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2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破16 橢圓、雙曲線、拋物線 理

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2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破16 橢圓、雙曲線、拋物線 理

16橢圓、雙曲線、拋物線1(2012·福建)已知雙曲線1的右焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于()A. B4 C3 D5答案: A易求得拋物線y212x的焦點(diǎn)為(3,0),故雙曲線1的右焦點(diǎn)為(3,0),即c3,故324b2,b25,雙曲線的漸近線方程為y±x,雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.2(2012·新課標(biāo)全國(guó))等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,C與拋物線y216x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),|AB|4 ,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為()A. B2 C4 D8答案:C拋物線y216x的準(zhǔn)線方程是x4,所以點(diǎn)A(4,2 )在等軸雙曲線C;x2y2a2(a0)上,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得a2,所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為4.3(2012·山東)已知橢圓C:1(ab0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案:D因?yàn)闄E圓的離心率為,所以e,c2a2,c2a2a2b2,所以b2a2,即a24b2.雙曲線的漸近線方程為y±x,代入橢圓方程得1,即1,所以x2b2,x±b,y2b2,y±b,則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以四邊形的面積為4×b×bb216,所以b25,所以橢圓方程為1.4(2012·北京)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過拋物線y24x的焦點(diǎn)F,且與該拋物線相交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在x軸上方,若直線l的傾斜角為60°,則OAF的面積為_解析直線l的方程為y(x1),即xy1,代入拋物線方程得y2y40,解得yA2 (yB0,舍去),故OAF的面積為×1×2 .答案圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一,在高考中一般有12個(gè)選擇或者填空題,一個(gè)解答題選擇或者填空題有針對(duì)性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用,主要針對(duì)圓錐曲線本身,綜合性較小,試題的難度一般不大;解答題主要是以橢圓為基本依托,考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系復(fù)習(xí)中,一要熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法,在抓住通性通法的同時(shí),要訓(xùn)練利用代數(shù)方法解決幾何問題的運(yùn)算技巧二要熟悉圓錐曲線的幾何性質(zhì),重點(diǎn)掌握直線與圓錐曲線相關(guān)問題的基本求解方法與策略,提高運(yùn)用函數(shù)與方程思想,向量與導(dǎo)數(shù)的方法來解決問題的能力.必備知識(shí)橢圓1(ab0),點(diǎn)P(x,y)在橢圓上(1)離心率:e;(2)過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑,其長(zhǎng)度為:.雙曲線1(a0,b0),點(diǎn)P(x,y)在雙曲線上(1)離心率:e;(2)過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通徑,其長(zhǎng)度為:.拋物線y22px(p0),點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2)在拋物線上(1)焦半徑|CF|x1;(2)過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|CD|x1x2x1x2p,|CD|(其中為傾斜角),;(3)x1x2,y1y2p2;(4)以拋物線上的點(diǎn)為圓心,焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切,以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓,必與準(zhǔn)線相切必備方法1求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法(1)定義法(2)待定系數(shù)法頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線,可設(shè)為y22ax或x22ay(a0),避開對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論,此時(shí)a不具有p的幾何意義中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,橢圓方程可設(shè)為1(m0,n0)雙曲線方程可設(shè)為1(mn0)這樣可以避免討論和繁瑣的計(jì)算2求軌跡方程的常用方法(1)直接法:將幾何關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程(2)定義法:滿足的條件恰適合某已知曲線的定義,用待定系數(shù)法求方程(3)代入法:把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)建立聯(lián)系(4)交軌法:寫出兩條動(dòng)直線的方程直接消參,求得兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡注意:建系要符合最優(yōu)化原則;求軌跡與“求軌跡方程”不同,軌跡通常指的是圖形,而軌跡方程則是代數(shù)表達(dá)式;化簡(jiǎn)是否同解變形,是否滿足題意,驗(yàn)證特殊點(diǎn)是否成立等.圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本,利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn),在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)需熟練掌握【例1】 已知橢圓1與雙曲線y21的公共焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),則cosF1PF2的值為()A. B. C. D.