2020屆高考數(shù)學大二輪復習 沖刺經(jīng)典專題 第二編 講專題 專題七 選修4系列 第1講 坐標系與參數(shù)方程練習 文

第1講坐標系與參數(shù)方程考情研析高考中，該部分內(nèi)容常以直線、圓錐曲線(主要是圓、橢圓)幾何元素為載體，主要考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標方程與直角坐標方程互化；同時進一步考查利用相應(yīng)方程形式或幾何意義解決元素位置關(guān)系、距離、面積等綜合問題該部分試題難度一般不大.核心知識回顧1.極坐標與直角坐標的互化公式設(shè)點P的直角坐標為(x，y)，極坐標為(，)，則(，)(x，y)(x，y)(，)2常見圓的極坐標方程(1)圓心在極點，半徑為r的圓：r(0<2)(2)圓心為M(a,0)，半徑為a的圓：2acos.(3)圓心為M，半徑為a的圓：2asin(0)3常見直線的極坐標方程(1)直線過極點，直線的傾斜角為：(R)(2)直線過點M(a,0)，且垂直于極軸：cosa.(3)直線過點M，且平行于極軸：sina(0<<)4直線、圓與橢圓的參數(shù)方程熱點考向探究考向1 極坐標方程及應(yīng)用例1(2019·全國卷)在極坐標系中，O為極點，點M(0，0)(0>0)在曲線C：4sin上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當0時，求0及l(fā)的極坐標方程；(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程解(1)因為M(0，0)在曲線C上，當0時，04sin2.由已知得|OP|OA|cos2.設(shè)Q(，)為l上除P外的任意一點在RtOPQ中，cos|OP|2.經(jīng)檢驗，點P在曲線cos2上，所以，l的極坐標方程為cos2.(2)設(shè)P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因為P在線段OM上，且APOM，所以的取值范圍是.所以，P點軌跡的極坐標方程為4cos，.直角坐標與極坐標方程的互化及應(yīng)用(1)直角坐標方程化極坐標方程時，通?？梢灾苯訉cos，ysin代入即可(2)極坐標方程化直角坐標方程時，一般需要構(gòu)造2，sin，cos，常用的技巧有式子兩邊同乘以，兩角和與差的正弦、余弦展開等(2019·武漢市高三調(diào)研)在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C1：sin，C2：2.(1)求曲線C1，C2的直角坐標方程；(2)曲線C1和C2的交點為M，N，求以MN為直徑的圓與y軸的交點坐標解(1)由sin得，將代入上式得xy1.即C1的直角坐標方程為xy1，同理，由2可得3x2y21，C2的直角坐標方程為3x2y21.(2)PMPN，先求以MN為直徑的圓，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得3x2(1x)21，即x2x10.則MN的中點坐標為.|MN| |x1x2|×，以MN為直徑的圓的方程為222，令x0，得2，即2，y0或y3，所求P點坐標為(0,0)或(0,3)考向2 參數(shù)方程及應(yīng)用例2(2019·四川省華文大教育聯(lián)盟高三第二次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求曲線C和直線l的普通方程；(2)直線l與曲線C交于A，B兩點，若|AB|1，求直線l的方程解(1)對曲線C：消去參數(shù)，得x2y21.對直線l：消去參數(shù)t，當cos0時，l：x2；當cos0時，l：ytan(x2)(2)把代入x2y21中，得t24tcos30.因為16cos212>0，所以cos2>.因為t1t24cos，t1t23，|AB|t1t2|1，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t216cos2121，所以cos2，所以tan2.所以tan±，即直線l的斜率為±.所以直線l的方程為yx或yx.參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法(1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運用三角恒等式法(3)常見消參數(shù)的關(guān)系式：t·1；224；221.(2019·太原市高三模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2cos.(1)若曲線C1方程中的參數(shù)是，且C1與C2有且只有一個公共點，求C1的普通方程；(2)已知點A(0,1)，若曲線C1方程中的參數(shù)是t,0<<，且C1與C2相交于P，Q兩個不同點，求的最大值解(1)2cos，曲線C2的直角坐標方程為(x1)2y21，是曲線C1：的參數(shù)，C1的普通方程為x2(y1)2t2，C1與C2有且只有一個公共點，|t|1或|t|1，C1的普通方程為x2(y1)2(1)2或x2(y1)2(1)2.(2)t是曲線C1：的參數(shù)，C1是過點A(0,1)的一條直線，設(shè)與點P，Q相對應(yīng)的參數(shù)分別是t1，t2，把代入(x1)2y21得t22(sincos)t10，|t1|t2|t1t2|22，當時，4(sincos)244>0，所以取得最大值2.考向3 極坐標與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用角度1極坐標方程中極徑幾何意義的應(yīng)用例3在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的方程為x24y4.(1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|8，求l的斜率解(1)由xcos，ysin可得拋物線C的極坐標方程2cos24sin40.(2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為(R)，設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為1，2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得2cos24sin40，因為cos20(否則，直線l與拋物線C沒有兩個公共點)，于是12，12，|AB|12|，由|AB|8得cos2，tan±1，所以l的斜率為1或1.(1)幾何意義：極徑表示極坐標平面內(nèi)點M到極點O的距離(2)應(yīng)用：一般應(yīng)用于過極點的直線與曲線相交，所得的弦長問題，需要用極徑表示出弦長，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題(2019·哈爾濱市第三中學高三第一次模擬)已知曲線C1：xy和C2：(為參數(shù))以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離解(1)因為C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，所以其普通方程為1，又C1：xy，所以可得C1和C2的極坐標方程分別為C1：sin，C2：2.