2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《直線圓圓錐曲線》專題

優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)直線、圓、圓錐曲線專題專題熱點(diǎn)透析解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考考查的熱點(diǎn)。高考著重考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合，基本方法的靈活運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合、分類整合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程思想以及分析問題解決問題的能力。其中客觀題為基礎(chǔ)題和中檔題，主觀題常常是綜合性很強(qiáng)的壓軸題。本專題命題的熱點(diǎn)主要有：直線方程；線性規(guī)劃；直線與圓、圓錐曲線的概念和性質(zhì)；與函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用。熱點(diǎn)題型范例一、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程問題例 1如圖，M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：2.PMPN（）求點(diǎn)P的軌跡方程；（）設(shè)d為點(diǎn) P到直線 l：12x的距離，若22PMPN，求PMd的值。解：（I）由雙曲線的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長2a=2 的雙曲線.，因此半焦距c=2，實(shí)半軸a=1，從而虛半軸b=3，所以雙曲線的方程為x2-23y=1.(II)由（I）及（21）圖，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|2,知|PM|PN|,故 P為雙曲線右支上的點(diǎn)，所以|PM|=|PN|+2.將代入，得2|PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=117117,44舍去,所以|PN|=1174.因?yàn)殡p曲線的離心率e=ca=2，直線l：x=12是雙曲線的右準(zhǔn)線，故|PNd=e=2，所以 d=12|PN|，因此2|2|4|4|117|PMPMPNPNdPNPN1.1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(03)，(03)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C（）寫出C的方程；（）設(shè)直線1ykx與C交于A，B兩點(diǎn)k為何值時(shí)OAOB？此時(shí)AB的值是多少？解：（）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(03)(03)，為焦點(diǎn)，長半軸為2 的橢圓它的短半軸222(3)1b，故曲線C的方程為2214yx精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁，共 10 頁優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（）設(shè)1122()()A xyB xy，其坐標(biāo)滿足22141.yxykx，消去y并整理得22(4)230kxkx，故1212222344kxxx xkk，OAOB，即12120 x xy y而2121212()1y yk x xk xx，于是222121222223324114444kkkx xy ykkkk所以12k時(shí)，12120 x xy y，故OAOB當(dāng)12k時(shí)，12417xx，121217x x2222212121()()(1)()ABxxyykxx，而22212112()()4xxxxx x23224434134171717，所以4 6517AB二、圓的綜合問題例 2、在直角坐標(biāo)系中，A(a,0)(a0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),設(shè)三角形 ABC的外接圓圓心為E。（1）若圓 E與直線 CD相切，求實(shí)數(shù)a 的值；（2）設(shè)點(diǎn) p 在圓 E上，使三角形PCD的面積等于12 的點(diǎn) P有且只有三個(gè)，試問這樣的圓E是否存在？若存在，求出圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。三、圓錐曲線定義的應(yīng)用例 3.已知21FF、為橢圓192522yx的兩個(gè)焦點(diǎn)，過1F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若1222BFAF，則AB=8 3.1 已知雙曲線2222:1(0,0)xyCabab的兩個(gè)焦點(diǎn)為:(2,0),:(2,0),(3,7)FFP點(diǎn)的曲線C上.（）求雙曲線C的方程；（）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若OEF的面積為22,求直線l的方程解：()依題意，由a2+b2=4，得雙曲線方程為142222ayax（0a24)，將點(diǎn)（3，7）代入上式，得147922aa.解得a2=18（舍去）或a22，故所求雙曲線方程為.12222yx()依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1 k2)x24kx6=0.直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁，共 10 頁優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載,33,10)1(64)4(,01222，kkkkkk(1,3)(1,3).設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)，則由式得x1+x2=,16,142212kxxkk于是|EF|=2212221221)(1()()(xxkyyxx=|1|32214)(1222212212kkkxxxxk，而原點(diǎn)O到直線l的距離d212k,S OEF=.|1|322|1|32211221|21222222kkkkkkEFd若SOEF22，即,0222|1|3222422kkkk解得k=2，滿足.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=22x和.22xy四、圓錐曲線性質(zhì)問題例 5已知雙曲線22:1916xyC的左右焦點(diǎn)分別為12,FF，P為C的右支上一點(diǎn)，且212PFF F，則12PF F的面積等于(C)（）24（）36（）48（）96已知1F、2F是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足120MFMF的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（C）A(0,1)B1(0,2 C2(0,)2 D2,1)24.1 設(shè)ABC是等腰三角形，120ABC，則以AB，為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為（B ）A221B231C21D314.2 已知F是拋物線24Cyx：的焦點(diǎn)，AB，是C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為(2 2)M，則ABF的面積等于 2 五、圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題例 6 設(shè) A、B為橢圓22143xy上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（1）若 A、B滿足0OA OB,其中 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：2211OAOB為定值;精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁，共 10 頁優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（2）若過 A、B的橢圓的兩條切線的交點(diǎn)在直線x+2y=5 上，求證：直線AB恒過一個(gè)定點(diǎn)。