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 結(jié)合橢圓、雙曲線的定義及余弦定理可求B因點(diǎn)P在橢圓上又在雙曲線上,所以|PF1|PF2|2 ,|PF1|PF2|2 .設(shè)|PF1|PF2|,解得|PF1|,|PF2|,由余弦定理得cosF1PF2. 涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問題時(shí),要自覺地運(yùn)用橢圓、雙曲線的定義涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí),常利用定義轉(zhuǎn)化到拋物線的準(zhǔn)線的距離【突破訓(xùn)練1】 如圖過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線與點(diǎn)A,B,C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,則拋物線的方程是_解析作BMl,AQl,垂足分別為M、Q.則由拋物線定義得,|AQ|AF|3,|BF|BM|.又|BC|2|BF|,所以|BC|2|BM|.由BMAQ得,|AC|2|AQ|6,|CF|3.|NF|CF|.即p.拋物線方程為y23x.答案y23x圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容,主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解,難度中檔【例2】 (2012·東北三省四市教研協(xié)作體二次調(diào)研)以O(shè)為中心,F(xiàn)1,F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M,滿足|2|2|,則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 作MNx軸,結(jié)合勾股定理可求c,利用橢圓定義可求a.C過M作x軸的垂線,交x軸于N點(diǎn),則N點(diǎn)坐標(biāo)為,并設(shè)|2|2|2t,根據(jù)勾股定理可知,|2|2|2|2,得到ct,而a,則e,故選C. 離心率的范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a,c的不等式,由這個(gè)不等式確定e的范圍【突破訓(xùn)練2】 設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,2)若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上,則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入拋物線方程得12p×,解得p,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為,故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為.答案軌跡問題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識(shí)相融合,著重考查分析問題、解決問題的能力,對(duì)邏輯思維能力、運(yùn)算能力也有一定的要求【例3】 (2011·天津)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(a,b)(a>b>0)為動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓1的左、右焦點(diǎn)已知F1PF2為等腰三角形(1)求橢圓的離心率e;(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),M是直線PF2上的點(diǎn),滿足A·B2,求點(diǎn)M的軌跡方程審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)根據(jù)|PF2|F1F2|建立關(guān)于a與c的方程式(2)可解出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)(用c表示),利用·2可求解解(1)設(shè)F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0)由題意可得|PF2|F1F2|,即2c.整理得2210,得或1(舍),所以e.(2)由(1)知a2c,bc,可得橢圓方程為3x24y212c2,直線PF2方程為y(xc)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理,得5x28cx0,解得x10,x2c,得方程組的解不妨設(shè)A,B.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則A,B(x,yc)由y(xc),得cxy.于是A,B(x,x)由題意知A·B2,即·x·x2,化簡(jiǎn)得18x216xy150.將y代入cxy,得c>0,所以x>0.因此,點(diǎn)M的軌跡方程是18x216xy150(x>0) (1)求軌跡方程時(shí),先看軌跡的形狀能否預(yù)知,若能預(yù)先知道軌跡為何種圓錐曲線,則可考慮用定義法求解或用待定系數(shù)法求解(2)討論軌跡方程的解與軌跡上的點(diǎn)是否對(duì)應(yīng),要注意字母的取值范圍【突破訓(xùn)練3】 (2012·四川)如圖,動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(1,0)、B(2,0)構(gòu)成MAB,且MBA2MAB.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)直線y2xm與y軸相交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R,且|PQ|PR|,求的取值范圍解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),顯然有x0,且y0.當(dāng)MBA90°時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,±3)當(dāng)MBA90°時(shí),x2,且MBA2MAB,有tanMBA,即,化簡(jiǎn)可得3x2y230.而點(diǎn)(2,±3)在曲線3x2y230上,綜上可知,軌跡C的方程為3x2y230(x1)(2)由消去y,可得x24mxm230.(*)由題意,方程(*)有兩根且均在(1,)內(nèi)設(shè)f(x)x24mxm23,所以解得m1,且m2.設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|PR|有xR2m,xQ2m.所以1.由m1,且m2,有1174 ,且17.所以的取值范圍是(1,7)(7,74 )在高考中,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是熱點(diǎn),通常圍繞弦長(zhǎng)、面積、定點(diǎn)(定值),范圍問題來展開,其中設(shè)而不求的思想是處理相交問題的最基本方法,試題難度較大【例4】 已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)當(dāng)l的斜率為1時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為.