2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)8 空間位置關(guān)系的判斷與證明 文

專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(八)空間位置關(guān)系的判斷與證明專(zhuān)題通關(guān)練(建議用時(shí)：30分鐘)1若a，b是空間中兩條不相交的直線，則過(guò)直線b且平行于直線a的平面()A有且僅有一個(gè)B至少有一個(gè)C至多有一個(gè) D有無(wú)數(shù)個(gè)Ba，b是空間中兩條不相交的直線a，b可能平行或異面若a，b平行，則過(guò)直線b且平行于直線a的平面有無(wú)數(shù)個(gè)；若a，b異面，在b上取一點(diǎn)O，過(guò)O作ca，則b，c確定平面，a平行于，此時(shí)過(guò)直線b且平行于直線a的平面只有一個(gè)故選B.2(2019·長(zhǎng)沙模擬)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)為2.若點(diǎn)M是線段A1C的中點(diǎn)，則直線BM與底面ABC所成角的正切值為()A. B. C. D.C過(guò)點(diǎn)M作MNAC于N，連接BN(圖略)，則MBN為直線BM與底面ABC所成角，由題意可知MN2，BN3，所以tanMBN.3已知，表示兩個(gè)不同的平面，l表示既不在內(nèi)也不在內(nèi)的直線，存在以下三個(gè)條件：l；l；，若以其中兩個(gè)推出另一個(gè)構(gòu)成命題，則正確命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3C由、是真命題，而由不能得到，故選C.4如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°.將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐A­BCD，則在三棱錐A­BCD中，下列命題正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，則CDAB，又ADAB，CDADD，所以AB平面ADC，即平面ABC平面ADC，故選D.5在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有_條無(wú)數(shù)在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面(如圖所示)，因CD與平面不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線由點(diǎn)P的任意性知，有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交6(2019·銀川模擬)如圖，四面體ABCD中，CD4，AB2，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，若EFAB，則EF與CD所成的角等于_30如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接ME、MF，則MECD，MFAB，因?yàn)镋FAB，所以EFMF，則MEF為EF與CD所成的角，又ME2，MF1，故MEF30°.7(2019·全國(guó)卷)已知ACB90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC2，點(diǎn)P到ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為_(kāi)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PO平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離再過(guò)O作OEAC于E，OFBC于F，連接PC，PE，PF，則PEAC，PFBC.又PEPF，所以O(shè)EOF，所以CO為ACB的平分線，即ACO45°.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以O(shè)E1，所以PO.8一題多解(2019·全國(guó)卷)中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有_個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)圖1 圖2261先求面數(shù)有如下兩種方法法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分有9個(gè)面，共有2×9826(個(gè))面法二：一般地，對(duì)于凸多面體，頂點(diǎn)數(shù)(V)面數(shù)(F)棱數(shù)(E)2.(歐拉公式)由題圖知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24.故由VFE2，得面數(shù)F2EV2482426.再求棱長(zhǎng)作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，則正八邊形的邊長(zhǎng)即為棱長(zhǎng)連接AF，過(guò)H，G分別作HMAF，GNAF，垂足分別為M，N，則AMMHNGNFx.又AMMNNF1，xxx1.x1，即半正多面體的棱長(zhǎng)為1.9(2019·永州模擬)如圖，在菱形ABCD中，AB2，BCD60°，AC與BD交于點(diǎn)O.以BD為折痕，將ABD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A1的位置(1)若A1C，求證：平面A1BD平面ABCD；(2)若A1C2，求三棱錐A1­BCD體積解(1)證明：在菱形ABCD中，AB2，BCD60°，AC與BD交于點(diǎn)O.以BD為折痕，將ABD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A1的位置，A1C，A1OBD，OCOA1，OC2OAA1C2，OCOA1，OCBDO，OA1平面ABCD，OA1平面A1BD，平面A1BD平面ABCD.(2)設(shè)點(diǎn)A1到平面BCD的距離為d，OCOA1，A1C2，××d×2×，解得d，SBCD×BD×OC×2×，三棱錐A1­BCD體積V×d×SBCD××.