2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)39 立體幾何中的向量方法（含解析）理

課后限時集訓(xùn)(三十九) (建議用時：60分鐘)A組基礎(chǔ)達標(biāo)一、選擇題1長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為( )A. B.C. D.B建立空間直角坐標(biāo)系如圖則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.2.如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面為等邊三角形，側(cè)棱垂直于底面，AB4，AA16，若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點，且BEB1E，C1FCC1，則異面直線A1E與AF所成角的余弦值為( )A. B.C. D.D以C為原點，CA為x軸，在平面ABC中作AC的垂線為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由題意知A1(4,0,6)，E(2,2，3)，F(xiàn)(0,0,4)，A(4,0,0)，(2,2，3)，(4,0,4)設(shè)異面直線A1E與AF所成的角為，則cos .異面直線A1E與AF所成角的余弦值為.故選D.3在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB1，AC2，BC，D，E分別是AC1和BB1的中點，則直線DE與平面BB1C1C所成的角為( )A30° B45°C60° D90°A由已知AB2BC2AC2，得ABBC.以B為原點，分別以BC，BA，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)AA12a，則A(0,1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0，a)，所以，平面BB1C1C的一個法向量為n(0,1,0)，cos，n，n60°，所以直線DE與平面BB1C1C所成的角為30°.故選A.4.如圖，在四棱錐P­ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，且BC平面PAB，PAAB，M為PB的中點，PAAD2.若AB1，則二面角B­AC­M的余弦值為( )A. B.C. D.A因為BC平面PAB，PA平面PAB，所以PABC，又PAAB，且BCABB，所以PA平面ABCD.以點A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.則A(0,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，M，所以(1,2,0)，求得平面AMC的一個法向量為n(2,1,1)，又平面ABC的一個法向量(0,0,2)，所以cosn，.所以二面角B­AC­M的余弦值為.5在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ACB90°，2ACAA1BC2.若二面角B1­DC­C1的大小為60°，則AD的長為( )A. B.C2 D.A如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)設(shè)ADa，則D點坐標(biāo)為(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)設(shè)平面B1CD的法向量為m(x，y，z)由得令z1，則m(a,1，1)又平面C1DC的一個法向量為n(0,1,0)，則由cos 60°，得，解得a，所以AD.故選A.二、填空題6.如圖所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_60°以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，·2，cos，EF和BC1所成的角為60°.7在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)設(shè)平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，則所以有令y2，得平面BDC1的一個法向量n(2，2,1)設(shè)CD與平面BDC1所成的角為，則sin |cosn，|.8(2019·汕頭模擬)在底面是直角梯形的四棱錐S­ABCD中，ABC90°，ADBC，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，則平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值是_如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，可知是平面SAB的一個法向量設(shè)平面SCD的一個法向量n(x，y，z)，因為，所以n·0，n·0，即z0，y0.令x2，則有y1，z1，所以n(2，1,1)設(shè)平面SCD與平面SAB所成的銳二面角為，則cos 三、解答題9.(2019·陜西模擬)如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1AAB，ABC90°，側(cè)面A1ABB1底面ABC.(1)求證：AB1平面A1BC；(2)若AC5，BC3，A1AB60°，求二面角B­A1C­C1的余弦值解(1)證明：在側(cè)面A1ABB1中，A1AAB，四邊形A1ABB1為菱形，AB1A1B.側(cè)面A1ABB1底面ABC，ABC90°，平面A1ABB1平面ABCAB，CB側(cè)面A1ABB1.AB1平面A1ABB1，CBAB1.又A1BBCB，AB1平面A1BC.(2)在RtABC中，AC5，BC3，AB4，在菱形A1ABB1中，A1AB60°，A1AB為正三角形如圖，以菱形A1ABB1的對角線交點O為坐標(biāo)原點，OA1所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，過點O且與BC平行的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A1(2,0,0)，B(2,0,0)，C(2,0,3)，B1(0，2，0)，C1(0，2，3)，(2,2，0)，(2,2，3)設(shè)n(x，y，z)為平面A1CC1的法向量，則令x3，得n(3，4)為平面A1CC1的一個法向量又(0，2，0)為平面A1BC的一個法向量，cosn，.由直觀圖知，二面角B­A1C­C1的平面角為鈍角，二面角B­A1C­C1的余弦值為.10.(2018·天津高考)如圖，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.(1)若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：MN平面CDE；(2)求二面角E­BC­F的正弦值；(3)若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長解依題意，可以建立以D為原點，分別以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(xiàn)(0,1,2)，G(0,0,2)，M0，1，N(1,0,2)(1)證明：依題意(0,2,0)，(2,0,2)設(shè)n0(x，y，z)為平面CDE的法向量，則即不妨令z1，可得n0(1,0，1)又，可得·n00，又因為直線MN平面CDE，所以MN平面CDE.(2)依題意，可得(1,0,0)，(1，2,2)，(0，1,2)設(shè)n(x，y，z)為平面BCE的法向量，則即不妨令z1，可得n(0,1,1)設(shè)m(x，y，z)為平面BCF的法向量，則即不妨令z1，可得m(0,2,1)因此有cosm，n，于是sinm，n.所以，二面角E­BC­F的正弦值為.(3)設(shè)線段DP的長為h(h0,2)，則點P的坐標(biāo)為(0,0，h)，可得(1，2，h)易知，(0,2,0)為平面ADGE的一個法向量，故|cos，|，由題意，可得sin 60°，解得h0,2所以，線段DP的長為.B組能力提升1設(shè)正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是( )A. B.C. D.D如圖建立坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2,0,2)設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，則令z1，得n(1,1,1)D1到平面A1BD的距離d.2已知斜四棱柱ABCD­A1B1C1D1的各棱長均為2，A1AD60°，BAD90°，平面A1ADD1平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為( )A. B.C. D.C取AD中點O，連接OA1，易證A1O平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得B(2，1,0)，D1(0,2，)，(2,3，)，平面ABCD的一個法向量為n(0,0,1)，設(shè)BD1與平面ABCD所成的角為，sin ，tan .3如圖所示，二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為_60°，|2.·|·|·cos，24.cos，.又所求二面角與，互補，所求的二面角為60°.4等邊三角形ABC的邊長為3，點D，E分別是邊AB，AC上的點，且滿足，如圖1.將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1­DE­B為直二面角，連接A1B，A1C，如圖2.圖1 圖2(1)求證：A1D平面BCED；(2)在線段BC上是否存在點P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°？若存在，求出PB的長；若不存在，請說明理由解(1)證明：因為等邊三角形ABC的邊長為3，且，所以AD1，AE2.在ADE中，DAE60°，由余弦定理得DE.從而AD2DE2AE2，所以ADDE.折起后有A1DDE，因為二面角A1­DE­B是直二面角，所以平面A1DE平面BCED，又平面A1DE平面BCEDDE，A1DDE，所以A1D平面BCED.(2)存在理由：由(1)可知EDDB，A1D平面BCED.以D為坐標(biāo)原點，分別以DB，DE，DA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz.設(shè)PB2a(02a3)，作PHBD于點H，連接A1H，A1P，則BHa，PHa，DH2a.所以A1(0,0,1)，P(2a，a,0)，E(0，0)所以(a2，a,1)因為ED平面A1BD，所以平面A1BD的一個法向量為(0，0)要使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°，則sin 60°，解得a，此時2a，滿足02a3，符合題意所以在線段BC上存在點P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°，此時PB.- 13 -