中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二編 中檔題型突破專項(xiàng)訓(xùn)練篇 中檔題型訓(xùn)練（六）直角三角形的應(yīng)用試題

中檔題型訓(xùn)練(六)直角三角形的應(yīng)用命題規(guī)律解直角三角形的應(yīng)用是懷化市中考的必考內(nèi)容之一，它通常以實(shí)際生活為背景，考查學(xué)生運(yùn)用直角三角形知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型的能力，解答這類問題的方法是運(yùn)用“遇斜化直”的數(shù)學(xué)思想，即通過作輔助線(斜三角形的高線)把它轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，然后根據(jù)已知條件與未知元素之間的關(guān)系，利用解直角三角形的知識(shí)，列出方程來求解命題預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2017年懷化中考，仍會(huì)考此知識(shí)點(diǎn)，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)的可能性較大，也可能出現(xiàn)解答題.仰角、俯角問題【例1】(2016廣州中考)如圖，某無人機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)B，D.從A處看目標(biāo)B，D的俯角分別是30，60，此時(shí)無人機(jī)的飛行高度AC為60 m，隨后無人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30 m到達(dá)A處(1)求A，B之間的距離；(2)求從A處看目標(biāo)D的俯角的正切值【學(xué)生解答】解：(1)BAC903060，AC60 m，在RtABC中，有AB120(m)故A，B之間的距離為120 m；(2)過點(diǎn)D作DEAA，交AA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AD，DAC906030，AC60 m，在RtADC中，有CDACtanDAC60tan3020(m)AEDEACC90，四邊形ACDE是矩形EDAC60 m，EACD20 m，在RtAED中，有tanEAD.即從A處看目標(biāo)D的俯角的正切值為.1(2016瀘州中考)為了測(cè)量出樓房AC的高度，從距離樓底C處60 m的點(diǎn)D(點(diǎn)D與樓底C在同一水平面上)出發(fā)，沿斜面坡度為i1的斜坡DB前進(jìn)30 m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得樓頂A的仰角為53，求樓房AC的高度(參考數(shù)據(jù)：sin530.8，cos530.6，tan53，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值)解：AC(6015) m.2(2015達(dá)州中考)學(xué)習(xí)“利用三角函數(shù)測(cè)高”后，某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量了鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB，其測(cè)量步驟如下：(1)在中心廣場(chǎng)測(cè)點(diǎn)C處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)山頂A的仰角AFH30；(2)在測(cè)點(diǎn)C與山腳B之間的D處安置測(cè)傾器(C，D與B在同一直線上，且C，D之間的距離可以直接測(cè)得)，測(cè)得此時(shí)山頂上紅軍亭頂部E的仰角EGH45；(3)測(cè)得測(cè)傾器的高度CFDG1.5 m，并測(cè)得CD之間的距離為288 m；已知紅軍亭高度EA為12 m，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)求出鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB.(取1.732，結(jié)果保留整數(shù))解：設(shè)AHx m，在RtEHG中，EGH45，GHEHAEAHx12，GFCD288 m，HFGHGFx12288x300，在RtAHF中，AFH30，AHHFtanAFH，即x(x300)，解得x150(1)ABAHBH409.81.5411(m)答：鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB大約是411 m.方位角問題【例2】一艘觀光游船從港口A處以北偏東60的方向出港觀光，航行80海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào)一艘在港口正東方向B處的海警船接到求救信號(hào)，測(cè)得事故船在它的北偏東37方向，馬上以40海里/h的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處所需的大約時(shí)間(參考數(shù)據(jù)：sin530.8，cos530.6)【學(xué)生解答】解：過點(diǎn)C作CDAB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.由題意得CAD30，CBD53，AC80海里，CD40海里在RtCBD中，sin53，CB50(海里)行駛時(shí)間為1.25(h)答：海警船到達(dá)C處大約需1.25 h.3(2016宿遷中考)如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在點(diǎn)A處觀察燈塔P在北偏東60方向，該海輪向正東方向航行8海里到達(dá)點(diǎn)B處，這時(shí)觀察燈塔P恰好在北偏東45方向如果海輪繼續(xù)向正東方向航行，會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？試說明理由(參考數(shù)據(jù)：1.73)解：過點(diǎn)P作PCAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.由題意知PAC30，PBC45.