高三數(shù)學第一篇一 集合、常用邏輯用語、平面向量、不等式、復數(shù)、算法、推理與證明刺 第3講 不等式 文

第第3 3講不等式講不等式考情分析考情分析總綱目錄考點一 不等式的解法及應用考點二 基本不等式及其應用考點三 簡單的線性規(guī)劃問題（高頻考點）考點一 不等式的解法及應用1.一元二次不等式的解法把一元二次不等式先化為一般形式ax2+bx+c0(a0),再求相應一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系,確定一元二次不等式的解集.2.簡單分式不等式的解法(1)0(0(0,則x的取值范圍是.21,1,2log,1,xxx x答案答案(1)D(2)(-1,3)解析解析(1)當x1時,由2=,得x-1;當x1時,由log2x2=log24,得x4.故不等式f(x)2的解集為(-,-14,+).(2)f(2)=0,f(x-1)0,f(x-1)f(2),又f(x)是偶函數(shù),f(|x-1|)f(2),又f(x)在0,+)上單調(diào)遞減,|x-1|2,-2x-12,-1x2,則x0的取值范圍是()A.(-,-1)(2,+)B.(-,-1)C.(-,-1)D.(-,-1)2,+)223,2,32,2,xxxxx5,25,2答案答案B不等式f(x0)2可化為或解得x0或x00對一切aR恒成立,原不等式等價于(a+1)(a+2)0,a-1,故所求a的取值范圍是(-,-2)(-1,+).11aa2aa21a 2aa 234(1)(2)aaaa考點二 基本不等式及其應用1.三個重要不等式(1)a,bR+,a+b2,當且僅當a=b時取等號.(2)a,bR,a2+b22ab,當且僅當a=b時取等號.(3)a,bR,ab,當且僅當a=b時取等號.ab22ab222ab2.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法則(1)如果x0,y0,xy=p(定值),當x=y時,x+y有最小值2.(簡記:積定,和有最小值)(2)如果x0,y0,x+y=s(定值),當x=y時,xy有最大值s2.(簡記:和定,積有最大值)p14典型例題典型例題(1)(2017山東,12,5分)若直線+=1(a0,b0)過點(1,2),則2a+b的最小值為.(2)(2017天津,13,5分)若a,bR,ab0,則的最小值為.xayb4441abab答案答案 84解析解析(1)由題設可得+=1,a0,b0,2a+b=(2a+b)=2+24+2=8.故2a+b的最小值為8.(2)a4+4b42a22b2=4a2b2(當且僅當a2=2b2時“=”成立),=4ab+,由于ab0,4ab+2=4當且僅當4ab=時“=”成立,故當且僅當時,的最小值為4.1a2b12abba4ab4baab4,2,babaab當且僅當即時 等號成立4441abab2241a bab1ab1ab14abab1ab222,14ababab4441abab利用基本不等式求最值應注意的問題(1)利用基本不等式必須注意“一正二定三相等”的原則.(2)基本不等式在解題時一般不能直接應用,而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結合點”,即把研究對象化成適用基本不等式的形式,常見的轉化方法有:x+=x-a+a(xa);若+=1,則mx+ny=(mx+ny)1=(mx+ny)=ma+nb+ma+nb+2(字母均為正數(shù)).(3)兩次連用基本不等式,要注意等號取得條件的一致性.bxabxaaxbyabxynayxmbxyabmn方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.若a,b都是正數(shù),則的最小值為()A.7B.8C.9D.101ba41ab答案答案Ca,b都是正數(shù),=5+5+2=9,當且僅當b=2a0時取等號.故選C.1ba41abba4ab4baab2.已知正數(shù)x,y滿足x2+2xy-3=0,則2x+y的最小值是.答案答案3解析解析由題意得,y=(0 x),2x+y=2x+=3,當且僅當x=y=1時,等號成立.232xx3232xx2332xx321xx考點三 簡單的線性規(guī)劃問題(高頻考點)命題點1.求可行域的面積.2.求目標函數(shù)的最值.3.由最優(yōu)解情況或可行域情況確定參數(shù)的值(范圍).1.平面區(qū)域的確定方法平面區(qū)域的確定方法是“直線定界、特殊點定域”,二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的區(qū)域的交集.2.線性目標函數(shù)z=ax+by最值的確定方法線性目標函數(shù)z=ax+by中的z不是直線ax+by=z在y軸上的截距,把目標函數(shù)化為y=-x+可得是直線ax+by=z在y軸上的截距,要根據(jù)b的符號確定目標函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值.abzbzb典型例題典型例題(1)(2017課標全國,5,5分)設x,y滿足約束條件則z=x-y的取值范圍是()A.