(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的極坐標方程為，把代入sin，得11，所以點P的坐標為，把代入2，得22，所以點Q的坐標為.|PQ|21|1，即P，Q兩點間的距離為1.角度2直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用例4(2019·山東高三模擬)在直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，為直線l的傾斜角)，點P和F的坐標分別為(1,3)和(1,0)；以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，且·22，求的值解(1)由，得2sin24cos，即y24x，所以曲線C的直角坐標方程為y24x.(2)將代入y24x得，t2sin2(6sin4cos)t130(sin20)，由題意，得(6sin4cos)24×13sin2>0，(*)設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，由點P在直線l上，得·|·|t1t2|，222|22()26，所以26，即sin±，結(jié)合0，所以或，將代入(*)，可知不適合，適合綜上，.對直線參數(shù)方程(t為參數(shù))，其中M0(x0，y0)為定點，為直線傾斜角的理解(1)幾何意義：參數(shù)t的絕對值等于直線上動點M到定點M0的距離，若t>0，則的方向向上；若t<0，則的方向向下；若t0，則點M與M0重合(2)應(yīng)用：一般應(yīng)用于過定點的直線與圓錐曲線交于A，B兩點，與弦長|AB|及其相關(guān)的問題，解決的方法是首先用t表示出弦長，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程、函數(shù)式等解決問題(2019·廣州市普通高中高三綜合測試)在直角坐標系xOy中，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為22cos8.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，且|AB|4，求直線l的傾斜角解(1)因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，當時，直線l的直角坐標方程為x2.當時，直線l的直角坐標方程為ytan(x2)因為2x2y2，cosx，又因為22cos8，所以x2y22x8.所以C的直角坐標方程為x2y22x80.(2)因為曲線C的直角坐標方程為x2y22x80，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程整理，得t2(2sin2cos)t50.因為(2sin2cos)220>0，所以可設(shè)該方程的兩個根為t1，t2，則t1t2(2sin2cos)，t1t25.所以|AB|t1t2| 4.整理得(sincos)23，故2sin±.因為0<，所以或，解得或，綜上所述，直線l的傾斜角為或. 真題押題真題模擬1(2019·大慶市高三第三次教學質(zhì)量檢測)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為4cos，射線l2的極坐標方程為(0)(1)求直線l1的傾斜角及極坐標方程；(2)若射線l2與l1交于點M，與圓C交于點N(異于原點)，求|OM|·|ON|.解(1)消去方程中的參數(shù)t，整理得xy40，直線l1的普通方程為xy40.設(shè)直線l1的傾斜角為，則tan，0<，.把xcos，ysin代入xy40，可得直線l1的極坐標方程為cossin4.(2)把代入l1的極坐標方程中得|OM|1，把代入圓的極坐標方程中得|ON|22，|OM|·|ON|128.2(2019·江蘇高考)在極坐標系中，已知兩點A，B，直線l的方程為sin3.(1)求A，B兩點間的距離；(2)求點B到直線l的距離解(1)設(shè)極點為O.在OAB中，A，B，由余弦定理，得AB .(2)因為直線l的方程為sin3，所以直線l過點，傾斜角為.又B，所以點B到直線l的距離為(3)×sin2.3(2019·郴州市高三第三次質(zhì)量檢測)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<)，點M(0，2)以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4cos.(1)求曲線C2的直角坐標方程，并指出其形狀；(2)曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，若，求sin的值解(1)由4cos，得4cos4sin，所以24cos4sin，即x2y24x4y，(x2)2(y2)28.所以曲線C2是以(2，2)為圓心，2為半徑的圓(2)將代入(x2)2(y2)28，整理得t24tcos40，設(shè)點A，B所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t24cos，t1t24.解得cos2，則sin.4(2019·全國卷)如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圓的圓心分別是(1,0)，(1，)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧.(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；(2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點P在M上，且|OP|，求P的極坐標解(1)由題設(shè)可得，弧，所在圓的極坐標方程分別為2cos，2sin，2cos，所以M1的極坐標方程為2cos，M2的極坐標方程為2sin，M3的極坐標方程為2cos.(2)設(shè)P(，)，由題設(shè)及(1)知若0，則2cos，解得；若，則2sin，解得或；若，則2cos，解得.綜上，P的極坐標為或或或.金版押題5在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為2(13sin2)4，曲線C2：(為參數(shù))(1)求曲線C1的直角坐標方程和C2的普通方程；(2)極坐標系中兩點A(1，0)，B都在曲線C1上，求的值解(1)由題意可得，曲線C1的直角坐標方程為y21，C2的普通方程為(x2)2y24.(2)由點A，B在曲線C1上，得，則，因此.配套作業(yè)1(2019·廣西八市高三聯(lián)合考試)已知曲線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為4cos.(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)設(shè)P(2,1)，直線l與曲線C交于點A，B，求|PA|·|PB|的值解(1)由4cos，得4cos4sin，24cos4sin，又xcos，ysin，x2y24x4y，即曲線C的直角坐標方程為(x2)2(y2)28.