2021版高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第7講 雙曲線練習 理 北師大版

第7講 雙曲線 基礎題組練1“k<9”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A.因為方程1表示雙曲線，所以(25k)(k9)<0，所以k<9或k>25，所以“k<9”是“方程1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.2雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x解析：選A.法一：由題意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為y±x±x，故選A.法二：由e，得，所以該雙曲線的漸近線方程為y±x±x，故選A.3(2020·廣東揭陽一模)過雙曲線1(a0，b0)的兩焦點且與x軸垂直的直線與雙曲線的四個交點組成一個正方形，則該雙曲線的離心率為()A.1 BC. D2解析：選B.將x±c代入雙曲線的方程得y2y±，則2c，即有acb2c2a2，由e，可得e2e10，解得e(舍負)故選B.4設雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x解析：選C.如圖，不妨令B在x軸上方，因為BC過右焦點F(c，0)，且垂直于x軸，所以可求得B，C兩點的坐標分別為，.又A1，A2的坐標分別為(a，0)，(a，0)所以，.因為A1BA2C，所以·0，即(ca)(ca)·0，即c2a20，所以b20，故1，即1.又雙曲線的漸近線的斜率為±，故該雙曲線的漸近線的方程為y±x.5(2020·河北衡水三模)過雙曲線1(a0，b0)的右焦點F(，0)作斜率為k(k1)的直線與雙曲線過第一象限的漸近線垂直，且垂足為A，交另一條漸近線于點B，若SBOF(O為坐標原點)，則k的值為()A B2C D解析：選B.由題意得雙曲線過第一象限的漸近線方程為yx，過第二象限的漸近線的方程為yx，直線FB的方程為yk(x)，聯(lián)立方程得x，所以y，所以SBOF|OF|×|yB|××.令，得k2或k(舍)故選B.6(2020·黃山模擬)過雙曲線E：1(a0，b0)的左焦點(，0)，作圓(x)2y24的切線，切點在雙曲線E上，則E的離心率等于()A2 BC. D解析：選B.設圓的圓心為G，雙曲線的左焦點為F.由圓的方程(x)2y24，知圓心坐標為G(，0)，半徑R2，則FG2.設切點為P，則GPFP，PG2，PF22a，由|PF|2|PG|2|FG|2，即(22a)2420，即(22a)216，得22a4，a1，又c，所以雙曲線的離心率e，故選B.7設F為雙曲線1(a0，b0)的右焦點，若線段OF的垂直平分線與雙曲線的漸近線在第一象限內的交點到另一條漸近線的距離為|OF|，則雙曲線的離心率為()A2 BC2 D3解析：選B.雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，線段OF的垂直平分線為直線x，將x代入yx，則y，則交點坐標為，點到直線yx，即bxay0的距離d|OF|，得c2b2，即4a23c2，所以雙曲線的離心率e，故選B.8已知雙曲線C：y21，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A. B3C2 D4解析：選B.因為雙曲線y21的漸近線方程為y±x，所以MON60°.不妨設過點F的直線與直線yx交于點M，由OMN為直角三角形，不妨設OMN90°，則MFO60°，又直線MN過點F(2，0)，所以直線MN的方程為y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故選B.9(2020·湛江模擬)設F為雙曲線E：1(a，b0)的右焦點，過E的右頂點作x軸的垂線與E的漸近線相交于A，B兩點，O為坐標原點，四邊形OAFB為菱形，圓x2y2c2(c2a2b2)與E在第一象限的交點是P，且|PF|1，則雙曲線E的方程是()A.1 B1C.y21 Dx21解析：選D.雙曲線E：1的漸近線方程為y±x，因為四邊形OAFB為菱形，所以對角線互相垂直平分，所以c2a，AOF60°，所以.則有解得P.因為|PF|1，所以(1)2，解得a1，則b，故雙曲線E的方程為x21.故選D.10已知雙曲線1(b0)的左頂點為A，虛軸長為8，右焦點為F，且F與雙曲線的漸近線相切，若過點A作F的兩條切線，切點分別為M，N，則|MN|()A8 B4C2 D4解析：選D.因為雙曲線1(b0)的虛軸長為8，所以2b8，解得b4，因為a3，所以雙曲線的漸近線方程為y±x，c2a2b225，A(3，0)，所以c5，所以F(5，0)，因為F與雙曲線的漸近線相切，所以F的半徑為4，所以|MF|4，因為|AF|ac358，所以|AM|4，因為S四邊形AMFN2×|AM|·|MF|AF|·|MN|，所以2××4×4×8|MN|，解得|MN|4，故選D.11(2020·開封模擬)過雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點F作圓x2y2a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P，若2，則雙曲線的離心率為()A. BC. D2解析：選B.設P(0，3m)，由2，可得點M的坐標為，因為OMPF，所以·1，所以m2c2，所以M，由|OM|2|MF|2|OF|2，|OM|a，|OF|c得，a2c2，a2c2，所以e，故選B.12過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，D為虛軸上的一個端點，且ABD為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，)B(，)C(，2)D(1，)(，)解析：選D.設雙曲線：1(a>0，b>0)的左焦點為F1(c，0)，令xc，可得y±，可設A，B.又設D(0，b)，可得，.由ABD為鈍角三角形，可得DAB為鈍角或ADB為鈍角當DAB為鈍角時，可得·<0，即為0·<0，化為a>b，即有a2>b2c2a2.可得c2<2a2，即e<.又e>1，可得1<e<；當ADB為鈍角時，可得·<0，即為c2<0，化為c44a2c22a4>0，由e，可得e44e22>0.又e>1，可得e>.綜上可得，e的范圍為(1，)(，)故選D.13焦點在x軸上，焦距為10，且與雙曲線x21有相同漸近線的雙曲線的標準方程是_解析：設所求雙曲線的標準方程為x2(>0)，即1，則有425，解得5，所以所求雙曲線的標準方程為1.答案：114過雙曲線1(a0，b0)的左焦點F1作圓x2y2a2的切線交雙曲線的右支于點P，且切點為T，已知O為坐標原點，M為線段PF1的中點(點M在切點T的右側)，若OTM的周長為4a，則雙曲線的漸近線方程為_解析：連接OT，則OTF1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|b.設雙曲線的右焦點為F2，連接PF2，M為線段F1P的中點，O為坐標原點，所以OMPF2，所以|MO|MT|PF2|(|PF2|PF1|)b×(2a)bba.