（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)鞏固練（四）理（含解析）

基礎(chǔ)鞏固練(四)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分，考試時(shí)間120分鐘第卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1(2019·河北武邑中學(xué)二次調(diào)研)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z，則()A.i B1iC1i D.i答案A解析由zi，得i.故選A.2(2019·浙江百校聯(lián)考)已知集合Ax|2x1，Bx|yln (1x)，則AB等于()Ax|x0 Bx|x1Cx|0x1 Dx|0x1答案C解析集合Ax|2x1x|x0，Bx|x<1，所以ABx|0x1，故選C.3(2019·石家莊二模)某商場(chǎng)一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說(shuō)法中正確的是()A支出最高值與支出最低值的比是81B4至6月份的平均收入為50萬(wàn)元C利潤(rùn)最高的月份是2月份D2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同答案D解析由題圖可知，支出最高值為60萬(wàn)元，支出最低值為10萬(wàn)元，其比是61，故A錯(cuò)誤；由題圖可知，4至6月份的平均收入為×(503040)40萬(wàn)元，故B錯(cuò)誤；由題圖可知，利潤(rùn)最高的月份為3月份和10月份，故C錯(cuò)誤；由題圖可知2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同，故D正確故選D.4(2019·赤峰市高三二模)已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，S817S4，則a5()A8 B8 C±16 D16答案D解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.當(dāng)q1時(shí)，S88a1,17S417×4a168a1，因?yàn)閍10，所以S88a1，S817S4；當(dāng)q1時(shí)，S8，17S4，故，解得q1或q2或q2，因?yàn)榈缺葦?shù)列an為正項(xiàng)等比數(shù)列，故q2，所以a5a1·2416，故選D.5(2019·佛山二模)已知(1x)n(nN*，n<10)的展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，則n的最大值是()A6 B7 C8 D9答案B解析已知(1x)n(nN*，n<10)的展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，n的展開式中沒(méi)有負(fù)一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr1Cxn3r，故n3r0，且n3r1，即n3r，且n3r1，n3,6,9，且n2,5,8，故n的最大值為7，故選B.6(2019·咸陽(yáng)二模)已知G是ABC的重心，若xy，x，yR，則xy()A1 B1 C. D答案C解析由題意，畫圖，如圖所示由重心的定義，可知×()()().xy.故選C.7(2019·浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A158 B162 C182 D324答案B解析如圖，該柱體是一個(gè)五棱柱，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個(gè)直角梯形組合而成，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S×3×327，因此，該柱體的體積V27×6162.故選B.8(2019·佛山一中二模)若函數(shù)f(x)(aR)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Af(a)>f(2a)>f(0) Bf(a)>f(0)>f(2a)Cf(2a)>f(a)>f(0) Df(2a)>f(0)>f(a)答案C解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(1)f(1)，即1a2，所以a1，易知當(dāng)x0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，又知2a>a>0，所以f(2a)>f(a)>f(0)，故選C.9(2019·大慶三模)第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，如圖，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形設(shè)直角三角形的一個(gè)銳角為，且tan2，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自小正方形區(qū)域的概率為()A. B. C. D.答案B解析設(shè)大正方形為ABCD，小正方形為EFGH，如圖，則tan2，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，則2，即AF2a，大正方形的邊長(zhǎng)為a，則小正方形與大正方形的面積比為.故選B.10(2019·廣州二模)若曲線yx32x22在點(diǎn)A處的切線方程為y4x6，且點(diǎn)A在直線mxny10(其中m0，n0)上，則的最小值為()A4 B32 C64 D8答案C解析設(shè)A(s，t)，yx32x22的導(dǎo)數(shù)為y3x24x，可得切線的斜率為3s24s，由切線方程為y4x6，可得3s24s4，t4s6，解得s2，t2或s，t，由點(diǎn)A在直線mxny10(其中m0，n0)上，可得2m2n1成立，則(2m2n)2264，當(dāng)且僅當(dāng)nm時(shí)，取得最小值64，故選C.11(2019·全國(guó)卷)設(shè)F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn)若|PQ|OF|，則C的離心率為()A. B. C2 D.答案A解析設(shè)雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQOF.設(shè)垂足為M，連接OP，如圖，則|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故選A.12(2019·深圳二模)如圖，在四面體ABCD中，ABCD2，ACBD，ADBC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)若用一個(gè)與直線EF垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為()A. B. C. D.