本； 利潤率=利潤成本100%； 利息=本金利率時間； 漲跌金額=本金漲跌百分比； 稅后利息=本金利率時間（1-利息稅） 【常用單位換算】（一）長度單位換算 1 千米=1000 米； 1 米=10 分米； 1 分米=10 厘米；1 米=100 厘米；1 厘米=10 毫米 （二）面積單位換算： 1 平方千米=100 公頃； 1 公頃=10000 平方米； 1 平方厘米=100 平方毫米 1 平方米=100 平方分米； 1 平方分米=100 平方厘米； （三）體積（容積）單位換算：1 立方米=1000 立方分米； 1 立方分米=1000 立方厘米； 1 立方分米=1 升； 四）重量單位換算： 1 立方厘米=1 毫升； 1 立方米=1000 升 1 噸=1000 千克； 1 千克=1000 克； 1 角=10 分； 1 年=12 月； 1 千克=1 公斤 1 元=100 分 （五）人民幣單位換算： 1 元=10 角； （六）時間單位換算： 1 世紀=100 年； 【大月（31 天）有：1、3、5、7、8、10、12 月】 ； 【小月（30 天）有：4、6、9、11 月】 【平年：2 月有 28 天；全年有 365 天】 ； 1 日=24 小時； 【閏年：2 月有 29 天；全年有 366 天】 1 分=60 秒； 2 1 時=60 分=3600 秒；【基 本 概 念】第一章 數(shù)和數(shù)的運算一、概念 （一）整數(shù) 1.自然數(shù)、負數(shù)和整數(shù) （1）、自然數(shù) ：我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的 1，2，3叫做自然數(shù)。 一個物體也沒有，用 0 表示。0 也是自然數(shù)。 1 是自然數(shù)的基本單位，任何一個自然數(shù)都是由若干個 1 組成。 0 是最小的自然數(shù)，沒有最大的自然數(shù)。 （2）、負數(shù)：在正數(shù)前面加上“-”的數(shù)叫做負數(shù)， “-”叫做負號。 (3)整數(shù) 正整數(shù)（1、2、3、4、） 零 (0 既不是正數(shù)，也不是負數(shù)) 負整數(shù)（-1、-2、-3、-4） 2、零的作用 （1）表示數(shù)位。讀寫數(shù)時，某個單位上一個單位也沒有，就用 0 表示。 （2）占位作用。 （3）作為界限。如“零上溫度與零下溫度的界限” 。 3、計數(shù)單位 ：一（個） 、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億?都是計數(shù)單位。 每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是 10。這樣的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。 4、數(shù)位 ：計數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。 5、數(shù)的整除 ：整數(shù) a 除以整數(shù) b(b 0） ，除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說 a 能被 b 整除，或者說 b 能整除 a 。 （1）如果數(shù) a 能被數(shù) b（b 0）整除，a 就叫做 b 的倍數(shù)，b 就叫做 a 的約數(shù)（或 a 的因數(shù)） 。 倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。 如：因為 35 能被 7 整除，所以 35 是 7 的倍數(shù)，7 是 35 的約數(shù)。 （2）一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是 1，最大的約數(shù)是它本身。 例如：10 的約數(shù)有 1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是 1，最大的約數(shù)是 10。 （3）一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。 如：3 的倍數(shù)有：3、6、9、12?其中最小的倍數(shù)是 3 ，沒有最大的倍數(shù)。 （4）個位上是 0、2、4、6、8 的數(shù)，都能被 2 整除，例如：202、480、304，都能被 2 整除。 （5）個位上是 0 或 5 的數(shù)，都能被 5 整除，例如：5、30、405 都能被 5 整除。 （6）一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被 3 整除，這個數(shù)就能被 3 整除， 例如：12、108、204 都能被 3 整除。 （7）一個數(shù)各位數(shù)上的和能被 9 整除，這個數(shù)就能被 9 整除。 （8）能被 3 整除的數(shù)不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的數(shù)一定能被 3 整除。 （9）一個數(shù)的末兩位數(shù)能被 4（或 25）整除，這個數(shù)就能被 4（或 25）整除。 例如：16、404、1256 都能被 4 整除，50、325、500、1675 都能被 25 整除。 （10）一個數(shù)的末三位數(shù)能被 8（或 125）整除，這個數(shù)就能被 8（或 125）整除。 例如：1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、5000 都能被 125 整除。 （11）能被 2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)。 不能被 2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。 0 也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被 2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。 （12）一個數(shù)，如果只有 1 和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質數(shù)（或素數(shù)） 。 100 以內的質數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、 59、61、67、71、73、79、83、89、97。 （13）一個數(shù)，如果除了 1 和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。 例如 4、6、8、9、12 都是合數(shù)。 （14）1 不是質數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了 1 外，不是質數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約數(shù) 的個數(shù)的不同分類，可分為質數(shù)、合數(shù)和 1。 （15）每個合數(shù)都可以寫成幾個質數(shù)相乘的形式。其中每個質數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這 個合數(shù)的質因數(shù)，例如 15=35，3 和 5 叫做 15 的質因數(shù)。 （16）把一個合數(shù)用質因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質因數(shù)。 例如：把 28 分解質因數(shù) 。（17） 幾個數(shù)公有的約數(shù)， 叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。 其中最大的一個， 叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。 