高三數(shù)學第一篇八 選修系列刺 第1講 坐標系與參數(shù)方程 文

第第1 1講講 坐標系與參數(shù)方程坐標系與參數(shù)方程考情分析考情分析總綱目錄考點一 極坐標方程及其應(yīng)用考點二 參數(shù)方程及其應(yīng)用考點三 極坐標方程與參數(shù)方程的綜合問題考點一 極坐標方程及其應(yīng)用1.圓的極坐標方程若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為:2-20cos(-0)+-r2=0.幾個特殊位置的圓的極坐標方程:(1)當圓心位于極點,半徑為r時:=r;(2)當圓心位于M(a,0),半徑為a時:=2acos;(3)當圓心位于M,半徑為a時:=2asin.20,2a2.直線的極坐標方程若直線過點M(0,0),且與極軸所成的角為,則它的極坐標方程為sin(-)=0sin(0-).幾個特殊位置的直線的極坐標方程:(1)直線過極點的極坐標方程為=0和=+0;(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸的極坐標方程為cos=a;(3)直線過點M且平行于極軸的極坐標方程為sin=b.,2b3.極坐標與直角坐標的互化方法 點M直角坐標(x,y)極坐標(,)互化公式x,ycossin222xy,y(0)xtanx典型例題典型例題(2017課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為cos=4.(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;(2)設(shè)點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.解析解析(1)設(shè)P的極坐標為(,)(0),M的極坐標為(1,)(10).由題設(shè)知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的極坐標方程為=4cos(0).2,34cos因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點B的極坐標為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos,于是OAB的面積S=|OA|BsinAOB=4cos=22+.當=-時,S取得最大值2+.所以O(shè)AB面積的最大值為2+.12sin33sin 23231233方法歸納方法歸納(1)求曲線的極坐標方程的一般思路求曲線的極坐標方程問題通常可利用互化公式轉(zhuǎn)化為直角坐標系中的問題求解,然后再次利用互化公式即可轉(zhuǎn)化為極坐標方程,熟練掌握互化公式是解決問題的關(guān)鍵.(2)解決極坐標問題的一般思路一是將極坐標方程化為直角坐標方程,求出交點的直角坐標,再將其化為極坐標;二是將曲線的極坐標方程聯(lián)立,根據(jù)限制條件求出極坐標.跟蹤集訓跟蹤集訓1.在極坐標系中,已知圓O:=cos+sin 和直線l:sin=(0,02).(1)求圓O和直線l的直角坐標方程;(2)當(0,)時,求直線l與圓O的公共點的極坐標.422解析解析(1)圓O:=cos+sin,即2=cos+sin,故圓O的直角坐標方程為x2+y2-x-y=0.直線l:sin=,即sin-cos=1,即直線l的直角坐標方程為x-y+1=0.(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標方程,將兩方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標系下的公共點為(0,1),將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標為,即為所求.422220,10,xyxyxy 0,1,xy1,22.(2017安徽合肥第二次質(zhì)量檢測)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為=4cos.(1)求出圓C的直角坐標方程;(2)已知圓C與x軸相交于A,B兩點,直線l:y=2x關(guān)于點M(0,m)(m0)對稱的直線為l.若直線l上存在點P使得APB=90,求實數(shù)m的最大值.解析解析(1)由=4cos 得2=4cos,即x2+y2-4x=0,故圓C的直角坐標方程為x2+y2-4x=0.(2)l:y=2x關(guān)于點M(0,m)對稱的直線l的方程為y=2x+2m,而AB為圓C的直徑,故直線l上存在點P使得APB=90的充要條件是直線l與圓C有公共點,故2,解得-2-m-2,又m0,所以-2-m0或0b0)的參數(shù)方程為(為參數(shù));雙曲線-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為(為參數(shù));拋物線y2=2px(p0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).22xa22ybcos,sinxayb22xa22yb,costanaxyb22,2xptypt 典型例題典型例題(2017課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;(2)若C上的點到l距離的最大值為,求a.解析解析(1)曲線C的普通方程為+y2=1.當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0.由3cos,sinxy4,1xatyt 1729x22430,19xyxy解得或從而C與l的交點坐標為(3,0),.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos,sin)到l的距離為d=.當a-4時,d的最大值為,由題設(shè)得=,所以a=8;當a-4時,d的最大值為,3,0 xy21,2524.25xy 21 24,25 25|3cos4sin4|17a917a917a17117a 由題設(shè)得=,所以a=-16.綜上,a=8或a=-16.117a 17參數(shù)方程與普通方程的互化及參數(shù)方程的應(yīng)用(1)將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程,常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等,往往需要對參數(shù)方程進行變形,為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.(2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中,參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍,尤其是求取值范圍和最值問題,可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中,根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017云南昆明模擬)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為=.(1)寫出直線l的普通方程和曲線C1的參數(shù)方程;(2)若將曲線C1上各點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標縮短為原來的,得到曲線C2,設(shè)點P是曲線C2上任意一點,求點P到直線l的距離的最小值.12,232xtyt 66622解析解析(1)直線l的普通方程為x-y+2=0,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(2)由題意知,曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)).