中考數(shù)學 知識點聚焦 第二十章 圓

第二十章圓考情分析高頻考點考查頻率所占分值1.垂徑定理1220分2.圓心角、弧、弦之間的關系3.圓周角定理4.圓內接四邊形5.三角形的外接圓與內切圓6.切線的判定及性質7.切線長及切線長定理8.正多邊形的有關計算9.弧長及扇形面積公式10.圓錐的側面積及全面積知能圖譜第47講圓的有關概念及性質知識能力解讀知能解讀（一）圓的概念1概念（1）在描述性定義：如圖所示，在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫作圓。其固定的端點叫作圓心，線段叫作半徑。（2）集合性定義：圓心為、半徑為的圓可以看成是所有到定點的距離等于定長的點的集合。2圓的表示方法以點為圓心的圓，記作，讀作“圓”。3圓的特征（1）圓上各點到定點（圓心）的距離都等于定長（半徑）；（2）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上。點撥（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。（2）“圓上的點”指的是圓周上的點，圓心不在圓周上。（3）確定一個圓需要兩個要素:一是定點，即圓心；二是定長，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定。記憶口訣：圓有兩要素，半徑和圓心；半徑定大小，圓心定位置。知能解讀（二）圓的有關概念名稱概念注意圖示弦連接圓上任意兩點的 線段叫作弦，如右圖 中“弦”直徑是圓中最長的弦不一定是直徑直徑經(jīng)過圓心的弦叫作直徑，如右圖中“直徑”但弦不一定是直徑弧、半圓、劣孤、優(yōu)弧圓上任意兩點間的部 分叫作圓弧，簡稱弧。 圓的任意一條直徑的 兩個端點把圓分成兩 條弧，每一條弧都叫 作半圓；大于半圓的 弧叫作優(yōu)弧，用三個字母表示，如右圖中 的；小于半圓的弧叫作劣弧，用兩個字母表示，如右圖中半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓能夠重合的兩個圓叫作等圓，容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關，和圓心有位置有關等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等孤長度相等的孤不一定是等孤知能解讀（三）圓的對稱性圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形和旋轉對稱圖形。將圓周繞圓心旋轉180能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心。將圓周周繞圓心旋轉任意一個角度都能與自身重合，這說明圓是旋轉對稱圖形。經(jīng)過圓心畫任意一條直線，并沿此直線將圓對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，所以圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸，所以圓有無數(shù)條對稱軸。知能解讀（四）垂直定理及其推論（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，是的直徑，是的弦，交于點，若，則注意（1）垂徑定理中的垂徑可以是直徑、半徑或過圓心的直線或線段，其本質是“過圓心”。（2）垂徑定理中的“弦”為直徑時，結論仍成立。（2）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖1-47-2，是非直徑的弦，是直徑，若則。注意垂徑定理的推論中，被平分的弦不能是直徑，如果弦是直徑，兩直徑互相平分，結論就不成立，如圖所示，直徑平分直徑，但不垂直于。（1）垂直定理是證明線段相等、弧相等的重要依據(jù)，同時也為圓的計算和作圖問題提供了思考的方法和理論依據(jù)。（2）一條直線如果具有：經(jīng)過圓心，垂直于弦，平分弦（被平分的弦不是直徑），平分弦所對的優(yōu)弧，平分弦所對的劣弧，這五條中的任意兩條，那么必然具備其余三條。知能解讀（五）圓心角的定義及與弧、弦之間的關系1圓心角的定義頂點在圓心的角叫作圓心角。2.弧、弦、圓心角之間的關系（1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。如圖所示，在中，若，則有，。（2）推論1：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等。（3）推論2：在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等。