(2)將代入C的直角坐標方程，得t228，t2t70，設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t1t27.則|PA|·|PB|t1t2|7.2以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程是2sin5，射線OM：，在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求圓C的普通方程及極坐標方程；(2)射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長解(1)由圓C的參數(shù)方程(為參數(shù))知，圓C的圓心為(0,2)，半徑為2，所以圓C的普通方程為x2(y2)24，將xcos，ysin代入x2(y2)24，得圓C的極坐標方程為4sin.(2)設(shè)P(1，1)，則由解得12，1.設(shè)Q(2，2)，則由解得25，2，所以線段PQ的長|PQ|12|3.3在平面直角坐標系xOy中，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是cos24sin0.(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)已知點P(1,0)若點M的極坐標為，直線l經(jīng)過點M且與曲線C相交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為Q，求|PQ|的值解(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l的普通方程為ytan·(x1)由cos24sin0得2cos24sin0，即x24y0.曲線C的直角坐標方程為x24y.(2)點M的極坐標為，點M的直角坐標為(0,1)tan1，直線l的傾斜角.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))代入x24y，得t26t20.設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.Q為線段AB的中點，點Q對應(yīng)的參數(shù)值為3.又點P(1,0)，則|PQ|3.4(2019·蘭州市高三二診)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4sin.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)已知曲線C3的極坐標方程為，0<<，R，點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與C2的交點，且A，B均異于原點O，且|AB|4，求實數(shù)的值解(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)得曲線C1的普通方程為(x2)2y24，因為曲線C2的極坐標方程為4sin，所以24sin.所以C2的直角坐標方程為x2y24y，整理得x2(y2)24.(2)C1：(x2)2y24化為極坐標方程4cos，所以|AB|AB|4|sincos|44，所以sin±1，所以k(kZ)即k(kZ)又因為0<<，所以.5在直角坐標系xOy中，已知圓C：(為參數(shù))，點P在直線l：xy40上，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系(1)求圓C和直線l的極坐標方程；(2)射線OP交圓C于點R，點Q在射線OP上，且滿足|OP|2|OR|·|OQ|，求Q點軌跡的極坐標方程解(1)圓C的極坐標方程2，直線l的極坐標方程為.(2)設(shè)P，Q，R的極坐標分別為(1，)，(，)，(2，)，因為1，22，又因為|OP|2|OR|·|OQ|，即·2，所以×，所以Q點軌跡的極坐標方程為.6(2019·青島市高三一模)直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))以O(shè)為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為(R)，曲線C2：4sin.(1)求曲線C1的普通方程和極坐標方程；(2)已知直線l與曲線C1和曲線C2分別交于M和N兩點(均異于點O)，求線段MN的長解(1)因為曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，所以C1的普通方程為(x2)2(y1)25，在極坐標系中，將代入得24cos2sin0，化簡得，C1的極坐標方程為4cos2sin.(2)因為直線l的極坐標方程為(R)，且直線l與曲線C1和曲線C2分別交于M，N，可設(shè)M，N，將M代入得14cos2sin4×2×，將N代入曲線C2：4sin得24sin4×2.所以|MN|1|2|23.7在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(t>0，為參數(shù))以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為sin3.(1)當t1時，求曲線C上的點到直線l的距離的最大值；(2)若曲線C上的所有點都在直線l的下方，求實數(shù)t的取值范圍解(1)由sin3得sincos3，把xcos，ysin代入得直線l的直角坐標方程為xy30，當t1時，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2y21，曲線C為圓，且圓心為O，則點O到直線l的距離d，曲線C上的點到直線l的距離的最大值為1.(2)曲線C上的所有點均在直線l的下方，對任意的R，tcossin3<0恒成立，即cos()<3恒成立，<3，又t>0，0<t<2.實數(shù)t的取值范圍為(0,2)8(2019·安徽高三4月聯(lián)考)已知在極坐標系中，曲線C1的極坐標方程為cosm0.以極點為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系，曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求曲線C1的直角坐標方程以及曲線C2的極坐標方程；(2)若曲線C1，C2交于M，N兩點，且A(0，m)，|AM|·|AN|2，求m的值解(1)cosm0，(cossin)m0，則曲線C1的直角坐標方程為xym0，(x1)2y22，x2y22x10，則曲線C2的極坐標方程為22cos10.(2)由(1)得曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入x2y22x10中，整理得t2(m)tm210，2m24m6>0，解得3<m<1，設(shè)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2m21，由t的幾何意義得，|AM|AN|t1|t2|t1t2|m21|2，解得m±，又3<m<1，m.- 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