例如： 12 的約數(shù)有 1、2、3、4、6、12； 18 的約數(shù)有 1、2、3、6、9、18。 其中，1、2、3、6 是 12 和 1 8 的公約數(shù)，6 是它們的最大公約數(shù)。 （18）公約數(shù)只有 1 的兩個數(shù)，叫做互質數(shù)，成互質關系的兩個數(shù)，有下列幾種情況： 1和任何自然數(shù)互質。 相鄰的兩個自然數(shù)互質。 兩個不同的質數(shù)互質。 當合數(shù)不是質數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質數(shù)互質。 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有 1 時，這兩個合數(shù)互質，如果幾個數(shù)中任意兩個都互質，就說這幾 個數(shù)兩兩互質。 如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。 如果兩個數(shù)是互質數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是 1。 （19）幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)， 如：2 的倍數(shù)有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ? 3 的倍數(shù)有 3、6、9、12、15、18 ? 其中 6、12、18?是 2、3 的公倍數(shù)，6 是它們的最小公倍數(shù)。 如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。 如果兩個數(shù)是互質數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。 幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。 （二）小數(shù) 1 、小數(shù)的意義 （1） 把整數(shù) 1 平均分成 10 份、 100 份、 1000 份? 得到的十分之幾、 百分之幾、 千分之幾? 可以用小數(shù)表示。 （2）一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾?（3）一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點，小數(shù)點左邊 的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。 （4）在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是 10。小數(shù)部分的最高分數(shù)單位“十分之 一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進率也是 10。 2、小數(shù)的分類 （1）純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數(shù)。 （2）帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數(shù)。（3）有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數(shù)。 （4）無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。 例如： 4.33 ? 3.1415926 ? （5）無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限 不循環(huán)小數(shù)。 例如： （6）循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復出現(xiàn)，這個數(shù)叫做 循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.555 ? 0.0333 ? 12.109109 ? （7）一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。 例如： 3.99 ?的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ， 0.5454 ?的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。 （8）純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.111 ? 0.5656 ? （9）混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.1222 ? 0.03333 ? （10）寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、 末位數(shù)字上各點一個圓點。如果循環(huán)節(jié)只有 一個數(shù)字，就只在它的上面點一個點。 例如： 3.777 ? 簡寫作：3.7 ； 0.5302302 ? 簡寫作：0.5302 。 （三）分數(shù) 1、分數(shù)的意義 （1）把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。 （2）在分數(shù)里，中間的橫線叫做分數(shù)線；分數(shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1”平均 分成多少份；分數(shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。 （3）把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分數(shù)單位。 2、分數(shù)的分類 真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于 1。 假分數(shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)，叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于 1。 帶分數(shù)：假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分數(shù)。 3、約分和通分 把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù) ，叫做約分。 分子分母是互質數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。 把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。 （四）百分數(shù) ： 表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分數(shù),也叫做百分率 或百分比。 百分數(shù)通常用%來表示。百分號是表示百分數(shù)的符號。 二 、方法 （一）數(shù)的讀法和寫法 1、整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再 在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的 0 都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù) 有幾個 0 都只讀一個零。 2、整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位 上寫 0。 