能力提升練(建議用時(shí)：15分鐘)10如圖，在四棱錐P­ABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90°，且四棱錐P­ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積解(1)由BAPCDP90°，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，又APPDP，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如圖所示，在平面PAD內(nèi)作PEAD，垂足為E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD.設(shè)ABx，則由已知可得ADx，PEx.故四棱錐P­ABCD的體積VP­ABCDAB·AD·PEx3.由題設(shè)得x3，故x2.從而PAPDDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱錐P ­ABCD的側(cè)面積為PA·PDPA·ABPD·DCBC2sin 60°62.11如圖所示，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，點(diǎn)C在上，且CAB30°，D為AC的中點(diǎn)(1)求證：AC平面POD.(2)求直線OC和平面PAC所成角的正弦值解(1)證明：連接OC.OAOC，D是AC的中點(diǎn)，ACOD.PO底面O，AC底面O，ACPO.OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，AC平面POD.(2)由(1)知，AC平面POD，又AC平面PAC，平面POD平面PAC.如圖所示，在平面POD中，過(guò)O作OHPD于H，則OH平面PAC，連接CH，則CH是OC在平面PAC上的射影，OCH是直線OC和平面PAC所成的角在RtODA中，ODOA×sin 30°.在RtPOD中，OH.在RtOHC中，sinOCH.直線OC和平面PAC所成的角的正弦值為.12(2019·遼陽(yáng)二模)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，ACD45°，CD2，PAC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，PACD.(1)證明：平面PCD平面ABCD(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)M，使得PD平面MAC？說(shuō)明理由解(1)證明：取CD的中點(diǎn)E，連接PE，AE，ACD45°，CD2，AC，AD，ACD是等腰直角三角形，ADAC，AECD，又PACD，PAAEA，CD平面PAE，又PE平面PAE，CDPE.PE1，又AECD1，PA，PE2AE2PA2，PEAE，又AE平面ABCD，CD平面ABCD，CDAEE，PE平面ABCD，又PE平面PCD，平面PCD平面ABCD.(2)當(dāng)M為PB的中點(diǎn)時(shí)，PD平面MAC.證明：連接BD交AC于O，連接OM，四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD的中點(diǎn)，又M是PB的中點(diǎn)，OMPD，又OM平面MAC，PD平面MAC，PD平面MAC.題號(hào)內(nèi)容押題依據(jù)1異面直線所成的角對(duì)異面直線所成角的考查，是近幾年高考一個(gè)新的重點(diǎn)本題以平面圖形的翻折為載體考查異面直線所成角的求法考查了考生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)2直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，四棱錐的體積高考對(duì)立體幾何解答題的考查多分2小問(wèn)，第(1)問(wèn)是空間平行、垂直關(guān)系的證明；第(2)問(wèn)多涉及體、面積的計(jì)算本題符合高考的命題規(guī)律，考查考生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)【押題1】新題型如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，將四邊形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE平面ABEF，則BD_，異面直線BD與CF所成角的余弦值為_(kāi)如圖，連接DE交FC于O，取BE的中點(diǎn)G，連接OG，CG，則OGBD且OGBD，所以COG為異面直線BD與CF所成的角或其補(bǔ)角因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，則CEBE1，CFDE，所以COCF.易得BE平面CDFE，所以BEDE，所以BD，所以O(shè)GBD.易知CE平面ABEF，所以CEBE，又GEBE，所以CG.在COG中，由余弦定理得，cosCOG，所以異面直線BD與CF所成角的余弦值為.【押題2】如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，BC2AB，ABC60°，PAPBAC，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)(1)試在棱PD上找一點(diǎn)N，使得AN平面PMC；(2)若PBAC，PM，求四棱錐P­ABCD的體積解(1)點(diǎn)N為PD的中點(diǎn)時(shí)AN平面PMC.證明：取PD的中點(diǎn)N，PC的中點(diǎn)Q，連接AN，QN，MQ，在PCD中，N，Q分別是所在邊PD，PC的中點(diǎn)，則NQCD且NQ CD.因?yàn)辄c(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，ABCD，且ABCD，所以NQAM且NQAM.所以四邊形AMQN是平行四邊形，所以ANMQ.又AN平面PMC，MQ平面PMC，所以AN平面PMC.(2)在ABC中，BC2AB，ABC60°，設(shè)ABa，則BC2a，由余弦定理得AC2AB2BC22AB·BC·cos 60°3a2，則BC2AB2AC2，由勾股定理的逆定理可得，ACAB.又PBAC，PBABB，PB，AB平面PAB，所以AC平面PAB.因?yàn)镻M平面PAB，所以ACPM.因?yàn)镻APB，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，所以PMAB,又ACABA，因此PM平面ABCD.在RtPAM中，AMAB，PAACa，所以PM，所以a2，AB2，BC4，V四棱錐P­ABCD×AB×BC×sinABC×PM×2×4××，所以四棱錐P­ABCD的體積為.- 8 -