設(shè)PCx，在RtPBC中，BCx，在RtPCA中，ACx，8xx，x10.92.PC>10，不會(huì)觸礁坡度、坡比問題【例3】(2015內(nèi)江中考)如圖，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們?cè)谶@棵樹正前方一座樓亭的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹頂端D的仰角為30，朝著這棵樹的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹頂端D的仰角為60.已知A點(diǎn)的高度AB為3 m，臺(tái)階AC的坡度為1(即ABBC1)，且B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹DE的高度(測(cè)傾器的高度忽略不計(jì))【學(xué)生解答】解：在RtABC中，tanACB，ACB30，BAC60，PAC30，ACD180ACBDCE90，DAC60.在RtABC中，ACB30，AC2AB6.在RtACD中，DCACtanDAC6tan606.在RtCDE中，DEDCsinDCE6sin609(m)答：樹DE的高為9 m.4(2016黃石中考)如圖，為測(cè)量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測(cè)得坡長(zhǎng)AB800 m，BC200 m，坡角BAF30，CBE45.(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰的高度CF.(1.414，結(jié)果精確到米)解：(1)EFABsin30400.答：AB段山坡高度為400 m；(2)CEBCsin45100141，CFCEEF541(m)答：山峰CF的高度約為541 m.生活中的解直角三角形問題【例4】(2015紹興中考)如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘架所成的角BAC，當(dāng)傘收緊時(shí)，結(jié)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長(zhǎng)度(單位：cm)如下：傘架DEDFAEAFABAC長(zhǎng)度363636368686(1)求AM的長(zhǎng)；(2)當(dāng)BAC104時(shí)，求AD的長(zhǎng)(精確到1 cm)(備用數(shù)據(jù)：sin520.788，cos520.615 7，tan521.279 9)【學(xué)生解答】解：(1)由題意，得AMAEDE363672(cm)故AM的長(zhǎng)為72 cm；(2)AP平分BAC，BAC104，EADBAC52.過點(diǎn)E作EGAD于G，AEDE36，AGDG，AD2AG.在AEG中，AGE90，AGAEcosEAG36cos52360.615722.165 2.AD2AG222.165 244(cm)答：AD的長(zhǎng)約為44 cm.5(2015重慶中考)某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中ABCD，大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC，PC正前方有兩艘漁船M，N.觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角為31，漁船N的俯角為45.已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長(zhǎng)為30 m.(1)求兩漁船M，N之間的距離；(結(jié)果精確到1 m)(2)已知壩高24 m，壩長(zhǎng)100 m，背水坡AD的坡度i10.25，為提高大壩防洪能力，請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i11.75，施工隊(duì)施工10天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備，工作效率提高到原來的2倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？(參考數(shù)據(jù)：tan310.60，sin310.52)解：(1)在RtPEN中，ENPE30 m，ME50(m)，則MNEMEN20(m)答：兩漁船M，N之間的距離是20 m；(2)過點(diǎn)D作DNAH于點(diǎn)N.由題意得：tanDAB4，tanH.在RtDAN中，AN6(m)，在RtDHN中，HN42(m)故AHHNAN42636(m)SADHAHDN432(m2)故需要填筑的土石方是VSADH10043210043 200(m3)設(shè)原計(jì)劃平均每天填筑土石方x m3，則原計(jì)劃天完成，則增加機(jī)械設(shè)備后，現(xiàn)在平均每天填筑2x m3.根據(jù)題意，得：10x2x43 200，解得x864.經(jīng)檢驗(yàn)，x864是原方程的解答：施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方864 m3.相似三角形與圓【例5】(2015六盤水中考)如圖，在RtACB中，ACB90，點(diǎn)O是AC邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連接OD.(1)求證：ADOACB；(2)若O的半徑為1，求證：ACADBC.【學(xué)生解答】證明：(1)AB是O的切線，ODAB，ACBADO90，AA，ADOACB；(2)由(1)知：ADOACB，ADBCACOD，OD1，ACADBC.6(2015遂寧中考)如圖，AB為O的直徑，直線CD切O于點(diǎn)D，AMCD于點(diǎn)M，BNCD于點(diǎn)N.(1)求證：ADCABD；(2)求證：AD2AMAB；(3)若AM，sinABD，求線段BN的長(zhǎng)解：(1)連接OD，直線CD切O于點(diǎn)D，CDO90，AB為O的直徑，ADB90，CDAADOADOBDO90，CDABDO，OBOD，BDOABD，ADCABD；(2)AMCD，AMDADB90，ADCABD，ADMABD，AD2AMAB；(3)sinABD，sinADM，AM，AD6，AB10，BD8，BNCD，BND90，DBNBDNADMBDN90，DBNADM，sinNBD，DN，BN.