以上三個關系可總結為：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等。注意圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)，不能說圓心角等于它所對的弧。知能解讀（六）圓周角的定義及性質1.圓周角的概念頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫作圓周角。圓周角具備兩個特征：（1）角的頂點在圓上；（2）角的兩邊在圓內部的線段都是圓的弦。2.圓周角定理及推論（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（2）推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。（3）推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑。點撥（1）若將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結論就不一定成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類，它們一般不相等。（2）推論2給出了圓中一種常見的作輔助線的方法：若有直徑，通常作直徑所對的圓周角；反過來，若有的圓周角，通常作直徑。知能解讀（七）圓內接多邊形（1）圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫作圓內接多邊形，這個圓叫作這個多邊形的外接圓。（2）圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。拓展：對角互補的四邊形，其四個頂點在同一個圓上。方法技巧歸納方法技巧（一）運用垂徑定理進行解題的方法在應用垂徑定理與推論進行計算時，往往要構造如圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：。根據(jù)此公式，在，三個量中，知道任意兩個量就可以求出第三個量。 方法技巧（二）利用弧、弦、圓心角之間的關系解題在同圓或等圓中，兩個圓心角及其所對的兩條弧、兩條弦中只要有一組量相等，對應的另外兩組量也分別相等。點撥在圓中證明弧相等時往往要證明弧所對的圓心角或弦相等，在證明圓心角或弦相等時常由相應的半徑、弦的一半、圓心與弦中點的連線段構造直角三角形，通過證明三角形全等來解決。方法技巧（三）利用圓周角的性質進行解題的方法在求圓周角或圓心角的度數(shù)時，通常要找出或構造出同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角或圓心角。若題目中有直徑，常常添加輔助線，構造直徑所對的圓周角，利用垂徑定理或直角三角形求解。注意在圓內，同弧所對的圓周角相等是一個隱含條件，注意其在證明過程中的應用。方法技巧（四）利用圓內接四邊形的性質求角的度數(shù)利用“圓內接四邊形的對角互補”可以求一些不易求得的圓周角的度數(shù)。方法技巧（五）圓中兩條線段長度之和最小的問題在圓中求兩條線段長度之和最小的問題，通常通過轉化，運用垂徑定理和兩點之間線段最短來解決，考查靈活運用知識的能力。易混易錯辨析易混易錯知識1.直徑與弦的關系。直徑是弦，但弦不一定是直徑，只是過圓心的弦才是直徑，直徑是最長的弦。2.在同一個圓中，一條弦所對的圓周角有兩種情況，但解題時常因考慮不周漏解。3.應用垂徑定理的推論時，對條件的理解不透致錯。在應用垂徑定理的推論時，平分弦作條件時，必須指出被平分的弦是非直徑的弦，否則命題不一定成立。易混易錯（一）求平行弦之間的距離出現(xiàn)錯誤易混易錯（二）求一條弦所對的圓周角易漏解中考試題研究中考命題規(guī)律垂徑定理，圓周角定理以及圓心角、弧、弦之間的關系等內容是中考的必考內容，常在圓的半徑、弦長的計算中運用。圓周角的知識常與其他的知識綜合在一起考查，題型有選擇題、填空題及簡單的解答題或證明題，屬中、低檔題。中考試題（一）利用圓的相關概念求解中考試題（二）利用圓的相關概念推理證明第48講 點和圓、直線和圓的位置關系知識能力解讀知能解讀（一）點和圓的位置關系點和圓的位置關系點到圓心的距離與半徑的關系圖示文字語言符號語言點在圓內圓內各點到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點都在圓內點在圓內點在圓上圓內各點到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點都在圓上點在圓上點在圓外圓內各點到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點都在圓外點在圓外點撥（1）利用與的數(shù)量關系可以判斷點和圓的位置關系；同時，知道了點和圓的位置善長，也可以確定與的數(shù)量關系。