-3,0B.-3,2C.0,2D.0,3(2)(2017湖北四校第一次聯(lián)考)若變量x,y滿足約束條件則z=(x-1)2+y2的最大值為()A.4B.C.17D.163260,0,0,xyxy20,260,2,xyxyx17(3)(2017江西五市部分學校第三次聯(lián)考)已知實數(shù)x,y滿足不等式組若點P(2a+b,3a-b)在該不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi),則的取值范圍是()A.-12,-7B.C.D.-12,-21,2,4,xyxy21ba97,2912,2解析解析(1)由題意,畫出可行域(如圖中陰影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).由圖可知,目標函數(shù)z=x-y在點A,B處分別取得最小值與最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2,故z=x-y的取值范圍是-3,2.故選B.(2)z=(x-1)2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(x,y)與點P(1,0)間距離的平方.畫出約答案答案(1)B(2)C(3)C束條件所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,易知P(1,0)與A(2,4)間的距離最大,因此zmax=(2-1)2+42=17.(3)因為點P(2a+b,3a-b)在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi),所以即其表示的平面區(qū)域是以A,B,1,2,4xyxy21,32,234,abababab21,32,54,ababa43,554 2,5 5C為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界).可看作是可行域內(nèi)的點與點M(1,-2)連線的斜率,所以kMBkMC,即-12-.31,5521ba21ba21ba92解決線性規(guī)劃應注意的問題(1)首先要找到可行域,再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義,找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點),但要注意作圖一定要準確,整點問題要驗證解決.(2)畫可行域時應注意區(qū)域是否包含邊界.(3)對目標函數(shù)z=Ax+By中B的符號,一定要注意B的正負與z的最值的對應,要結合圖形分析.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017課標全國,7,5分)設x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為()A.0B.1C.2D.333,1,0,xyxyy答案答案D作出約束條件表示的可行域如圖:平移直線x+y=0,可得目標函數(shù)z=x+y在A(3,0)處取得最大值,zmax=3,故選D.2.(2017廣東惠州第三次調(diào)研)已知x,y滿足約束條件若z=ax+y的最大值為4,則a=()A.3B.2C.-2D.-30,2,0.xyxyy答案答案B作出可行域如圖.當a0時,顯然z=ax+y的最大值不為4;當a=0時,z=y在B(1,1)處取得最大值,為1,不符合題意;當0a1時,z=ax+y在A(2,0)處取得最大值,zmax=2a=4,得a=2,符合題意.綜上,a=2.1.已知關于x的不等式(ax-1)(x+1)b0,且ab=1,則下列不等式成立的是()A.a+log2(a+b)B.log2(a+b)a+C.a+log2(a+b)D.log2(a+b)a+0,b0,若不等式-0恒成立,則m的最大值為()A.4B.16C.9D.33mab3a1b答案答案Ba0,b0,由-0恒成立得m(3a+b)=10+恒成立.+2=6,當且僅當a=b時等號成立,故10+16,m16,即m的最大值為16.故選B.3mab3a1b31ab3ba3ab3ba3ab33baab3ba3ab4.(2017課標全國,7,5分)設x,y滿足約束條件則z=2x+y的最小值是()A.-15B.-9C.1D.92330,2330,30,xyxyy答案答案A根據(jù)線性約束條件畫出可行域,如圖.作出直線l0:y=-2x.平移直線l0,當經(jīng)過點A時,目標函數(shù)取得最小值.由2330,30 xyy得點A的坐標為(-6,-3).zmin=2(-6)+(-3)=-15.故選A.