可設(shè)點P(cos,sin),則點P到直線l的距離d=,所以dmin=,即點P到直線l距離的最小值為.336cos,6sinxycos,3sinxy3|3cos3sin2 3|3 132sin2422 3622 3622.(2017河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(二)已知曲線C1的極坐標方程是=1,在以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸的平面直角坐標系中,將曲線C1所有點的橫坐標伸長為原來的3倍(縱坐標不變),得到曲線C2.(1)求曲線C2的參數(shù)方程;(2)直線l過點M(1,0),傾斜角為,與曲線C2交于A,B兩點,求|MA|MB|的值.4解析解析(1)曲線C1的直角坐標方程為x2+y2=1,則曲線C2的直角坐標方程為+y2=1.曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(2)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入曲線C2的直角坐標方程+y2=1,化簡得5t2+t-8=0,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2.依直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義知|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|,|MA|MB|=|t1t2|=.29x3cos,sinxy21cos1,4220sin42xttytt 29x285考點三 極坐標方程與參數(shù)方程的綜合問題典型例題典型例題(2017課標全國,22,10分)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)l3:(cos+sin)-=0,M為l3與C的交點,求M的極徑.解析解析(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2).2,xtykt2,xmmyk 21k設(shè)P(x,y),由題設(shè)得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y0).(2)C的極坐標方程為2(cos2-sin2)=4(02,).聯(lián)立得cos-sin=2(cos+sin).故tan=-,從而cos2=,sin2=,代入2(cos2-sin2)=4得2=5,(2),1(2).yk xyxk222(cossin)4,(cossin)2013910110所以交點M的極徑為.5解決極坐標、參數(shù)方程的綜合問題應(yīng)關(guān)注三點(1)在對于參數(shù)方程或極坐標方程應(yīng)用不夠熟練的情況下,可以先化成普通方程或直角坐標方程,這樣思路可能更加清晰.(2)對于一些運算比較復(fù)雜的問題,用參數(shù)方程計算會比較簡捷.(3)利用極坐標方程解決問題時,要注意題目所給的限制條件及隱含條件.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017湖北四校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為cos=.(1)求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標方程;(2)設(shè)M為曲線C上的動點,求點M到直線l的距離的最大值.5cos1,5sin2xy43 22解析解析(1)曲線C的普通方程為(x+1)2+(y-2)2=5.因為cos=,所以(cos-sin)=,所以直線l的直角坐標方程為x-y-3=0.(2)設(shè)M(cos-1,sin+2),則點M到直線l的距離d=,所以dmax=3+.43 22223 2255|5cos5sin6|210cos642252.(2017福建福州五校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中,直線l:.在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C:2=(02),若直線l與y軸正半軸交于點M,與曲線C交于A、B兩點,其中點A在第一象限.(1)寫出曲線C的直角坐標方程及點M對應(yīng)的參數(shù)tM(用表示);(2)設(shè)曲線C的左焦點為F1,若|F1B|=|AM|,求直線l的傾斜角的值.2cos,sinxtyt,02t為參數(shù)2312sin 解析解析(1)由2=得2+22sin2=3,+y2=1,即曲線C的直角坐標方程為+y2=1.又由題意可知點M的橫坐標為0,代入x=-+tcos,得tcos=,tM=.(2)由(1)知,F1的坐標為(-,0),則直線l過點F1.將代入+y2=1,化簡可得(1+2sin2)t2-2cos t-1=0,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,|t1+t2|=|tM|,即=,2312sin cos,sin,xy23x23x222cos22cos,sinxtyt 23x222 2cos12sin2cos得sin=,又0,=.12261.(2017安徽合肥模擬)已知曲線C的極坐標方程是=4cos.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù)).(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且|AB|=,求直線l的傾斜角的值.1cos,sinxtyt 14隨堂檢測隨堂檢測解析解析(1)由=4cos 得其直角坐標方程為(x-2)2+y2=4.(2)將代入圓C的直角坐標方程得(tcos-1)2+(tsin)2=4,化簡得t2-2tcos-3=0.設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,則|AB|=|t1-t2|=,4cos2=2,故cos=,即=或.1cos,sinxtyt 121 22cos,3,ttt t 2121 2()4ttt t24cos12 14224342.(2017河北石家莊質(zhì)量檢測(一)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為2cos2+22sin2=12,且直線l與曲線C交于P,Q兩點.(1)求曲線C的直角坐標方程及直線l恒過的定點A的坐標;(2)在(1)的條件下,若|AP|AQ|=6,求直線l的普通方程.2cos,sinxtyt解析解析(1)x=cos,y=sin,C:x2+2y2=12.直線l恒過的定點為A(2,0).(2)把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程中得:(sin2+1)t2+4cos t-8=0.設(shè)P,Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,由t的幾何意義知|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,點A在橢圓內(nèi),這個方程必有兩個實根,t1t2=-,|AP|AQ|=|t1t2|=6,即=6,sin2=,(0,),28sin1 281 sin 13sin=,cos=,直線l的斜率k=,因此,直線l的方程為y=(x-2)或y=-(x-2).3363222222