（2）符號“”讀作“等價于”，它表示從符號“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。知能解讀（二）確定圓的條件 條件 類別過一點作圓過兩點作圓過不在同一條直線上的三點作圓理論依據(jù)經(jīng)過平面內一個點作圓時，只要以點以外任意一點為圓心，以這點到點的距離為半徑就能作出一個圓，這樣的圓能作出無數(shù)多個經(jīng)過平面內的兩個點，作圓，由于圓心到這兩個點的距離相等，所以圓心在線段的垂直平分線上，這樣的圓心有無數(shù)多個，這樣的圓能作出無數(shù)多個經(jīng)過不在同一條直線上的三點，作圓，圓心到這三個點的距離相等。因此，圓心是線段，的垂直平分線的交點，以點為圓心，以（或，）為半徑可作出經(jīng)過，三點的圓，這樣的圓只有一個圓形結論不在同一條直線上的三個點確定一個圓注意（1）“不在同一條直線上”這個條件不可忽略。（2）“確定”一詞理解為“有且只有”，說明這樣的圓是存在的，并且是唯一的。知能解讀（三）三角形的外接圓與外心（1）三角形外接圓的相關概念：經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫作三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫作這個三角形的外心。（2）三角形外心的性質：三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，等于外接圓的半徑。拓展銳角三角形的外心在三角形的內部，直角三角形的外心是斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部，即三角形的外心隨三角形的形狀變化其位置也發(fā)生變化，如圖所示。（1）“接”是說明三角形的頂點和圓的關系，而“內”“外”是相對的概念，以一個圖為準，說明另一個圖在它里面或外面。（2）任何一個三角形的外心均是其兩邊中垂線的交點，只要三角形確定，其外心和外接圓就唯一確定。知能解讀（四）直線與圓的位置關系直線與圓有三種位置關系：相交、相切、相離。直線和圓的位置關系相交相切相離定義直線和圓有兩個公共點，這時我們說這條直線和圓相交直線和圓只有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切直線和圓沒有公共點，這時我們說這條直線和圓相離圖形公共點個數(shù)210圓心到直線的距離d與半徑r的關系公共點名稱直線名稱交點割線切點切線點撥（1）設的半徑為，圓心到直線的距離為則有：直線和相交；直線和相切；直線和相離。（2）判斷直線和圓的位置關系有兩種方法：一是根據(jù)定義即可公共點個數(shù)判定；二是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關系判定。知能解讀（五）切線的判定與性質（1）判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。點撥切線必須滿足兩個條件：（1）經(jīng)過半徑的外端；（2）垂直于這條半徑，兩個條件缺一不可。（2）性質定理：圓的切線垂直于過點的半徑。拓展推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；經(jīng)過切點且垂直到切線的直線必經(jīng)過圓心。圓的切線性質定理與它的兩個推論涉及一條直線滿足的三個條件：（1）垂直于切線；（2）過切點；（3）過圓心，如果一條直線滿足于以上三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足另外一個條件，也可簡單地理解為“二推一”。知能解讀（六）切線長（1）定義：經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫作這點到圓的切線長。（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。點撥切線長定理包括線段相等和角相等的兩個結論及垂直關系等。知能解讀（七）三角形的內切圓（1）有關概念：與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫作三角形的內心。（2）三角形內心的性質：三角形的內心到三條邊的距離相等。點撥（1）設直角三角形的兩條直角邊長為斜邊長為c，則它的內切圓半徑；（2）三角形的頂點到其所在兩邊上的內切圓切點的距離相等；（3）三角形的周長與內切圓半徑乘積的一半等于這個三角形的面積，即其中為的內切圓半徑，分別為的三邊長。