3、小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點讀作“點” ，小數(shù)部分從 左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。 4、小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù) 部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。 5、分數(shù)的讀法：讀分數(shù)時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來 讀。 6、分數(shù)的寫法：先寫分數(shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。 7、百分數(shù)的讀法：讀百分數(shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來 讀。 8、百分數(shù)的寫法：百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。 （二）數(shù)的改寫 一個較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要，省略這個數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。 1、 準確數(shù)： 在實際生活中， 為了計數(shù)的簡便， 可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。 改寫后的數(shù)是原數(shù)的準確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。 2、近似數(shù)：根據(jù)實際需要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個近似 數(shù)來表示。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。 3、四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是 4 或者比 4 小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最高 位上的數(shù)是 5 或者比 5 大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進 1。例如：省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。 4、大小比較 （1）比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位，最 高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上 的數(shù)大那個數(shù)就大。 （2）比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分， ，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；整數(shù)部分相同的， 十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大； 十分位上的數(shù)也相同的， 百分位上的數(shù)大 的那個數(shù)就大? （3）比較分數(shù)的大小:分母相同的分數(shù)，分子大的分數(shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分數(shù) 大。分數(shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數(shù)的大小。 （三）數(shù)的互化 1、小數(shù)化成分數(shù)：原來有幾位小數(shù)，就在 1 的后面寫幾個零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點 作分子，能約分的要約分。 2、分數(shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限 小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。 3、一個最簡分數(shù)，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的質因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限 小數(shù)；如果分母中含有 2 和 5 以外的質因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。 4、小數(shù)化成百分數(shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。 5、百分數(shù)化成小數(shù)：把百分數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同時把小數(shù)點向左移動兩位。 6、分數(shù)化成百分數(shù)：通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成 百分數(shù)。 7、百分數(shù)化成小數(shù)：先把百分數(shù)改寫成分數(shù)，能約分的要約成最簡分數(shù)。 （四）數(shù)的整除 1、把一個合數(shù)分解質因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質數(shù)去除，一直除到商是質 數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。 2、求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有 公約數(shù) 1 為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù) 。 3、求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)（或其中的部分數(shù)）的公約數(shù)去除，一直除 到互質（或兩兩互質）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的最小 公倍數(shù)。 4、成為互質關系的兩個數(shù)：1 和任何自然數(shù)互質 ； 相鄰的兩個自然數(shù)互質； 當合數(shù)不是質數(shù) 的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質數(shù)互質； 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有 1 時，這兩個合數(shù)互質。 （五）約分和通分 （1）約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分 數(shù)為止。 （2）通分的方法：先求出原來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分數(shù)化成用這個最小公 倍數(shù)作分母的分數(shù)。 三、性質和規(guī)律 （一）商不變的規(guī)律 商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。 （二）小數(shù)的性質 小數(shù)的性質：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。 （三）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化 1、小數(shù)點向右移動一位，原來的數(shù)就擴大 10 倍；小數(shù)點向右移動兩位，原來的數(shù)就擴大 100 倍；小數(shù)點向右移動三位，原來的數(shù)就擴大 1000 倍? 2、小數(shù)點向左移動一位，原來的數(shù)就縮小 10 倍；小數(shù)點向左移動兩位，原來的數(shù)就縮小 100 倍；小數(shù)點向左移動三位，原來的數(shù)就縮小 1000 倍? 3、小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0補足位。 （四）分數(shù)的基本性質 分數(shù)的基本性質：分數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外） ，分數(shù)的大小不變。 （五）分數(shù)與除法的關系 1、被除數(shù)除數(shù)= 被除數(shù)/ 除數(shù) 2、因為零不能作除數(shù)，所以分數(shù)的分母不能為零。 3、被除數(shù) 相當于分子，除數(shù)相當于分母。 四、運算的意義 （一）整數(shù)四則運算 1、整數(shù)加法：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。 在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分數(shù)，和是總數(shù)。 加數(shù)+加數(shù)=和 一個加數(shù)=和另一個加數(shù) 2、整數(shù)減法：已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。 在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。 被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分數(shù)。 加法和減法互為逆運算。 3、整數(shù)乘法：求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。 在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。 在乘法里，0 和任何數(shù)相乘都得 0； 1 和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。 一個因數(shù) 一個因數(shù) =積； 一個因數(shù)=積另一個因數(shù)4、整數(shù)除法：已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做除法。 在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。 乘法和除法互為逆運算。 在除法里，0 不能做除數(shù)。 （因為 0 和任何數(shù)相乘都得 0，所以任何一個數(shù)除以 0，均得不一個確定的商。 ） 被除數(shù)除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)商 被除數(shù)=商除數(shù) （二）小數(shù)四則運算 1、小數(shù)加法：小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。 2、小數(shù)減法：小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)， 求另一個加數(shù)的運算. 3、小數(shù)乘法：小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算；一個 數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾?是多少。 4、 小數(shù)除法： 小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同， 就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)， 求另一個因數(shù)的運算。 5、乘方: 求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如 3 3 =32 （三）分數(shù)四則運算 1、分數(shù)加法：分數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。 是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。 2、分數(shù)減法：分數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)， 求另一個加數(shù)的運算。 3、分數(shù)乘法：分數(shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。 4、乘積是 1 的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。 5、 分數(shù)除法： 分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。 就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)， 求另一個因數(shù)的運算。 （四）運算定律 1、加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即 a+b=b+a 。 2、加法結合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加， 再和第一個數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c) 。 3、乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即 ab=ba。 4、乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相乘， 再和第一個數(shù)相乘，它們的積不變，即(ab)c=a(bc) 。 5、乘法分配律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加， 即(a+b)c=ac+bc 。 6、減法的性質：從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變， 即 a-b-c=a-(b+c) 。 （五）運算法則 1、整數(shù)加法計算法則：相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進一。2、整數(shù)減法計算法則：相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退 一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。 3、整數(shù)乘法計算法則：先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，用因 數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù) 加起來。 4、整數(shù)除法計算法則：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位； 如果 不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果 哪一位上不夠商 1，要補“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。 5、小數(shù)乘法法則：先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右 邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點；如果位數(shù)不夠，就用“0”補足。 