答案B解析將四面體ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)、寬、高分別為，1的長(zhǎng)方體(如圖)由于EF，故截面為平行四邊形MNKL，可得KLKN，設(shè)異面直線BC與AD所成的角為，則sinsinHFBsinLKN，解得sin，S四邊形MNKLNK·KL·sinNKL2，當(dāng)且僅當(dāng)NKKL時(shí)取等號(hào)故選B.第卷(非選擇題，共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13(2019·合肥一模)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的取值范圍為_答案(1,6)解析由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z2xy為y2xz，由圖可知，當(dāng)直線y2xz過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為1；當(dāng)直線y2xz過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為6.所以z2xy的取值范圍為(1,6)14(2019·肇慶二模)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a12，a34，則aaaa_.答案1020解析數(shù)列an為等比數(shù)列，a12，a34，q22，a(a1qn1)24×(q2)n14×2n12n1，aaaa1020.15(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，則ABC的面積為_答案解析因?yàn)樵贏BC中，a2b2c2bc，根據(jù)余弦定理，可知cosA，所以A，sinA.又bc4，所以SABCbcsinA×4×.16(2019·宣城二模)關(guān)于x的方程kx2在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的最小值是_答案解析由kx2得kx2，設(shè)g(x)，則g(x)，則當(dāng)x時(shí)，g(x)0，即函數(shù)g(x)在上為增函數(shù)，且g(e)，直線ykx2過(guò)定點(diǎn)(0，2)，設(shè)過(guò)點(diǎn)(0，2)與g(x)相切的切線為l，若方程kx2在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，則直線ykx2在切線l與過(guò)點(diǎn)A的直線之間，由圖象知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)直線的斜率最小，此時(shí)k的最小值為k.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答(一)必考題：60分17(本小題滿分12分)(2019·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列an中，a11，an>0，前n項(xiàng)和為Sn，若an(nN*，且n2)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記cnan·2，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)在數(shù)列an中，anSnSn1(n2)，an，且an>0，÷得1(n2)，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，1(n1)×1n，Snn2.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1，當(dāng)n1時(shí)，a11，也滿足上式，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由(1)，知an2n1，cn(2n1)×22n1，則Tn1×23×235×25(2n1)×22n1，4Tn1×233×255×27(2n3)×22n1(2n1)×22n1，兩式相減，得3Tn22(232522n1)(2n1)22n122×(2n1)22n122n1，Tn.18(本小題滿分12分)(2019·山東德州一模)如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB>CD，E，F(xiàn)為AB的三等分點(diǎn)，且EFCD，將AED和BFC分別沿DE，CF折起到A，B兩點(diǎn)重合，記為點(diǎn)P.(1)證明：平面PCF平面PEF；(2)若PFFC，求PD與平面PFC所成角的正弦值解(1)證明：因?yàn)锳BCD，EFCD，所以四邊形CDEF為平行四邊形，所以AEDAFC；又因?yàn)锳EDBFC，所以AEDBFC，從而AFCBFC90°，所以PEED，PFFC.因?yàn)镃FDE，所以PEFC，又因?yàn)镻EPFP，PE平面PEF，PF平面PEF，所以FC平面PEF.又因?yàn)镕C平面PFC，所以平面PEF平面PFC.(2)在平面PEF內(nèi)作POEF，垂足為O，取CD的中點(diǎn)為M.由(1)可知，F(xiàn)C平面PEF，故FCPO，可得PO平面CDEF，所以POOM，POOF，又因?yàn)镻FPE，所以O(shè)EOF，所以O(shè)MFC，所以O(shè)FOM，所以O(shè)P，OF，OM兩兩垂直；以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PFFC2，而PEF為等邊三角形，所以P(0,0，)，F(xiàn)(1,0,0)，C(1,2,0)，D(1,2,0)，所以(1,0，)，(1,2，)，(1,2，)；設(shè)n(x，y，z)為平面PFC的法向量，由即可取n(，0,1)設(shè)PD與平面PFC所成的角為，則sin，所以PD與平面PFC所成角的正弦值為.19(本小題滿分12分)(2019·南昌一模)市面上有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈使用壽命都超過(guò)5000小時(shí)，經(jīng)銷商對(duì)B型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖：某商家因原店面需重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年，新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號(hào))即可正常營(yíng)業(yè)，經(jīng)了解，A型20瓦和B型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝，已知A型和B型節(jié)能燈每支的價(jià)格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價(jià)為0.75元/千瓦時(shí)，假定該店面正常營(yíng)業(yè)一年的照明時(shí)間為3600小時(shí)，若正常營(yíng)業(yè)期間燈壞了立即購(gòu)買同型燈更換(用頻率估計(jì)概率)(1)若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，求一年內(nèi)5支節(jié)能燈在使用期間恰好更換2支燈的概率；(2)若該商家全部使用A型節(jié)能燈或B型節(jié)能燈，則為保證正常營(yíng)業(yè)，應(yīng)購(gòu)買哪一種節(jié)能燈更合算？