2020屆高考數學大二輪復習 沖刺經典專題 第二編 講專題 專題六 概率與統(tǒng)計 第2講 概率練習 文

第2講概率考情研析1.互斥事件、對立事件的概率公式是每年高考的熱點，既有單獨命題，也有與其他概率知識綜合命題題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度中等2.對古典概型的直接考查是每年高考的重點，題型為選擇題、填空題，有時也與統(tǒng)計結合出現(xiàn)在解答題中，難度適中，屬中檔題3.與長度、面積有關的幾何概型是每年高考的重點，題型為選擇題或填空題，難度較小，屬于基礎題.核心知識回顧1.互斥事件與對立事件(1)事件A，B互斥，那么事件AB發(fā)生(即A，B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)(2)在一次試驗中，對立事件A和不會同時發(fā)生，但一定有一個發(fā)生，因此有P()1P(A)2古典概型(1)古典概型的概率公式P(A).(2)古典概型的兩個特點試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等3幾何概型(1)幾何概型的概率公式P(A).(2)幾何概型應滿足的兩個條件試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等熱點考向探究考向1 互斥事件與對立事件例1(2019·咸陽市高三模擬檢測(一)(1)某校高三(1)班50名學生參加1500 m體能測試，其中23人成績?yōu)锳，其余人成績都是B或C從這50名學生中任意抽取1人，若抽得成績是B的概率是0.4，則抽得成績是C的概率是()A0.14 B0.20 C0.40 D0.60答案A解析由于成績是A的有23人，抽得成績是B的概率是0.4，故抽到成績是C的概率為10.40.14.(2)(2019·漢中市高三年級教學質量第二次檢測)一次數學考試中，4位同學各自在選做題第22題和第23題中任選一題作答，則至少有1人選做第23題的概率為()A B C D答案D解析記這4位同學選做第23題的事件分別為A，B，C，D，不選做第23題(即選做第22題)的事件分別為，.則這4位同學在第22題和第23題中任選一題作答，所以情況為：(A，B，C，D)，(，B，C，D)，(A，C，D)，(A，B，D)，(A，B，C，)，(，C，D)，(，B，D)，(，B，C，)，(A，D)，(A，C，)，(A，B，)，(，D)，(，C，)，(，B，)，(A，)，(，)，共16種，其中，都不選做第23題的為(，)，共1種，故都不選做第23題的概率為，由對立事件的概率公式知，至少有1人選做第23題的概率為1.故選D 互斥事件、對立事件概率的求法(1)解決此類問題，首先應根據互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件或對立事件，再選擇概率公式進行計算(2)求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的概率加法公式計算；間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)1P()求解，即運用正難則反的數學思想特別是“至多”“至少”型問題，用間接法就顯得較簡便 1如果事件A與B是互斥事件，且事件AB發(fā)生的概率是0.64，事件B發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的概率的3倍，則事件A發(fā)生的概率為_答案0.16解析P(A)P(B)0.64，P(B)3P(A)，P(A)0.16.2投擲一枚骰子，若事件A表示“小于5的偶數點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數出現(xiàn)”，則事件A發(fā)生的概率為_答案解析由于事件總數為6，故P(A)，P(B)，從而P()1P(B)，又A與互斥，故P(A)P(A)P().考向2 古典概型例2某校有包括甲、乙兩人在內的5名大學生自愿參加該校舉行的A，B兩場國際學術交流會的服務工作，這5名大學生中有2名被分配到A場交流會，另外3名被分配到B場交流會，如果分配方式是隨機的，則甲、乙兩人被分配到同一場交流會的概率為_答案解析記其余3名大學生分別為丙、丁、戊，則5名大學生分別被分配到A場交流會、B場交流會的所有基本事件有：A(甲、乙)，余下的人分配到B場交流會，下同，A(甲、丙)，A(甲、丁)，A(甲、戊)，A(乙、丙)，A(乙、丁)，A(乙、戊)，A(丙、丁)，A(丙、戊)，A(丁、戊)，共10個，其中甲、乙兩人被分配到同一場交流會的基本事件是：，故所求概率為. 