6、除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則：先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小 數(shù)點對齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0” ，再繼續(xù)除。 7、除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則：先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點也向右移動 幾位（位數(shù)不夠的補“0” ） ，然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進行計算。 8、同分母分數(shù)加減法計算方法:同分母分數(shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。 9、異分母分數(shù)加減法計算方法:先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的的法則進行計算。 10、帶分數(shù)加減法的計算方法:整數(shù)部分和分數(shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。 11、分數(shù)乘法的計算法則:分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分數(shù) 乘分數(shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 12、分數(shù)除法的計算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)（0 除外） ，等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。 （六）運算順序 1、小數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。 2、分數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。 3、沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算；兩級運算 先算乘、除法，后算加減法。 4、有括號的混合運算:先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。 5、第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。 6、第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。 五、應用 （一）整數(shù)和小數(shù)的應用 1、簡單應用題 （1）簡單應用題：只含有一種基本數(shù)量關系，或用一步運算解答的應用題，通常叫做簡單應用題。 （2）解題步驟： A、 審題理解題意：了解應用題的內容，知道應用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊 讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復述條件和問題，幫助理解題意。 B、選擇算法和列式計算：這是解答應用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐 步根據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運算的含義，分析數(shù)量關系，確定算法，進行解答并標 明正確的單位名稱。 C、檢驗：就是根據(jù)應用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確，是否符合題 意。如果發(fā)現(xiàn)錯誤，馬上改正。 2 復合應用題 （1）有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，通常叫 做復合應用題。 （2）含有三個已知條件的兩步計算的應用題。 求比兩個數(shù)的和多（少）幾個數(shù)的應用題。 比較兩數(shù)差與倍數(shù)關系的應用題。 （3）含有兩個已知條件的兩步計算的應用題。 已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關系）與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)的和（或差） 。 已知兩數(shù)之和與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)相差多少（或倍數(shù)關系） 。 （4）解答連乘連除應用題。 （5）解答三步計算的應用題。 （6）解答小數(shù)計算的應用題：小數(shù)計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數(shù)量關系、結 構、和解題方式都與正式應用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。 (7) 解答加法應用題： a.求總數(shù)的應用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。 b.求比一個數(shù)多幾的數(shù)應用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。 （8）解答減法應用題： a.求剩余的應用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。 b.求兩個數(shù)相差的多少的應用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比 甲數(shù)少多少。 c.求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應用題：已知甲數(shù)是多少， ，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。 （9）解答乘法應用題： a 求相同加數(shù)和的應用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)，求總數(shù)。 b 求一個數(shù)的幾倍是多少的應用題：已知一個數(shù)是多少，另一個數(shù)是它的幾倍，求另一個 數(shù)是多少。 （10）解答除法應用題： a.把一個數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：已知一個數(shù)和把這個數(shù)平均分成幾 份的，求每一份是多少。 b.求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應用題：已知一個數(shù)和每份是多少，求可以分成幾份。 c.求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。 d.已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的應用題。 （11）常見的數(shù)量關系： 總價= 單價數(shù)量； 路程= 速度時間； 工作總量=工作時間工效 ； 總產量=單產量數(shù)量 3、典型應用題 ： 具有獨特的結構特征的和特定的解題規(guī)律的復合應用題，通常叫做典型應用題。 （1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。 解題關鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應的總份數(shù)。 