2021屆高三數(shù)學二輪復(fù)習 必考問題專項突破6 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 理

考問題6三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1(2011·新課標全國)已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2()A B C. D.答案：B由題意知，tan 2，cos 2.2(2012·湖南)函數(shù)f(x)sin xcos的值域為()A2,2 B. C1,1 D.答案：B因為f(x)sin xcos xsin x·sin，所以函數(shù)f(x)的值域為，3(2011·新課標全國)設(shè)函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期為，且f(x)f(x)，則()Af(x)在單調(diào)遞減 Bf(x)在單調(diào)遞減Cf(x)在單調(diào)遞增 Df(x)在單調(diào)遞增答案：Af(x)sin(x)cos(x)sin.由最小正周期為得，2，又由f(x)f(x)可知f(x)為偶函數(shù)，|<可知，所以f(x)cos 2x在單調(diào)遞減4(2012·全國)當函數(shù)ysin xcos x(0x2)取得最大值時，x_.解析ysin xcos x22sin的最大值為2，又0x2，故當x，即x時，y取得最大值答案1對三角函數(shù)圖象的考查主要表現(xiàn)在以下三個方面：(1)利用“五點法”作出圖象；(2)圖象變換；(3)由三角函數(shù)的圖象(部分)確定三角函數(shù)的解析式2三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的一個重點，它既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題常通過三角變換，將其轉(zhuǎn)化為yAsin(x)的形式，再研究其性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性)3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)經(jīng)常與向量綜合進行考查由于本部分高考試題的難度不大，經(jīng)過一輪復(fù)習的學生已經(jīng)達到了高考的要求，二輪復(fù)習就是在此基礎(chǔ)上進行的鞏固和強化，在復(fù)習中注意如下幾點：(1)該專題具有基礎(chǔ)性和工具性，雖然沒有什么大的難點問題，但包含的內(nèi)容非常廣泛，概念、公式很多，不少地方容易混淆，在復(fù)習時要根據(jù)知識網(wǎng)絡(luò)對知識進行梳理，系統(tǒng)掌握其知識體系(2)抓住考查的主要題型進行訓練，根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)解析式或者求函數(shù)值.必備知識同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化簡中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式應(yīng)用的條件五點法作yAsin(x)的簡圖：五點取法是設(shè)Xx，由X取0、2來求相應(yīng)的x值及對應(yīng)的y值，再描點作圖函數(shù)yAsin(x)B(其中A0，0)最大值是AB，最小值是BA，周期是T，頻率是f，相位是x，初相是；其圖象的對稱軸是直線xk(kZ)，凡是該圖象與直線yB的交點都是該圖象的對稱中心由ysin x的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：ysin x 遞增區(qū)間是(kZ)，遞減區(qū)間是(kZ)；ycos x的遞增區(qū)間是(kZ)，遞減區(qū)間是(kZ)；ytan x的遞增區(qū)間是(kZ)必備方法1三角函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧：(1)方程思想：sin cos ，sin cos ，sin cos 三者中，知一可求二；(2)“1”的替換：sin2cos21；(3)切弦互化：弦的齊次式可化為切2函數(shù)yAsin(x)的問題：(1)“五點法”畫圖：分別令x0、2，求出五個特殊點；(2)給出yAsin(x)的部分圖象，求函數(shù)表達式時，比較難求的是，一般從“五點法”中取靠y軸較近的已知點代入突破；(3)求對稱軸方程：令xk(kZ)，求對稱中心：令xk(kZ)基本關(guān)系的應(yīng)用常考查利用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系進行化簡、求值主要以小題形式考查，在綜合性問題第(1)問中也經(jīng)常涉及到三角函數(shù)的化簡、求值，多為基礎(chǔ)問題【例1】 (2012·山東萊蕪檢測)若tan()，則的值為()A B. C. D審題視點 聽課記錄審題視點 先求tan ，再將所求三角函數(shù)式分子分母同除cos 化成切的式子C由tan()得，tan ，. 在三角函數(shù)求值類試題中，一般是先化簡題目的已知條件或是目標式，把已知和求解之間的關(guān)系明朗化后，再選擇解決問題的方法【突破訓練1】 如圖，以O(shè)x為始邊作角(0)，終邊與單位圓相交于點P，已知點P的坐標為.求的值解由三角函數(shù)定義，得cos ，sin ，原式2cos2 2×2.象及解析式常考查：利用已給三角函數(shù)的圖象特點，求三角函數(shù)解析式；函數(shù)yAsin(x)的圖象變換考查學生三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握情況【例2】 (2012·惠州二模)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，|，xR)的圖象的一部分如圖所示則函數(shù)f(x)的解析式為_審題視點 聽課記錄審題視點 觀察圖象，由周期確定，由特殊點的坐標確定.解析由圖象知A2，2T8，所以，得f(x)2sin.由對應(yīng)點得當x1時，×1.所以f(x)2sin.答案f(x)2sin 將點的坐標代入解析式時，要注意選擇的點屬于“五點法”中的哪一個點“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為x002k(kZ)，其他依次類推即可【突破訓練2】 (2012·北京東城區(qū)模擬)函數(shù)f(x)sin (x)，(其中|)的圖象如圖所示，為了得到g(x)sin x的圖象，則只要將f(x)的圖象()A向右平移個單位 B向右平移個單位C向左平移個單位 D向左平移個單位答案：A由圖象可知，T，2，再由2×.得，所以f(x)sin，故只需將f(x)sin2向右平移個單位，得到g(x)sin 2x.三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性、最值等是高考的熱點，常與三角恒等變換交匯命題，在考查三角恒等變換的方法與技巧的同時，又考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，難度中低檔【例3】 (2012·湖北)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2cos x)，設(shè)函數(shù)f(x)a·b(xR)的圖象關(guān)于直線x對稱，其中，為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍審題視點 聽課記錄審題視點 對于第(1)問的求解主要是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的定義進行合一化簡求最小正周期；對于第(2)問的求解則要對三角函數(shù)在定義域內(nèi)求值域解(1)因為f(x)sin2xcos2x2sin x·cos xcos 2xsin 2x2sin.