又|MO|MT|TO|4a，即|MO|MT|3a，故|MO|，|MT|，由勾股定理可得a2，即，所以漸近線方程為y±x.答案：y±x15已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點若·<0，則y0的取值范圍是_解析：由題意知a，b1，c，設F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，則(x0，y0)，(x0，y0)因為·<0，所以(x0)(x0)y<0，即x3y<0.因為點M(x0，y0)在雙曲線C上，所以y1，即x22y，所以22y3y<0，所以<y0<.答案：16如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點，若直線yx與雙曲線C交于P，Q兩點，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為_解析：由題意可得，矩形的對角線長相等，將直線yx代入雙曲線C方程，可得x±，所以·c，所以2a2b2c2(b2a2)，即2(e21)e42e2，所以e44e220.因為e>1，所以e22，所以e.答案：綜合題組練1過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點F(c，0)作圓O：x2y2a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為()A. BC.1 D解析：選A.法一：如圖所示，不妨設E在x軸上方，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，連接OE，PF，因為PF是圓O的切線，所以OEPE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F的中點，所以|OE|PF|，又|OE|a，所以|PF|2a，根據(jù)雙曲線的性質，|PF|PF|2a，所以|PF|4a，所以|EF|2a，在RtOEF中，|OE|2|EF|2|OF|2，即a24a2c2，所以e，故選A.法二：連接OE，因為|OF|c，|OE|a，OEEF，所以|EF|b，設F為雙曲線的右焦點，連接PF，因為O，E分別為線段FF，F(xiàn)P的中點，所以|PF|2b，|PF|2a，所以|PF|PF|2a，所以b2a，所以e.2(2020·漢中模擬)設F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)是雙曲線C：1(a0，b0)的左，右焦點，點P是C右支上異于頂點的任意一點，PQ是F1PF2的平分線，過點F1作PQ的垂線，垂足為Q，O為坐標原點，則|OQ|()A為定值aB為定值bC為定值cD不確定，隨P點位置變化而變化解析：選A.延長F1Q，PF2交于點M，則三角形PF1M為等腰三角形，可得Q為F1M的中點，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|F2M|2a，由三角形中位線定理可得|OQ|F2M|a，故選A.3以橢圓1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C，其左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.已知點M的坐標為(2，1)，雙曲線C上的點P(x0，y0)(x0>0，y0>0)滿足，則SPMF1SPMF2()A2 B4C1 D1解析：選A.由題意，知雙曲線方程為1，|PF1|PF2|4，由，可得，即F1M平分PF1F2.又結合平面幾何知識可得，F(xiàn)1PF2的內心在直線x2上，所以點M(2，1)就是F1PF2的內心故SPMF1SPMF2×(|PF1|PF2|)×1×4×12.4(2019·高考全國卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點若，·0，則C的離心率為_解析：通解：因為·0，所以F1BF2B，如圖所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因為，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以OABF2，所以F1BOA，因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan BF1O，tan BOF2.因為tan BOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以雙曲線的離心率e2.優(yōu)解：因為·0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B，又，所以A為F1B的中點，所以OAF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以OBF2為等邊三角形由F2(c，0)可得B，因為點B在直線yx上，所以c·，所以，所以e2.答案：25已知雙曲線C：y21，直線l：ykxm與雙曲線C相交于A，B兩點(A，B均異于左、右頂點)，且以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，則直線l所過定點為_解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(14k2)x28kmx4(m21)0，所以64m2k216(14k2)(m21)0，x1x20，x1x20，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.因為以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D(2，0)，所以kAD·kBD1，即·1，所以y1y2x1x22(x1x2)40，即40，所以3m216mk20k20，解得m2k或m.當m2k時，l的方程為yk(x2)，直線過定點(2，0)，與已知矛盾；當m時，l的方程為yk，直線過定點，經檢驗符合已知條件故直線l過定點.答案：6已知P為雙曲線C：1(a0，b0)右支上的任意一點，經過點P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B兩點若點A，B分別位于第一、四象限，O為坐標原點，當時，AOB的面積為2b，則雙曲線C的實軸長為_解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由，得(xx1，yy1)(x2x，y2y)，則xx1x2，yy1y2，所以1.由題意知A在直線yx上，B在yx上，則y1x1，y2x2.所以1，即b2(x1x2)2a2(x1x2)2a2b2，化簡得：a2x1x2，由漸近線的對稱性可得sinAOBsin 2AOx.所以AOB的面積為|OA|OB|sinAOB··sinAOB··x1x2···a2··1()2ab2b，解得a.所以雙曲線C的實軸長為.答案：13