2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)27 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 文 北師大版

課后限時(shí)集訓(xùn)27解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1一名學(xué)生在河岸上緊靠河邊筆直行走，某時(shí)刻測(cè)得河對(duì)岸靠近河邊處的參照物與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角前進(jìn)200 m后，測(cè)得該參照物與前進(jìn)方向成75°角，則河的寬度為()A50(1)mB100(1)mC50 mD100 mA如圖所示，在ABC中，BAC30°，ACB75°30°45°，AB200 m，由正弦定理，得BC100(m)，所以河的寬度為BCsin 75°100×50(1)(m)2已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos 2Acos 2B2cos 2C，則cos C的最小值為()A.B.C.DC因?yàn)閏os 2Acos 2B2cos 2C，所以12sin2A12sin2B24sin2C，得a2b22c2，cos C，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，故選C.3在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知(abc)(abc)3ab，且c4，則ABC面積的最大值為()A8B4C2D.B由已知等式得a2b2c2ab，則cos C.由C(0，)，所以sin C.又16c2a2b2ab2ababab，則ab16，所以SABCabsin C×16×4.故Smax4.故選B.4在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2c·cos B2ab，若ABC的面積為Sc，則ab的最小值為()A8B10C12D14C在ABC中，由已知及正弦定理可得2sin Ccos B2sin Asin B2sin(BC)sin B，即2sin Ccos B2sin Bcos C2sin Ccos Bsin B，所以2sin Bcos Csin B0.因?yàn)閟in B0，所以cos C，C.由于ABC的面積為Sab·sin Cabc，所以cab.由余弦定理可得c2a2b22ab·cos C，整理可得a2b2a2b2ab3ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取等號(hào)，所以ab12.5在ABC中，sin B，BC邊上的高為AD，D為垂足，且BD2CD，則cosBAC()AB.CD.A依題意設(shè)CDx，ADy，則BD2x，BC3x.因?yàn)閟in B，所以AB3y.因?yàn)锽C邊上的高為AD，如圖所示，所以AB2AD2BD2y24x29y2，即xy.所以ACy.根據(jù)余弦定理得cosBAC.故選A.二、填空題6一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時(shí)_海里10如圖所示，依題意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，從而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是這艘船的速度是10(海里/時(shí))7在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足asin Bbcos A若a4，則ABC周長的最大值為_12由正弦定理，可將asin Bbcos A轉(zhuǎn)化為sin Asin Bsin Bcos A.又在ABC中，sin B0，sin Acos A，即tan A.0A，A.由于a4，由余弦定理得a2b2c22bccos A，得16b2c22bc·b2c2bc(bc)23bc，又bc，(bc)264，即bc8，abc12.8.如圖，在ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且ABAD,2ABBD，BC2BD，則sin C的值為_設(shè)ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sin C.三、解答題9.在四邊形ABCD中，ADBC，AB，A120°，BD3.(1)求AD的長；(2)若BCD105°，求四邊形ABCD的面積解(1)在ABD中，AB，A120°，BD3，由余弦定理得cos 120°，解得AD(AD2舍去)，AD的長為.(2)ADBC，A120°，BD3，ABAD，BCD105°，DBC30°，BDC45°，由正弦定理得，解得BC33，DC.如圖，過點(diǎn)A作AEBD，交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFBD，交BD于點(diǎn)F，則AEAB，CFBC，四邊形ABCD的面積SSABDSBDCBD·(AECF)×3×.10(2019·綿陽模擬)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且2csin B3atan A.(1)求的值；(2)若a2，求ABC面積的最大值解(1)2csin B3atan A，2csin Bcos A3asin A，由正弦定理得2cbcos A3a2，由余弦定理得2cb·3a2，化簡得b2c24a2，4.(2)a2，由(1)知b2c24a216，由余弦定理得cos A，根據(jù)基本不等式得b2c22bc，即bc8，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，等號(hào)成立，cos A.由cos A，得bc，且A，ABC的面積Sbcsin A××sin A3tan A.1tan2A1，tan A.S3tan A.ABC面積的最大值為.1ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知cos Ccos A1，則cos B的取值范圍為()A.B.C.D.Dcos Ccos A1，由余弦定理可得··1，化簡可得b2ac，則cos B，cos B1，即cos B.故選D.2在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若sin B2sin Acos C0，則當(dāng)cos B取最小值時(shí)，()A.B.C2D.B由sin B2sin Acos C0，根據(jù)正弦定理和余弦定理得b2a·0，a22b2c20，b2，cos B，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，cos B取最小值.故選B.3.如圖所示，在ABC中，C，BC4，點(diǎn)D在邊AC上，ADDB，DEAB，E為垂足，若DE2，則cos A_.ADDB，AABD，BDC2A.設(shè)ADDBx，在BCD中，可得.在AED中，可得.聯(lián)立可得，解得cos A.4(2019·石家莊模擬)已知ABC的面積為3，且內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列(1)若sin C3sin A，求邊AC的長；(2)設(shè)D為AC邊的中點(diǎn)，求線段BD長的最小值解(1)ABC的內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列，B60°.設(shè)A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由ABC的面積S3acsin B可得ac12.sin C3sin A，由正弦定理知c3a，a2，c6.ABC中，由余弦定理得b2a2c22accos B28，b2.即邊AC的長為2.(2)BD是AC邊上的中線，()，2(222·)(a2c22accosABC)(a2c2ac)(2acac)9，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取“”|3，即BD長的最小值為3.1. (2019·福建寧德質(zhì)檢)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞若要測(cè)量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD80，ADB135°，BDCDCA15°，ACB120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為_80由已知得，在ACD中，ACD15°，ADC150°，所以DAC15°，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15°，BCD135°，所以DBC30°，由正弦定理，得BC160sin 15°40()在ABC中，由余弦定理，得AB21 600×(84)1 600×(84)2×1 600×()×()×1 600×161 600×41 600×2032 000，解得AB80.故題圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80.2(2019·福州質(zhì)檢)在RtABC中，ACB90°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，CD5，CE3，且EDC的面積為3.(1)求邊DE的長；(2)若AD3，求sin A的值解(1)如圖，在ECD中，SECDCE·CDsinDCE×3×5×sinDCE3，所以sinDCE，因?yàn)?°DCE90°，所以cosDCE.所以DE2CE2CD22CD·CEcosDCE9252×3×5×28，所以DE2.(2)因?yàn)锳CB90°，所以sinACDsin(90°DCE)cosDCE，在ADC中，由正弦定理得，即，所以sin A.- 8 -