定義法求解古典概型的關鍵定義法求解古典概型的關鍵是準確求解基本事件空間與所求事件包含的基本事件的個數，而求解事件個數的主要方法是列舉法，列舉時需注意兩個方面：一是確定抽取是否有“序”；二是確定列舉法寫出所有基本事件的一個順序. 1(2019·安徽江淮十校高三第三次聯(lián)考)甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，其中a，b1,2,3,4,5，若|ab|1，就稱甲、乙“心有靈屏”現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A B C D答案C解析甲、乙兩人猜數字時互不影響，故各有5種可能，故基本事件有25種，“心有靈犀”的情況包括(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13種，故他們“心有靈犀”的概率為.2(2019·瀘州市瀘縣第一中學高三三診模擬)學校根據課程計劃擬定同時實施“科普之旅”和“紅色之旅”兩個主題的研學旅行，現(xiàn)在小芳和小敏都已經報名參加此次的研學旅行，則兩人選擇的恰好是同一研學旅行主題的概率為()A B C D答案B解析記“科普之旅”和“紅色之旅”兩個研學旅行主題分別為A，B，則小芳和小敏的報名方法有(A，B)，(B，A)，(A，A)，(B，B)，共4種，其中兩人選擇的恰好是同一研學旅行主題的有(A，A)，(B，B)，共2種，因此所求概率為，選B考向3 幾何概型例3(1)(2019·湖北省八市(黃石市、仙桃市黃岡市高三聯(lián)合考試)把不超過實數x的最大整數記為x，則函數f(x)x稱作取整函數，又叫高斯函數，在2,5上任取x，則x的概率為()A B C D答案B解析當2x3時，x2；當3x4時，x3，2；當4x4.5時，x4，2；當4.5x5時，x4，3.符合條件的x2,3)，由長度比可得，x的概率為.故選B(2)(2019·太原市高三一模)在平面區(qū)域內任取一點P(x，y)，則存在R，使得點P的坐標(x，y)滿足(x2)cosysin0的概率為()A1 B C D1答案A解析畫出平面區(qū)域圖中OBA邊界及內部是所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示：(x2)cosysin0 sin() ，它表示在已知平面區(qū)域內，圓心(2,0)，半徑為的圓外(包括圓周)，如圖所示解方程組B，SOAB×OA×|yB|，在已知平面區(qū)域內，圓心坐標為(2,0)，半徑為的圓內(包括圓周)的面積為S1，S1，所求的概率P1，故選A 幾何概型三種常見類型及判斷方法(1)與長度有關的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關；(2)與面積有關的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；(3)與體積有關的幾何概型關鍵是看事件的構成是否與體積有關 1在區(qū)間上隨機取一個數x，則sinxcosx1，的概率是()A B C D答案B解析由sinxcosxsin1，得sin1，因為x，所以在區(qū)間內，滿足sin的x，故要求的概率為.故選B2(2019·云南昆明模擬)設實數x，y滿足x2(y1)21，則xy20的概率為()A BC D答案C解析如圖，直線xy20與圓x2(y1)21交于A(0,2)，B(1，1)兩點，則xy20的概率P，故選C3在棱長為2的正方體內任取一點，則該點到正方體中心的距離不大于1的概率為_答案解析正方體體積V1238，滿足要求的點構成的圖形為球體積V2×13，所以概率P.真題押題真題模擬1(2019·全國卷)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A B C D答案B解析設5只兔子中測量過某項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能其中恰有2只測量過該指標的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能故恰有2只測量過該指標的概率為.