2020高考數學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 7 第6講 雙曲線練習 理（含解析）

第6講 雙曲線 基礎題組練1“k<9”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A.因為方程1表示雙曲線，所以(25k)(k9)<0，所以k<9或k>25，所以“k<9”是“方程1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.2(2018·高考全國卷)雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x解析：選A.法一：由題意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為y±x±x，故選A.法二：由e，得，所以該雙曲線的漸近線方程為y±x±x，故選A.3(一題多解)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1，3) B(1，)C(0，3) D(0，)解析：選A.法一：由題意可知：c2(m2n)(3m2n)4m2，其中c為半焦距，所以2c2×|2m|4，所以|m|1，因為方程1表示雙曲線，所以(m2n)·(3m2n)>0，所以m2<n<3m2，所以1<n<3.故選A.法二：因為原方程表示雙曲線，且焦距為4，所以或由得m21，n(1，3)無解故選A.4若雙曲線C1：1與C2：1(a>0，b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4，則b()A2 B4C6 D8解析：選B.由題意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故選B.5(一題多解)(2019·開封模擬)過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點F(c，0)作圓O：x2y2a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為()A. B.C.1 D.解析：選A.法一：如圖所示，不妨設E在x軸上方，F為雙曲線的右焦點，連接OE，PF，因為PF是圓O的切線，所以OEPE，又E，O分別為PF，FF的中點，所以|OE|PF|，又|OE|a，所以|PF|2a，根據雙曲線的性質，|PF|PF|2a，所以|PF|4a，所以|EF|2a，在RtOEF中，|OE|2|EF|2|OF|2，即a24a2c2，所以e，故選A.法二：連接OE，因為|OF|c，|OE|a，OEEF，所以|EF|b，設F為雙曲線的右焦點，連接PF，因為O，E分別為線段FF，FP的中點，所以|PF|2b，|PF|2a，所以|PF|PF|2a，所以b2a，所以e.6(2018·高考全國卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A. B3C2 D4解析：選B.因為雙曲線y21的漸近線方程為y±x，所以MON60°.不妨設過點F的直線與直線yx交于點M，由OMN為直角三角形，不妨設OMN90°，則MFO60°，又直線MN過點F(2，0)，所以直線MN的方程為y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故選B.7(2019·遼寧五校協作體聯合模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，從雙曲線C的右焦點F引漸近線的垂線，垂足為A，若AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為()A.1 B.y21C.1 Dx21解析：選D.因為雙曲線C的右焦點F到漸近線的距離|FA|b，|OA|a，所以ab2，又雙曲線C的離心率為，所以 ，即b24a2，解得a21，b24，所以雙曲線C的方程為x21，故選D.8(2019·河北邯鄲聯考)如圖，F1，F2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點，若直線yx與雙曲線C交于P，Q兩點，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為()A2 B.C2 D.解析：選D.由題意可得，矩形的對角線長相等，將直線yx代入雙曲線C方程，可得x±，所以·c，所以2a2b2c2(b2a2)，即2(e21)e42e2，所以e44e220.因為e>1，所以e22，所以e，故選D.9(2019·貴陽模擬)過雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點F作圓x2y2a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P，若2，則雙曲線的離心率為()A. B.C. D2解析：選B.設P(0，3m)，由2，可得點M的坐標為，因為OMPF，所以·1，所以m2c2，所以M，由|OM|2|MF|2|OF|2，|OM|a，|OF|c得，a2c2，a2c2，所以e，故選B.10(2019·石家莊模擬)雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作傾斜角為30°的直線，與y軸和雙曲線的右支分別交于A，B兩點，若點A平分線段F1B，則該雙曲線的離心率是()A. B.C2 D.解析：選A.由題意可知F1(c，0)，設A(0，y0)，因為A是F1B的中點，所以點B的橫坐標為c，又點B在雙曲線的右支上，所以B，因為直線F1B的傾斜角為30°，所以，化簡整理得，又b2c2a2，所以3c23a22ac0，兩邊同時除以a2得3e22e30，解得e或e(舍去)，故選A.11已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點，F1，F2是雙曲線C的兩個焦點若·<0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A.由題意知a，b1，c，設F1(，0)，F2(，0)，則(x0，y0)，(x0，y0)因為·<0，所以(x0)(x0)y<0，即x3y<0.因為點M(x0，y0)在雙曲線C上，所以y1，即x22y，所以22y3y<0，所以<y0<.12(2019·四川南充模擬)過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，D為虛軸上的一個端點，且ABD為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，)B(，)C(，2)D(1，)(，)解析：選D.設雙曲線：1(a>0，b>0)的左焦點為F1(c，0)，令xc，可得y±，可設A，B.又設D(0，b)，可得.，.由ABD為鈍角三角形，可得DAB為鈍角或ADB為鈍角當DAB為鈍角時，可得·<0，即為0·<0，化為a>b，即有a2>b2c2a2.