解(1)由頻率分布直方圖可知，B型節(jié)能燈使用壽命超過(guò)3600小時(shí)的頻率為0.0010×2000.2，用頻率估計(jì)概率，得B型節(jié)能燈使用壽命超過(guò)3600小時(shí)的概率為.所以一年內(nèi)一支B型節(jié)能燈在使用期間需更換的概率為.所以一年內(nèi)5支節(jié)能燈在使用期間恰好更換2支燈的概率為C2×3.(2)共需要安裝5支節(jié)能燈，若選擇A型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)5×1203600×5×20×0.75×103870元；若選擇B型節(jié)能燈，由于B型節(jié)能燈一年內(nèi)需更換的支數(shù)服從二項(xiàng)分布B，故一年內(nèi)需更換燈的支數(shù)的期望為5×4支故一年共需花費(fèi)×253600×5×55×0.75×103967.5元因?yàn)?67.5>870，所以該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈20(本小題滿分12分)(2019·重慶六區(qū)一模)如圖，已知橢圓C：1，其左、右焦點(diǎn)為F1(2，0)及F2(2,0)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|構(gòu)成等差數(shù)列(1)求橢圓C的方程；(2)記GF1D的面積為S1，OED(O為原點(diǎn))的面積為S2，試問(wèn)：是否存在直線AB，使得S1S2？請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)|AF1|，|F1F2|，|AF2|構(gòu)成等差數(shù)列，2a|AF1|AF2|2|F1F2|8，a4.又c2，b212，橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在直線AB，使得S1S2，顯然直線AB不能與x，y軸垂直，設(shè)直線AB的方程為yk(x2)，將其代入1，整理得(4k23)x216k2x16k2480，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，G.DGAB，×k1，解得xD，即D，RtGDF1和RtODE相似，若S1S2，則|GD|OD|， ，整理得8k290，方程8k290無(wú)解，不存在直線AB，使得S1S2.21(本小題滿分12分)(2019·新鄉(xiāng)模擬)已知函數(shù)f(x)x22x2aln x，若函數(shù)f(x)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：f(x1)f(x2)ln 2>0.解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域(0，)上有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，所以f(x)2x20在(0，)上有兩個(gè)根x1，x2，且x1<x2，即x2xa0在(0，)上有兩個(gè)不相等的根x1，x2，所以解得0<a<.(2)證明：由題意可知x1，x2(0<x1<x2)是方程x2xa0的兩個(gè)不等的實(shí)根，所以其中0<a<.故f(x1)f(x2)x2x12aln x1x2x22aln x2(x1x2)22x1x22(x1x2)2aln (x1x2)2aln a2a1，令g(a)2aln a2a1，其中0<a<，故g(a)2ln a<0，所以g(a)在上單調(diào)遞減，則g(a)>gln 2，即f(x1)f(x2)ln 2>0.(二)選考題：10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(2019·遼寧撫順一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為2sin，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求曲線C1的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)D為曲線C1上在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，且在點(diǎn)D處的切線與直線l平行，求點(diǎn)D的直角坐標(biāo)解(1)由已知，得22sin，得x2y22y，即x2(y1)21，所以C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)由(1)知曲線C1是以C(0,1)為圓心、半徑為1的圓，設(shè)點(diǎn)D(cos，1sin)，因?yàn)辄c(diǎn)D在第二象限，所以直線CD的斜率kCDtan，得，得點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為.23(本小題滿分10分)選修45：不等式選講(2019·遼寧撫順一模)已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)當(dāng)a1時(shí)，解不等式f(x)5；(2)若xR，f(x)|m1|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x1|，當(dāng)x1時(shí)，f(x)x1x12x5，解得x；當(dāng)1<x<1時(shí)，f(x)x1x125，解集為；當(dāng)x1時(shí)，f(x)x1x12x5，解得x；綜上，當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)5的解集為.(2)顯然有a0，由絕對(duì)值的三角不等式，得f(x)|xa|a|2，所以|m1|2，解得1m3，即m1,315