故選B2. (2019·青島市高三教學質量檢測)部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數學家謝爾賓斯基1915年提出具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程得到如圖所示的圖案，若向該圖案隨機投一點，則該點落在黑色部分的概率是()A B C D答案B解析由題圖可知，黑色部分由9個小三角形組成，該圖案可看作由16個小三角形組成，設“向該圖案隨機投一點，則該點落在黑色部分”為事件A，由幾何概型中的面積型可得P(A)，故選B3(2019·赤峰市高三模擬)我們可以用隨機數法估計的值，如圖所示的程序框圖表示其基本步驟(函數RAND是產生隨機數的函數，它能隨機產生(0,1)內的任何一個實數)，若輸出的結果為784，則由此可估計的近似值為()A3.119 B3.124 C3.136 D3.151答案C解析根據已知程序框圖可以得到，該程序的功能是利用隨機模擬的方法任取(0,1)內的兩個數x，y，將這兩個數看作平面區(qū)域內的一個點(x，y)，該點落在x2y2<1的概率為；計數變量m表示計算該點落入平面區(qū)域x2y2<1的次數，因為輸出的結果為784，所以在1000次中共有784次該點落入在平面區(qū)域x2y2<1內，根據古典概型概率計算公式可得P，所以有，故3.136，故選C4(2019·江蘇高考)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是_答案解析解法一：設3名男同學分別為A，B，C,2名女同學分別為a，b，則所有等可能事件分別為AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10個，選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本事件分別為Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7個，故所求概率為.解法二：同解法一，得所有等可能事件共10個，選出的2名同學中沒有女同學包含的基本事件分別為AB，AC，BC，共3個，故所求概率為1.金版押題5我國古代數學家趙爽所著周髀算經注中給出了勾股定理的絕妙證明，如圖是趙爽的弦圖及注文弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅(朱)色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用2×勾×股(股勾)24×朱實黃實弦實，化簡，得勾2股2弦2.設勾股中勾股比為1，若向弦圖內隨機拋擲1000顆圖釘(大小忽略不計)，則落在黃色圖形內的圖釘數大約為()A866 B500 C300 D134答案D解析設勾為a，則股為a，弦為2a，所以題圖中大四邊形的面積為4a2，小四邊形的面積為(1)2a2(42)a2.由測度比為面積比，可得圖釘落在黃色圖形內的概率為1.故落在黃色圖形內的圖釘數大約為1000×134.故選D6有一長、寬分別為50 m、30 m的游泳池，一名工作人員在池邊巡視，某時刻出現(xiàn)在池邊任一位置的可能性相同一人在池中心(對角線交點)處呼喚工作人員，其聲音可傳出15 m，則工作人員能及時聽到呼喚聲(出現(xiàn)在聲音可傳到區(qū)域)的概率是()A B C D答案B解析當該人在池中心位置時，呼喚工作人員的聲音可以傳出15 m，那么當在如圖所示的三角形范圍的池邊時，工作人員才能及時聽到呼喚聲所有可能結果用周長160表示，事件發(fā)生的結果可用兩條線段的長度和60表示，故P.故選B配套作業(yè)一、選擇題1若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)2a，P(B)4a5，則實數a的取值范圍是()A BC D答案D解析由題意知所以解得可得a.故選D2(2019·重慶市高三學業(yè)質量調研抽測二診)將甲、乙、丙三名學生隨機分到兩個不同的班級，每個班至少分到一名學生，則甲、乙兩名學生分到同一班級的概率是()A B C D答案B解析將甲、乙、丙三名學生隨機分到兩個不同的班級，每個班至少分到一名學生，則必有一人分到一個班，另兩人分到一個班，所有情況有(甲，乙丙)，(乙，甲丙)，(丙，甲乙)，(乙丙，甲)，(甲丙，乙)，(甲乙，丙)，共6種，且甲、乙兩名學生分到同一班級的情況有(甲乙，丙)，(丙，甲乙)，共2種所以甲、乙兩名學生分到同一班級的概率P.故選B3(2019·河北衡水中學期中)為了加強某站的安全檢查工作，從甲、乙、丙等5名候選民警中選2名作為安保人員，則甲、乙、丙中有2人被選中的概率為()A B C D答案A解析從甲、乙、丙等5名候選民警中選2名作為安保人員共有10種情況，甲、乙、丙中有2個被選中有3種情況，故選A4(2019·焦作市高三四模)記m表示不超過m的最大整數若在x上隨機取1個實數，則使得log2x為偶數的概率為()A B C D答案A解析若x，則log2x(3，1)要使得log2x為偶數，則log2x2，1)所以x，故所求概率P.