可得c2<2a2，即e<.又e>1，可得1<e<；當ADB為鈍角時，可得·<0，即為c2<0，化為c44a2c22a4>0，由e，可得e44e22>0.又e>1，可得e>.綜上可得，e的范圍為(1，)(，)故選D.13若雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線經過點(3，4)，則此雙曲線的離心率為_解析：由雙曲線的漸近線過點(3，4)知，所以.又b2c2a2，所以，即e21，所以e2，所以e.答案：14雙曲線1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點若正方形OABC的邊長為2，則a_.解析：雙曲線1的漸近線方程為y±x，由已知可得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對稱性可得1.又正方形OABC的邊長為2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.答案：215(2019·武漢調研)已知點P在雙曲線1(a>0，b>0)上，PFx軸(其中F為雙曲線的右焦點)，點P到該雙曲線的兩條漸近線的距離之比為，則該雙曲線的離心率為_解析：由題意知F(c，0)，由PFx軸，不妨設點P在第一象限，則P，雙曲線漸近線的方程為bx±ay0，由題意，得，解得c2b，又c2a2b2，所以ab，所以雙曲線的離心率e.答案：16(2019·長春監(jiān)測)已知O為坐標原點，設F1，F2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點，P為雙曲線左支上任一點，過點F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|_解析：如圖所示，延長F1H交PF2于點Q，由PH為F1PF2的平分線及PHF1Q，可知|PF1|PQ|，根據雙曲線的定義，得|PF2|PF1|2，從而|QF2|2，在F1QF2中，易知OH為中位線，故|OH|1.答案：1綜合題組練1(一題多解)已知雙曲線C：1 (a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選B.法一：由雙曲線的漸近線方程可設雙曲線方程為k(k>0)，即1，因為雙曲線與橢圓1有公共焦點，所以4k5k123，解得k1，故雙曲線C的方程為1.故選B.法二：因為橢圓1的焦點為(±3，0)，雙曲線與橢圓1有公共焦點，所以a2b2(±3)29，因為雙曲線的一條漸近線為yx，所以，聯立可解得a24，b25.所以雙曲線C的方程為1.2(2019·鄭州模擬)已知雙曲線C：1(ab0)的兩條漸近線與圓O：x2y25交于M，N，P，Q四點，若四邊形MNPQ的面積為8，則雙曲線C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x解析：選B.以原點為圓心，半徑長為的圓的方程為x2y25，雙曲線的兩條漸近線方程為y±x，不妨設M，因為四邊形MNPQ的面積為8，所以4x·x8，所以x22，將M代入x2y25，可得x2x25，所以5，ab0，解得，故選B.3(2019·石家莊模擬)以橢圓1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C，其左、右焦點分別是F1，F2.已知點M的坐標為(2，1)，雙曲線C上的點P(x0，y0)(x0>0，y0>0)滿足，則SPMF1SPMF2()A2 B4C1 D1解析：選A.由題意，知雙曲線方程為1，|PF1|PF2|4，由，可得，即F1M平分PF1F2.又結合平面幾何知識可得，F1PF2的內心在直線x2上，所以點M(2，1)就是F1PF2的內心故SPMF1SPMF2×(|PF1|PF2|)×1×4×12.4(2019·高考全國卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若，·0，則C的離心率為_解析：通解：因為·0，所以F1BF2B，如圖所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因為，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以OABF2，所以F1BOA，因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan BF1O，tan BOF2.因為tan BOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以雙曲線的離心率e2.優(yōu)解：因為·0，所以F1BF2B，在RtF1BF2 中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B，又，所以A為F1B的中點，所以OAF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以OBF2為等邊三角形由F2(c，0)可得B，因為點B在直線yx上，所以c·，所以，所以e2.答案：25設雙曲線1的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為2.(1)若A，B分別為此雙曲線的漸近線l1，l2上的動點，且2|AB|5|F1F2|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；(2)過點N(1，0)能否作出直線l，使l交雙曲線于P，Q兩點，且·0，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解：(1)因為e2，所以c24a2，因為c2a23，所以a1，c2，所以雙曲線方程為y21，漸近線方程為y±x；設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x，y)，因為2|AB|5|F1F2|，所以|AB|F1F2|10，所以10，因為y1x1，y2x2，2xx1x2，2yy1y2，所以y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)，所以10，所以3(2y)2(2x)2100，即1，則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為10，短軸長為的橢圓(2)假設存在滿足條件的直線l.設l：yk(x1)，l與雙曲線交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因為·0，所以x1x2y1y20，所以x1x2k2(x11)(x21)0，所以x1x2k2x1x2(x1x2)10，因為，可得(3k21)x26k2x3k230，所以x1x2，x1x2，將代入得k230，所以k不存在，所以假設不成立，即不存在滿足條件的直線l.- 11 -