六、圓錐曲線中的最值或范圍問題例 7已知橢圓 M的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線24 2xy的焦點(diǎn)是橢圓M的一個(gè)焦點(diǎn)，又點(diǎn) A(1,2)在橢圓 M上。（1）求橢圓 M的方程；（2）已知直線L 與向量(1,2)v共線，若直線L 與橢圓 M交于 B、C兩個(gè)點(diǎn)，求三角形ABC面積的最大值。6.1 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，(2 0)(0 1)AB，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線)0(kkxy與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)（）若6EDDF，求k的值；（）求四邊形AEBF面積的最大值解：（）依題設(shè)得橢圓的方程為2214xy，直線ABEF，的方程分別為22xy，(0)ykx k如圖，設(shè)001122()()()D xkxE xkxF xkx，其中12xx，且12xx，滿足方程22(14)4kx，故212214xxk由6EDDF知01206()xxxx，得021221510(6)777 14xxxxk；由D在AB上知0022xkx，得0212xk2210127 14kk，化簡(jiǎn)得2242560kk，解得23k或38k（）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)EF，到AB的距離分別為21112222(1214)55(14)xkxkkhk，22222222(1214)55(14)xkxkkhk又2215AB，所以四邊形AEBF的面積為121()2SABhh214(12)525(1 4)kk22(12)14kk2214421 4kkk2 2，當(dāng)21k，即當(dāng)12k時(shí)，上式取等號(hào)所以S的最大值為2 26.2.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是1(3 0)F，一條漸近線的方程是520 xy（）求雙曲線C的方程；D F B y x A O E 精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁，共 10 頁優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（）若以(0)k k為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)MN，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為812，求k的取值范圍解：（）設(shè)雙曲線C的方程為22221(00)xyabab，由題設(shè)得2295.2abba，解得2245.ab，所以雙曲線C的方程為22145xy（）設(shè)直線l的方程為(0)ykxm k，點(diǎn)11()M xy，22()N xy，的坐標(biāo)滿足方程組221.45ykxmxy，將式代入式，得22()145xkxm，整理得222(54)84200kxkmxm此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是2540k，且222(8)4(54)(420)0kmkm整理得22540mk由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)00()xy，滿足12024254xxkmxk，002554mykxmk從而線段MN的垂直平分線的方程為225145454mkmyxkkk此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為29054kmk，29054mk，由題設(shè)可得22199812 54542kmmkk整理得222(54)kmk，0k將上式代入式得222(54)540kkk，整理得22(45)(45)0kkk，0k解得502k或54k所以k的取值范圍是5555004224，精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁，共 10 頁優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載七、圓錐曲線中的探索性問題例 8、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左頂點(diǎn)A(-2,0),離心率 e=12，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于 P、Q兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)A）。（1）求橢圓 C的方程；（2）當(dāng)247PQ時(shí)，求直線PQ的方程；（3）判斷三角形AOQ 能否為等邊三角形，并說明理由。7.1 已知拋物線C：22yx，直線2ykx交C于AB，兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N（）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；（）是否存在實(shí)數(shù)k使0NA NB，若存在，求k的值；若不存在，說明理由解：（）如圖，設(shè)211(2)A xx，222(2)B xx，把2ykx代入22yx得2220 xkx，由韋達(dá)定理得122kxx，121x x，1224NMxxkxx，N點(diǎn)的坐標(biāo)為248k k，設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為284kkym x，將22yx代入上式得222048mkkxmx，直線l與拋物線C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk即lAB（）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使0NA NB，則NANB，又M是AB的中點(diǎn)，1|2MNAB由（）知121212111()(22)()4222Myyykxkxk xx22142224kkMNx軸，22216|2488MNkkkMNyy又222121212|1|1()4ABkxxkxxx x2222114(1)11622kkkk22216111684kkk，解得2k即存在2k，使0NA NBx A y 1 1 2 M N B O 精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁，共 10 頁優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載反饋練習(xí)：1已知變量xy，滿足約束條件1031010yxyxyx，則2zxy的最大值為（B）A4 B 2 C1 D42若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線430 xy和x軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（B ）A227(3)13xy B22(2)(1)1xyC22(1)(3)1xyD223(1)12xy3雙曲線22221xyab（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PE2|，則雙曲線離心率的取值范圍為（B ）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+）D.3，+)4設(shè)橢圓22221(00)xymnmn，的右焦點(diǎn)與拋物線28yx的焦點(diǎn)相同，離心率為12，則此橢圓的方程為（B ）A2211216xyB2211612xyC2214864xyD2216448xy5雙曲線)0,0(12222babyax的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是(C )A(1,2 B2,)C(1,21 D21,)6若雙曲線2221613xyp的左焦點(diǎn)在拋物線y2=2px的準(zhǔn)線上，則p 的值為(C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)427已知直線:40lxy與圓22:112Cxy，則C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為_28 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓)0(12222babyax的焦距為 2，以 O為圓心，a為半徑的圓，過點(diǎn)0,2ca作圓的兩切線互相垂直，則離心率e=229過橢圓22154xy的右焦點(diǎn)作一條斜率為2 的直線與橢圓交于AB，兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 7 頁，共 10 頁優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載的面積為5310已知圓22:6480C xyxy以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為221412xy11已知ABC的頂點(diǎn)AB，在橢圓2234xy上，C在直線2lyx：上，且ABl（）當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長及ABC的面積；（）當(dāng)90ABC，且斜邊AC的長最大時(shí)，求AB所在直線的方程解：（）因?yàn)锳Bl，且AB邊通過點(diǎn)(0 0)，所以AB所在直線的方程為yx設(shè)AB，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為1122()()xyxy，由2234xyyx，得1x所以1222 2ABxx又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離所以2h，122ABCSAB h（）設(shè)AB所在直線的方程為yxm，由2234xyyxm，得2246340 xmxm因?yàn)锳B，在橢圓上，所以212640m設(shè)AB，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為1122()()xyxy，則1232mxx，212344mx x，所以21232622mABxx又因?yàn)锽C的長等于點(diǎn)(0)m，到直線l的距離，即22mBC所以22222210(1)11ACABBCmmm所以當(dāng)1m時(shí)，AC邊最長，（這時(shí)12640）此時(shí)AB所在直線的方程為1yx12雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為12ll，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于1l的直線分別交12ll，于AB，兩點(diǎn)已知OAABOB、成等差數(shù)列，且BF與FA同向（）求雙曲線的離心率；（）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程解：（1）設(shè)OAmd，ABm，OBmd由勾股定理可得：222()()mdmmd得：14dm，tanbAOFa，4tantan23ABAOBAOFOA精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 8 頁，共 10 頁優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載由倍角公式22431baba，解得12ba，則離心率52e（2）過F直線方程為()ayxcb與雙曲線方程22221xyab聯(lián)立將2ab，5cb代入，化簡(jiǎn)有22158 52104xxbb222121212411()4aaxxxxx xbb將數(shù)值代入，有2232 528454155bb解得3b，得雙曲線方程為221369xy線性規(guī)劃問題例 2若A為不等式組002xyyx表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從 2 連續(xù)變化到1 時(shí)，動(dòng)直線xya掃過A中的那部分區(qū)域的面積為(C )A34B 1 C74D 5 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)ABC，的坐標(biāo)分別為(0 1)(4 2)(2 6)，如果()P xy，是ABC圍成的區(qū)域（含邊界）上的點(diǎn)，那么當(dāng)wxy取到最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_ 5,522.1 若實(shí)數(shù)x、y滿足10,0,2,xyxx則yx的取值范圍是（D）A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+)D.2，+)2.2若0,0 ba，且當(dāng)1,0,0yxyx時(shí)，恒有1byax，則以a,b為坐標(biāo)點(diǎn)(,)P a b所形成的平面區(qū)域的面積等于(C )（A）12（B）4（C）1 （D）2例、已知拋物線2yx和三個(gè)點(diǎn)00000(,)(0,)(,)M xyPyNxy、2000(,0)yxy，過點(diǎn)M的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，APBP、的延長線分別交曲線C于EF、精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 9 頁，共 10 頁優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（1）證明EFN、三點(diǎn)共線；（2）如果A、B、M、N四點(diǎn)共線，問：是否存在0y，使以線段AB為直徑的圓與拋物線有異于A、B的交點(diǎn)？如果存在，求出0y的取值范圍，并求出該交點(diǎn)到直線AB的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）設(shè)221122(,)(,)A x xB xx、，(,)(,)EEFFE xyB xy、則直線AB的方程：222121112xxyxxxxx，即121()yxxxx x因00(,)M xy在AB上，所以012012()yxxxx x又直線AP方程：21001xyyxyx由210012xyyxyxxy得：2210010 xyxxyx，所以22100012111,EEExyyyxxxyxxx同理，200222,FFyyxyxx，所以直線EF的方程：201201212()yxxyy xx xx x令0 xx得0120012()yyxxxyx x將代入上式得0yy，即N點(diǎn)在直線EF上，所以,E F N三點(diǎn)共線（2）由 已 知ABMN、共 線，所 以0000,(,)AyyByy以AB為 直 徑 的 圓 的 方 程：2200 xyyy，由22002xyyyxy得22000210yyyyy所以0yy（舍去），01yy。要使圓與拋物線有異于,A B的交點(diǎn)，則010y，所以存在01y，使以AB為直徑的圓與拋物線有異于,A B的交點(diǎn),TTT xy，則01Tyy，所以交點(diǎn)T到AB的距離為00011TyyyyyxPNOMAEBF精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 10 頁，共 10 頁