故選A5將一個棱長為4 cm的正方體表面涂上紅色后，再均勻分割成棱長為1 cm的小正方體從涂有紅色面的小正方體中隨機取出一個小正方體，則這個小正方體表面的紅色面積不少于2 cm2的概率是()A B C D答案A解析由題意可知共分成了64個小正方體，其中，涂有紅色面的小正方體的個數為432356,3個面涂色的小正方體有8個，2個面涂色的小正方體有24個，1個面涂色的小正方體有24個，易知所求概率為.6(2019·沈陽市高三教學質量監(jiān)測(一)某英語初學者在拼寫單詞“steak”時，對后三個字母的記憶有些模糊，他只記得由“a”“e”“k”三個字母組成并且“k”只可能在最后兩個位置，如果他根據已有信息填入上述三個字母，那么他拼寫正確的概率為()A B C D答案B解析滿足題意的字母組合有四種，分別是eka，ake，eak，aek，拼寫正確的組合只有一種eak，所以他拼寫正確的概率為P.故選B7(2019·湖南益陽市高三模擬)如圖，在區(qū)域：x2y24內取一點，則該點恰好取自陰影部分(陰影部為“x2y24”與“(x1)2(y1)22”的公共部分)的概率是()A B1 C1 D答案A解析陰影部分的面積為圓(x1)2(y1)22的半圓面積和圓x2y24的弓形面積之和，即××()2××22222，故所求概率為.故選A8(2019·成都第二次診斷)兩位同學約定下午5：306：00在圖書館見面，且他們在5：306：00之間到達的時刻是等可能的，先到同學須等待，15分鐘后還未見面便離開則兩位同學能夠見面的概率是()A B C D答案D解析從下午5：30開始計時，設兩位同學到達的時刻分別為x分鐘，y分鐘，則x，y應滿足如圖中正方形OABC所示，若兩位同學能夠見面，則x，y應滿足|xy|15，如圖中陰影部分(含邊界)所示，所以所求概率P，故選D9一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB的中點，一只蝴蝶在幾何體ADFBCE內自由飛翔，則它飛入幾何體FAMCD內的概率為()A B C D答案D解析由題圖可知V幾何體FAMCD×S四邊形AMCD×DFa3，V幾何體ADFBCEa3，所以它飛入幾何體FAMCD內的概率為.10(2019·湖北4月調考)已知圓C：x2y24，直線l：yx，則圓C上任取一點A到直線l的距離小于1的概率為()A B C D答案D解析如圖所示，設與yx平行的兩直線AD，BF交圓C于點A，D，B，F(xiàn)，且它們到直線yx的距離相等，過點A作AE垂直于直線yx，垂足為E，當點A到直線yx的距離為1時，即AE1，又CA2，則ACE，所以ACBFCD，所以所求概率P，故選D二、填空題11(2019·四川綿陽高三第二次質量檢測)一個盒中有形狀、大小、質地完全相同的5張撲克牌，其中3張紅桃，1張黑桃，1張梅花現(xiàn)從盒中一次性隨機抽出2張撲克牌，則這2張撲克牌花色不同的概率為_答案解析所有會出現(xiàn)的情況有：(紅1，黑1)，(紅1，梅1)，(紅2，黑1)，(紅2，梅1)，(紅3，黑1)，(紅3，梅1)，(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅2，紅3)，(黑1，梅1)，共10種其中符合花色不同的情況有：(紅1，黑1)，(紅1，梅1)，(紅2，黑1)，(紅2，梅1)，(紅3，黑1)，(紅3，梅1)，(黑1，梅1)，共7種，根據古典概型的概率公式得P.12有一套無線電監(jiān)控設備，監(jiān)控著圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域，其半徑為2a，在半徑OA，OB的中點C，D處有兩個檢測點，且有數據接收裝置，其接收有效半徑都為a.只有C，D兩個檢測點都有數據接收，該處的監(jiān)控才有效，現(xiàn)在在扇形OAB區(qū)域任意選取一個監(jiān)控點，則該監(jiān)控點有效的概率是_答案解析根據題意，分別以C，D為圓心，a為半徑作半圓，則兩半圓交于O，E兩點，連接CE，DE，如圖所示，易知四邊形OCED為正方形，有效監(jiān)控區(qū)域為圖中陰影部分所示，則S扇形OAB·(2a)2a2，由圖可知有效監(jiān)控區(qū)域的面積S1S扇形DOES扇形COES正方形OCEDa2a2，由幾何概型的概率公式可得，所求概率P.13(2019·上饒市重點中學六校高三第二次聯(lián)考)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知c2，C，且ABC的面積為，則ab_.現(xiàn)有一只螞蟻在ABC內自由爬行，則某一時刻該螞蟻與ABC的三個頂點的距離都不小于1的概率為_答案41解析因為三角形的面積為，所以absinC，即ab4；又因為c2，C，所以c2a2b22abcosC(ab)23ab，所以ab4.