算術平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數(shù)，求平均每份是多少。 數(shù)量關系式：數(shù)量之和數(shù)量的個數(shù)=算術平均數(shù)。 加權平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。 數(shù)量關系式： （部分平均數(shù)權數(shù)）的總和（權數(shù)的和）=加權平均數(shù)。 差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標準數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標準數(shù)與各 數(shù)相差之和的平均數(shù)。 數(shù)量關系式： （大數(shù)小數(shù)）2=小數(shù)應得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差的和總份數(shù)=最大數(shù)應給數(shù) 最大數(shù)與個數(shù)之差的和總份數(shù)=最小數(shù)應得數(shù)。 例： 一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地， 又以每小時 60 千米的速度從 乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。 分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“ 1 ” ， 則汽車行駛的總路程為“ 2 ” ，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用的時間為1/100, 汽車從乙地到甲地速度為 60 千米 ，所用的時間是 1/60 ，汽車共行的時間為：1/100+1/60=2/75,汽車的平均速度為： 2 2/75 =75(小時)。（2） 歸一問題：已知相互關聯(lián)的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。 根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題和兩次歸一問題。 根據(jù)求出單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題和反歸一問題。 一次歸一問題：用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！?兩次歸一問題：用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一” 正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結果的歸一問題。 反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結果的歸一問題。 解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量） ，然后以它為標 準，根據(jù)題目的要求算出結果。 數(shù)量關系式：單一量份數(shù)=總數(shù)量（正歸一） 總數(shù)量單一量=份數(shù)（反歸一） 例 ： 一個織布工人，在七月份織布 4774 米 ，照這樣計算，織布 6930 米，需要多少天？ 分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 693 0（477 431）=45（天） （3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的 個數(shù)） ，通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)（或單位數(shù)量） 。 特點：兩種相關聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反， 和反比例算法彼此相通。 數(shù)量關系式：單位數(shù)量單位個數(shù)另一個單位數(shù)量 = 另一個單位數(shù)量 例： 修一條水渠，原計劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米？ 分析： 因為要求出每天修的長度， 就必須先求出水渠的長度。 所以也把這類應用題叫做 “歸 總問題” 。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量， 再求單一量。 800 6 4=1200 （米） （4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應用題叫做和差問題。 解題關鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的和） ，然后再求另一個數(shù)。 解題規(guī)律： （和差）2 = 大數(shù) 大數(shù)差=小數(shù) （和差）2=小數(shù) 和小數(shù)= 大數(shù) 例： 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲班工作， 這時乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？ 分析：從乙班調 46 人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉化成 2 個乙班， 即 9 4 12 ，由此得到現(xiàn)在的乙班是（ 9 4 12 ） 2=41 （人） ，乙班在調 出 46 人之前應該為 41+46=87 （人） ，甲班為 9 4 87=7 （人） （5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題， 叫做和倍問題。解題關鍵：找準標準數(shù)（即 1 倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標準的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個數(shù)（也可能是 幾個數(shù)）與標準數(shù)的倍數(shù)關系，再去求另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。 解題規(guī)律：和倍數(shù)和=標準數(shù) 標準數(shù)倍數(shù)=另一個數(shù) 例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？ 分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內，為了使總數(shù)與 （ 5+1 ）倍對應，總車輛數(shù)應（ 115-7 ）輛 。 列式為： （ 115-7 ）（ 5+1 ） =18 （輛） ， 18 5+7=97 （輛） （6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題。 解題規(guī)律：兩個數(shù)的差（倍數(shù)1 ）= 標準數(shù) 標準數(shù)倍數(shù)=另一個數(shù)。 例：甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米 ，乙繩長 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度是乙繩長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？ 各減去多少米？ 分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實際比乙繩多 （ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為標準數(shù)。 