(1)求a,b的值;(2)C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立?若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程;若不存在,說明理由審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)由直線l的斜率為1過焦點(diǎn)F,原點(diǎn)O到l的距離為可求解;(2)需分直線l的斜率存在或不存在兩種情況討論設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由條件可得P點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合A、B、P在橢圓上列等式消元求解解(1)設(shè)F(c,0),當(dāng)l的斜率為1時(shí),其方程為xyc0,O到l的距離為,故,c1.由e,得a,b .(2)C上存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立由(1)知C的方程為2x23y26.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(i)當(dāng)l不垂直于x軸時(shí),設(shè)l的方程為yk(x1)C上的點(diǎn)P使成立的充要條件是P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1x2,y1y2),且2(x1x2)23(y1y2)26,整理得2x3y2x3y4x1x26y1y26,又A、B在橢圓C上,即2x3y6,2x3y6,故2x1x23y1y230.將yk(x1)代入2x23y26,并化簡(jiǎn)得(23k2)x26k2x3k260,于是x1x2,x1·x2,y1·y2k2(x11)(x21).代入解得k22,此時(shí)x1x2.于是y1y2k(x1x22),即P.因此,當(dāng)k 時(shí),P,l的方程為xy 0;當(dāng)k時(shí),P,l的方程為xy0.()當(dāng)l垂直于x軸時(shí),由(2,0)知,C上不存在點(diǎn)P使成立綜上,C上存在點(diǎn)P使成立,此時(shí)l的方程為x±y0. 本小題主要考查直線、橢圓、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理的運(yùn)算能力和解決問題的能力此題的第(2)問以向量形式引進(jìn)條件,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將“形”、“數(shù)”緊密聯(lián)系在一起,既發(fā)揮了向量的工具性作用,也讓學(xué)生明白根與系數(shù)的關(guān)系是解決直線與圓錐曲線問題的通性通法【突破訓(xùn)練4】 設(shè)橢圓E:1(a,b0)過點(diǎn)M(2,),N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫出該圓的方程;若不存在,說明理由解(1)將M,N的坐標(biāo)代入橢圓E的方程得解得a28,b24.所以橢圓E的方程為1.(2)假設(shè)滿足題意的圓存在,其方程為x2y2R2,其中0R2.設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),令直線AB的方程為ykxm,將其代入橢圓E的方程并整理得(2k21)x24kmx2m280.由方程根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2,x1x2.因?yàn)椋詘1x2y1y20.將代入并整理得(1k2)x1x2km(x1x2)m20.聯(lián)立得m2(1k2)因?yàn)橹本€AB和圓相切,因此R.由得R,所以存在圓x2y2滿足題意當(dāng)切線AB的斜率不存在時(shí),易得xx,由橢圓E的方程得yy,顯然.綜上所述,存在圓x2y2滿足題意講講離心率的故事橢圓、雙曲線的離心率是一個(gè)重要的基本量,在橢圓中或在雙曲線中都有著極其特殊的應(yīng)用,也是高考??嫉膯栴},通常有兩類:一是求橢圓和雙曲線的離心率的值;二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍一、以離心率為“中介”【示例1】 (2012·湖北)如圖,雙曲線1(a,b0)的兩頂點(diǎn)為A1,A2,虛軸兩端點(diǎn)為B1,B2,兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,切點(diǎn)分別為A,B,C,D.則(1)雙曲線的離心率e_;(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值_.解析(1)由題意可得a bc,a43a2c2c40,e43e210,e2,e.(2)設(shè)sin ,cos ,e2.答案(1)(2)老師叮嚀:離心率是“溝通”a,b,c的重要中介之一,本題在產(chǎn)生關(guān)于a,b,c的關(guān)系式后,再將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程,通過方程產(chǎn)生結(jié)論.【試一試1】 (2012·南通模擬)A,B是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn),直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,且與實(shí)軸垂直,若·0,則雙曲線C的離心率e_.解析不妨設(shè)雙曲線C的方程1(a0,b0),則A(a,0),B(a,0)設(shè)P(x,y),Q(x,y),所以(ax,y),(xa,y),由·0,得a2x2y20.又1,所以1,即y20恒成立,所以0.即a2b2,所以2a2c2.從而e.答案二、離心率的“外交術(shù)”【示例2】 (2012·濰坊模擬)已知c是橢圓1(a b0)的半焦距,則的取值范圍是()A(1,) B(,)C(1,) D(1, 解析由e,又0e1,設(shè)f(x)x,0x1,則f(x)1.令y0,得x,則f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,f(x)max,f(0)1,f(1)1.1f(x),故1.答案D老師叮嚀:離心率“外交”在于它可以較好地與其他知識(shí)交匯,本題中,如何求f(bc,a)的取值范圍?結(jié)合離心率及關(guān)系式a2b2c2,將待求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的函數(shù)關(guān)系式,借助函數(shù)的定義域(即e的范圍)產(chǎn)生函數(shù)的值域,從而完成求解.【試一試2】 (2012·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線1的離心率為,則m的值為_解析由題意得m0,a,b.c,由e,得5,解得m2.答案2必考問題13

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