由得ab2，故ABC為等邊三角形螞蟻到三個頂點的距離小于等于1時，活動區(qū)域是以三個頂點為圓心半徑為1的扇形區(qū)域，其面積為，三角形面積為，故所求概率為11.概率與統(tǒng)計類解答題(12分)近期中央電視臺播出中國詩詞大會火遍全國，下面是組委會在選拔賽時隨機抽取的100名選手的成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下所示：組號分組頻數頻率第1組160,165) 0.100 第2組 165,170) 第3組 170,175) 20 第4組 175,180) 20 0.200 第5組 180,185) 10 0.100 合計 100 1.00 (1)請先求出頻率分布表中、位置的相應數據，再完成頻率分布直方圖(用陰影表示)(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的選手，組委會決定在筆試成績高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取5名選手進入第二輪面試，則第3,4,5組每組各抽取多少名選手進入第二輪面試？(3)在(2)的前提下，組委會決定在5名選手中隨機抽取2名選手接受考官A面試，求第4組至少有一名選手被考官A面試的概率解題思路(1)根據頻率與頻數的關系及頻率的性質，完成填表和畫圖(2)由分層抽樣特點求解(3)根據古典概型要求，寫出所有基本事件，并求出第4組至少一名選手被面試的概率解(1)第1組的頻數為100×0.10010，所以處應填的數為100(10202010)40，從而第2組的頻率為0.400.處應填的數為1(0.10.40.20.1)0.200.頻率分布直方圖如圖所示(2分)(4分)(2)因為第3,4,5組共有50名選手，所以利用分層抽樣在50名選手中抽取5名選手進入第二輪面試時，每組抽取的人數分別為：第3組：×52，第4組：×52，第5組：×51，所以第3,4,5組分別抽取2人，2人，1人進入第二輪面試(8分)(3)設第3組的2位選手為A1，A2，第4組的2位選手為B1，B2，第5組的1位選手為C1，則從這五位選手中抽取兩位選手有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共10種情況(10分)其中第4組的2位選手B1，B2中至少有一位入選的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有7種情況，所以第4組至少有一名選手被考官A面試的概率為.(12分)1根據頻數和頻率的性質關系，填對、位置的相應數據給2分2依據頻率分布表，準確畫出頻率分布直方圖給2分3根據分層抽樣的原理，準確計算出每組抽取的人數并總結給4分4依次序準確寫出從5名選手中抽取2名選手的10種結果給2分5寫出第4組的2名選手中至少有一位入選的7種情況，并準確計算概率的給2分1準確填寫頻率分布表應牢記頻率，并且各組頻率之和為1.2畫頻率分布直方圖時，要注意縱軸為.3分層抽樣是按比例取樣45選2時注意依序不重不漏，也可以列樹狀圖，以便準確寫出所有結果跟蹤訓練(12分)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法 (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關；箱產量<50 kg箱產量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據箱產量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較K2.解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)×50.62，故P(A)的估計值為0.62.(4分)(2)根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：箱產量<50 kg箱產量50 kg合計舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100總計96104200K215.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關(8分)(3)箱產量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的產量平均值(或中位數)在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度高因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法(12分)- 19 -