列式： （ 63-29 ）（ 3-1 ） =17 （米）? 乙繩剩下的長度， 17 3=51 （米）? 甲繩剩下的長度， 29-17=12 （米）? 剪去的長度。 （7）行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念， 了解他們之間的關系，再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答。 解題關鍵及規(guī)律： 同時同地相背而行：路程=速度和時間。 同時相向而行：相遇時間=速度和時間 同時同向而行（速度慢的在前，快的在后） ：追及時間=路程速度差。 同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前） ：路程=速度差時間。 例： 甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米 ，乙每小時行 9 千米 ，甲幾小時追上乙？ 分析：甲每小時比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時可以追近乙（ 16-9 ）千米， 這是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米 （追擊路程） ， 28 千米 里包含著幾個 （ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時間。 列式： 2 8 （16-9）=4 （小時） （8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。 船速：船在靜水中航行的速度。 水速：水流動的速度。 順水速度：船順流航行的速度。 逆水速度：船逆流航行的速度。順速=船速水速 逆速=船速水速 解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題 當作和差問題解答。 解題時要以水流為線索。 解題規(guī)律：船行速度=（順水速度+ 逆流速度）2 流水速度=（順流速度-逆流速度）2 路程=順流速度順流航行所需時間 路程=逆流速度逆流航行所需時間 例： 一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順水多行 2 小時，已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？ 分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用 2 小時，抓住這一點，就可以就能算出順水 從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。 列式為： 284 2=20 （千米） ； 2 0 2 =40 （千米） ； 40 （ 4 2 ） =5 （小時） ； 28 5=140 （千米） 。 （9） 還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運算后所得的結果，求這個未知數(shù)的應用題， 我們叫做還原問題。 解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關系。 解題規(guī)律：從最后結果出發(fā)，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數(shù)。 根據(jù)原題的運算順序列出數(shù)量關系，然后采用逆運算的方法計算推導出原數(shù)。解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘記寫 括號。 例： 某小學三年級四個班共有學生 168 人，如果四班調 3 人到三班，三班調 6 人到二 班，二班調 6 人到一班，一班調 2 人到四班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學生多少人？ 分析：當四個班人數(shù)相等時，應為 168 4 ，以四班為例，它調給三班 3 人，又從一 班調入 2 人，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。 四班原有人數(shù)列式為： 168 4-2+3=43 （人） 一班原有人數(shù)列式為： 168 4-6+2=38 （人） 二班原有人數(shù)列式為： 168 4-6+6=42 （人） 三班原有人數(shù)列式為： 168 4-3+6=45 （人） 。 （10）植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關系的應用題，叫做植樹問題。 解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。 解題規(guī)律： a.沿線段植樹 棵樹=段數(shù)+1 棵樹=總路程株距+1 株距=總路程（棵樹-1） 總路程=株距（棵樹-1） b.沿周長植樹 棵樹=總路程株距 株距=總路程棵樹 總路程=株距棵樹 例： 沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。后來全部改裝，只埋 了 201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。 分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。 列式為： 50 （ 301-1 ）（ 201-1 ） =75 （米） （11 ）盈虧問題：是在等分除法的基礎上發(fā)展起來的。 他的特點是把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人， 在兩次分配中， 一次有余， 一次不足 （或兩次都有余） ， 或兩次都不足） ，已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。 解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩 次分配中各次共分物品的差（也稱總差額） ，用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數(shù)，進而再求得物品數(shù)。 解題規(guī)律：總差額每人差額=人數(shù) 總差額的求法可以分為以下四種情況： a.第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足 b.第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足 c.第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余 d.第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足 例： 參加美術小組的同學， 每個人分的相同的支數(shù)的色筆， 如果小組 10 人， 則多 25 支， 如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？ 分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出 了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 個人多出 20 支，一個人分得 10 支。 列式為： （ 25-5 ）（ 12-10 ） =10 （支） ； 10 12+5=125 （支） 。 （12）年齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題” 。 解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不 變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。 例： 父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？ 