方法技巧歸納方法技巧（一）點和圓的位置關系的判別方法點和圓的位置關系，主要依據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關系來判斷：點與圓心的距離大于半徑，點在圓外；點與圓心的距離感等于半徑，點在圓上；點與圓心的距離小于半徑，點在圓內，反之亦然。點撥確定點與圓的位置關系的方法是計算點到圓心的距離，與半徑比較大小，若知道點與圓的位置關系，可判斷圓的半徑與點到圓心的距離的大小關系。方法技巧（二）三角形外接圓的應用方法三角形的外接圓的有關性質的應用主要有兩個方面：一是求外接圓的半徑；二是利用外接圓性質解決某些實際問題。點撥直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓。方法技巧（三）直線和圓的位置關系的判別方法直線和圓的位置關系要依據(jù)圓心到直線的距離和半徑的大小關系進行判斷，有相離、相切、相交三種情形。點撥根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷直線與圓的位置關系。當時，直線與圓相離；當時，直線與圓相切；當時，直線與圓相交。方法技巧（四）切線的判定方法圓的切線的判定方法通常分為兩種情況：若題目給出直線和圓，但沒有給出公共點時，需“作垂直，證半徑”，利用圓心到直線的距離與半徑的大小關系進行判定；若題目給出直線和圓的公共點時，利用“連半徑，證垂直”的方法進行判定。方法技巧（五）切線性質的應用方法當題目中給出圓的切線時，通常要作出過切點的半徑，構造直角三角形解決問題。點撥利用切線的性質構造直角三角形是解決此類問題常用的方法。方法技巧（六）切線長定理的應用切線長定理包括線段相等的角相等兩個結論，利用該定理可以證明線段相等、角相等、弧相等以及線段的垂直關系等。圖是切線長定理的一個基本圖形，可以得出很多結論，如;等。注意本題中的兩個常識性結論請牢記，以后可以直接用于填空題和選擇題的計算中：一是三條切線（本題中的）圍成的三角形的周長等于切線長（或）的2倍，二是方法技巧（七）三角形內切圓的應用三角形內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形三條邊的距離相等。解決內切圓的問題，還應利用“圓的切線垂直于過切點的半徑”這一性質，構造直角三角形解決問題。點撥本題不僅應用了三角形內心的性質，而且應用了切線的性質，綜合運用兩性質是解決問題的關鍵。易混易錯辨析易混易錯知識1.三角形的外心與內心混淆。三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等，而內心是三角形三個內角平分線的交點，它到三邊的距離相等。2.直線和圓的位置關系與線段和圓的位置關系混淆。易混易錯（一）證明某直線是圓的切線時，無論直線是否經(jīng)過圓上一點，都連接圓心與直線上的一點而致錯易混易錯（二）混淆線段和圓有一個公共點與直線和圓有一個公共點致錯中考試題研究中考命題規(guī)律本講的內容是中考的必考內容，主要考查直線和圓的位置關系、切線的判定和性質、三角形的內切圓及切線長定理等內容，題型有選擇題、填空題和證明題、多為中、低檔題。中考試題（一）與切線有關的求解問題中考試題（二）與切線有關的推理論證問題中考試題（三）創(chuàng)新問題的求解點撥本題是閱讀理解題，解答閱讀理解題的關鍵是讀懂題意，根據(jù)題中提供的方法與信息進行解題。第49講與圓有關的計算知能解答（一）正多邊形及有關概念（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。（2）正多邊形的畫法：把圓等分（），順次連接各等分點，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。（3）正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心（如圖1-49-1所示）。（4）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑（如圖所示）。（5）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的中心角（1-49-1所示）。（6）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距（如圖1-49-1所示）。知能解讀（二）正多邊形的有關計算（1）正邊形的每個內角都等于（2）正邊形的每個中心角都等于（3）正邊形的其他計算都可以轉化到由半徑、邊心距及邊長的一半組成的直角三角形中進行，如圖所示，設正邊形的半徑為一邊，邊心距，則有正邊形的周長面積點撥（1）由正邊形的內角與外角互補，正邊形的中心角等于外角，可得正邊形的內角與中心角互補。