由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的圖象過點，得f0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin，由0x，得x，所以sin1，得12sin2，故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為1，2 在解答三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性的問題時，通常是將三角函數(shù)化為只含一個函數(shù)名稱且角度唯一、最高次數(shù)為一次的形式，即yAsin(x)m，其中A0，0，0,2)，若給定區(qū)間xa，b，則最大(小)值、單調(diào)區(qū)間隨之確定；若定義域關(guān)于原點對稱，且k(kZ)，m0，則yAsin(x)m是奇函數(shù)；若定義域關(guān)于原點對稱，且k(kZ)，m0，則yAsin(x)m是偶函數(shù)；其周期為T.【突破訓練3】 已知f(x)2cos2xsin 2xa(aR)(1)若xR，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若x時，f(x)的最大值為4，求實數(shù)a的值解因f(x)2cos2 xsin 2xacos 2x1sin 2xa2sina1.(1)令2k2x2k，得kxk(kZ)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)(2)若x，2x，當x時，f(x)取得最大值a3.則由條件有a34，得a1.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)是三角函數(shù)的綜合交匯點，是高考命題的重點，主要考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、圖象變換等，近幾年關(guān)于三角函數(shù)綜合應(yīng)用的高考題不斷求新求異，但考查的知識方法不變，首先是化簡所給式子，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解相關(guān)問題【例4】 已知函數(shù)f(x)sin 2xsin cos2xcos sin(0<<)，其圖象過點，.(1)求的值；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在上的最大值和最小值審題視點 聽課記錄審題視點 先化簡三角函數(shù)式，盡量化為yAsin(x)B的形式，然后再求解解(1)f(x)sin 2xsin cos2xcos sin(0<<)，f(x)sin 2xsin cos cos sin 2xsin cos 2xcos (sin 2xsin cos 2xcos )cos(2x)，又函數(shù)圖象過點，cos，即cos1，又0<<，.(2)由(1)知f(x)cos，將函數(shù)yf(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，可知g(x)f(2x)cos，因為x，所以4x0，因此4x，故cos1.所以yg(x)在上的最大值和最小值分別為和. (1)形如yasin xbcos x型的三角函數(shù)通過引入輔助角化為ysin(x)的形式(2)求三角函數(shù)式最值的方法將三角函數(shù)式化為yAsin(x)B的形式，進而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解將三角函數(shù)式化為關(guān)于sin x，cos x的二次函數(shù)的形式，進而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解【突破訓練4】 若函數(shù)f(x)sin 2x2cos2xm在區(qū)間上的最大值為6.(1)求常數(shù)m的值；(2)作函數(shù)f(x)關(guān)于y軸的對稱圖象得函數(shù)f1(x)的圖象，再把f1(x)的圖象向右平移個單位長度得f2(x)的圖象，求函數(shù)f2(x)的單調(diào)遞減區(qū)間解(1)f(x)sin 2xcos 2x1m2sin1m，由于x，所以2x，所以sin1.所以mf(x)3m，所以3m6，所以m3.(2)由(1)得f(x)2sin4，f1(x)2sin4，f2(x)2sin42sin4.由2k2x2k，kZ，得f2(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.三角函數(shù)標準式的應(yīng)用利用輔助角公式化已知三角函數(shù)式為“標準式”，是歷年高考的熱點，三角函數(shù)標準式在求三角函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)時有著重要作用化簡時常常要結(jié)合三角恒等變換知識，這是解決三角函數(shù)問題的基礎(chǔ)，因此，要牢固掌握這一解題技巧【示例】 (2012·重慶)設(shè)f(x)4cossin xcos(2x)，其中0.(1)求函數(shù)yf(x)的值域；(2)若f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值滿分解答(1)f(x)4sin xcos 2x2sin xcos x2sin2xcos2xsin2xsin 2x1，(4分)因為1sin 2x1，所以函數(shù)yf(x)的值域為1，1(6分)(2)因ysin x在每個閉區(qū)間(kZ)上為增函數(shù)，故f(x)sin 2x1(0)在每個閉區(qū)間(kZ)上為增函數(shù)(8分)依題意知對某個kZ成立，此時必有k0，于是解得，故的最大值為.(12分)老師叮嚀：本題考查三角函數(shù)的基本知識，利用公式進行化簡，然后數(shù)形結(jié)合找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的最值.其中，第(1)問需利用三角恒等變換知識將三角函數(shù)式化為標準式，是解(2)問的基礎(chǔ)；第(2)問得分率不高，不少考生找不到解題突破口是失分原因.【試一試】 (2012·杭州模擬)要得到函數(shù)ycos x的圖象，只需將函數(shù)ysin的圖象上所有的點的()A橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向左平行移動個單位長度B橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度C橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平行移動個單位長度D橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度答案：C將函數(shù)ysin圖象上所有的點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得函數(shù)ysin的圖象；再向左平行移動個單位長度后便得：ysincos x的圖象，故選C.12