分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲） 。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年 前父親的年齡是兒子的 4 倍。 列式為： 21（ 48-21 ）（ 4-1 ） =12 （年） （13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應用題。 通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題 解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔” ， 然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。 解題規(guī)律： （總腿數(shù)雞腿數(shù)總頭數(shù)）一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù) 兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2總頭數(shù)）2 如果假設全是兔子，可以有下面的式子： 雞的只數(shù)=（4總頭數(shù)-總腿數(shù)）2 兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù) 例： 雞兔同籠共 50 個頭， 170 條腿。問雞兔各有多少只？兔子只數(shù)： （ 170-2 50 ） 2 =35 （只） 雞的只數(shù)： 50-35=15 （只） （二）分數(shù)和百分數(shù)的應用 1、分數(shù)加減法應用題：分數(shù)加減法的應用題與整數(shù)加減法的應用題的結構、數(shù)量關系和解題方 法基本相同，所不同的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中含有分數(shù)。 2、分數(shù)乘法應用題：是指已知一個數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應用題。 特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對應的實際數(shù)量。 解題關鍵：準確判斷單位“1”的量。找準要求問題所對應的分率，然后根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù) 的意義正確列式。 3、分數(shù)除法應用題： （1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。 特征：已知一個數(shù)和另一個數(shù)，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾。 “一個數(shù)”是比較量， “另一個數(shù)”是標準量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數(shù)關系。 解題關鍵：從問題入手，搞清把誰看作標準的數(shù)也就是把誰看作了“單位一” ，誰和單位一 的量作比較，誰就作被除數(shù)。 甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標準量，用甲除以乙。 甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾） ：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾） 。 關系式： （甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù) 或（甲數(shù)減乙數(shù)）/甲數(shù) 。 （2）已知一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾 ) ,求這個數(shù)。 特征：已知一個實際數(shù)量和它相對應的分率，求單位“1”的量。 解題關鍵：準確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成 x 根據(jù)分數(shù)乘法的意義列方程，或者根據(jù)分數(shù)除法的意義列算式，但必須找準和分率相對應的已知實際數(shù)量。 4、百分率： 發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗種子數(shù)100% 小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量100% 產品的合格率=合格的產品數(shù)/產品總數(shù)100% 職工的出勤率=實際出勤人數(shù)/應出勤人數(shù)100% 5、 工程問題： 是分數(shù)應用題的特例，它與整數(shù)的工作問題有著密切的聯(lián)系。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數(shù)量之間相互關系的一種應用題。 解題關鍵：把工作總量看作單位“1” ，工作效率就是工作時間的倒數(shù)，然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運用公式。 數(shù)量關系：工作總量=工作效率工作時間 工作效率=工作總量工作時間 工作時間=工作總量工作效率 工作總量工作效率和=合作時間 6、納稅：納稅就是把根據(jù)國家各種稅法的有關規(guī)定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。 繳納的稅款叫應納稅款。 應納稅額與各種收入的（銷售額、營業(yè)額、應納稅所得額 ?）的比率叫做稅率。 7、利息： 存入銀行的錢叫做本金。 取款時銀行多支付的錢叫做利息。 利息與本金的比值叫做利率。 利息=本金利率時間 第二章 度量衡一、長度 (一) 什么是長度：長度是一維空間的度量。(二) 長度常用單位：公里(km) 、米(m) 、分米(dm) 、厘米(cm) 、毫米(mm) 、微米(um) (三) 單位之間的換算： 1 毫米 1000 微米； 1 厘米10 毫米； 1 分米 10 厘米； 1 米 1000 毫米； 1 千米1000 米； 二、面積 （一）什么是面積 面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。 （二）常用的面積單位 平方毫米、 平方厘米、 平方分米、 平方米、 平方千米 （三）面積單位的換算：1 平方厘米100 平方毫米； 1 平方分米=100 平方厘米 ； 1 平方米 100 平方分米； 1 公傾 10000 平方米； 1 平方公里 100 公頃； 三、體積和容積 （一）什么是體積、容積 體積就是物體所占空間的大小。 容積是指箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。 （二）常用單位 1、體積單位： 立方米、 立方分米、 立方厘米 2、容積單位： 升、 毫升 （三）單位換算 1、體積單位： 1 立方米=1000 立方分米； 1 立方分米=1000 立方厘米； 2、容積單位： 1 升=1000 毫升； 1 升=1 立方米； 1 毫升=1 立方厘米 四、質量 （一）什么是質量：質量是指表示表示物體有多重。 （二）常用單位： 噸（t） 、 千克（kg） 、 克（g） （三）常用換算： 一噸=1000 千克； 1 千克=1000 克 五、時間 （一）什么是時間：是指有起點和終點的一段時間。 （二）常用單位： 世紀、 年 、 月 、 日 、 時 、 分、 秒。 （三）單位換算： 1 世紀=100 年； 1 年=365 天（ 平年 ） ； 1 年=366 天（ 閏年 ） ； 一、三、五、七、八、十、十二是大月；大月有 31 天。 四、六、九、十一是小月小月；小月有 30 天。 平年 2 月有 28 天； 閏年 2 月有 29 天。 1 天= 24 小時；1