（2）正六邊形的邊長等于其外接圓半徑，正三角形的邊長等于其外接圓半徑的倍，正方形的邊長等于其外接圓半徑的倍。知能解讀（三）弧長的計算（1）弧長公式：（2）公式推導：在半徑為的圓中，因為的圓心角所對的弧長就是圓周長，所以的圓心角所對的弧長是即于是的圓心角所對的弧長為注意（1）在弧長公式中，表示的圓心角的倍數(shù)，不帶單位。例如圓的半徑，計算的圓心角所對弧長時，不要錯寫成（2）在弧長公式中，已知，中的任意兩個量，都可以求出第三個量。知能解讀（四）扇形面積的計算（1）扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫作扇形。（2）扇形的面積：為扇形所在圓的半徑，為扇形的弧長。（3）公式推導：在半徑為的圓中，因為360的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積，所以圓心角是的扇形面積是于是圓心角為的扇形面積是即其中為扇形的弧長，為半徑。點撥（1）扇形面積公式與三角形的面積公式有些類似，只需把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長看成底，半徑看成高即可。（2）在求扇形面積時，可根據(jù)已知條件來確定是使用公式還是（3）已知四個量中任意兩個，都可以求出另外兩個。（4）公式中的“”與弧長公式中的“”的意義是一樣的，表示“”的圓心角的倍數(shù)，參與計算時不帶單位。知能獬讀（五）圓錐的側面積與全面積（1）圓錐的有關概念：圓錐是由一個底面和一個側面圍面的幾何體（如圖所示）。連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫作圓錐的母線，連接頂點與底面圓心的線段叫作圓錐的母線，連接頂點與底面圓心的線段叫作圓錐的高。圓錐可以看作是一個直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉一周所形成的圖形，故圓錐的母線、高、底面半徑恰好構成一個直角三角形，滿足。已知任意兩個量，可以求出第三個量。 （2）圓錐的側面展開圖（如圖1-49-4所示）：沿著圓錐的母線可把圓錐的側面展開，圓錐的側面展開圖是扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長。（3）圓錐的側面積就是弧長為圓錐底面圓的周長、半徑為圓錐的母線長的扇形面積，其計算公式為圓錐的全面積就是它的側面積與它的底面積之和，其計算公式為。方法技巧歸納方法技巧（一）正多邊形的有關計算的技巧在解決正多邊形的有關計算時，通過作正邊形的半徑和連接圓心與邊的中點的線段，把正邊形分成個直角三角形，再利用勾股定理即可完成計算。方法技巧（二）利用弧長公式進行計算的方法在弧長公式中，已知中的任意兩個量，就可以求出第三個量。方法技巧（三）利用扇形面積公式進行計算的方法已知扇形面積，弧長圓心角，半徑中的任意兩個量，可求出另外的兩個量。在利用扇形面積公式時，要根據(jù)條件靈活選用合適的公式計算。方法技巧（四）圓錐的側面積、全面積的求法圓錐的側面展開圖是一個扇形，因而其面積是一個扇形的面積，扇形的半徑是圓錐的母線，弧長是底面圓的周長。在解決有關圓錐的計算時，關鍵是理清立體圖形與平面展開圖的聯(lián)系與區(qū)別，特別是不要混淆底面圓的半徑和展開圖扇形的半徑。點撥此題中扇形的面積就是圓錐的側面積。方法技巧（五）求圓錐側面上兩點之間的最短距離在圓錐側面上求最短距離，先把圓錐側面展開為平面，利用“兩點之間線段最短”求解。點撥圓錐的側面展開圖是一個扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長。本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，利用勾股定理解決問題。易混易錯辨析易混易錯知識1.對弧長或扇形面積公式中的理解錯誤。2.混淆弧長公式與扇形面積公式。3.混淆圓錐的底面半徑和扇形的半徑。圓錐的底面半徑是扇形是以扇形的弧長為周長的圓的半徑，而扇形的半徑是扇形圍成的圓錐的母線。易混易錯（一）對弧長或扇形面積公式中的理解錯誤易混易錯（二）不能正確區(qū)分圓錐的側面展開圖的扇形半徑和圓錐底面半徑，導致錯誤中考試題研究中考命題規(guī)律利用圓的周長、弧長、圓的面積、扇形的面積計算公式解決相關的幾何計算和簡單幾何組合圖形的計算是中考的必考內容之一，常以填空題、選擇題及解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。計算圓錐的側面積、表面積這一部分知識，常與實際生活相聯(lián)系，是中考的熱點之一，既考查學生掌握知識的情況，又考查學生運用知識解決實際問題的能力。中考試題（一）直接運用公式求解中考試題（二）求陰影部分的面積中考試題（三）圓的綜合運用