2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第七單元 第40講 空間幾何中的向量方法（第1課時(shí)）空間向量的應(yīng)用一練習(xí) 理 新人教A版

第1課空間向量的應(yīng)用一 1.若AB=CD+CE,則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A.相交B.平行C.在平面內(nèi)D.平行或在平面內(nèi)2.若平面的一個(gè)法向量為(1,2,0),平面的一個(gè)法向量為(2,-1,0),則平面和平面的位置關(guān)系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合3.已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M(1,-1,2),平面的一個(gè)法向量是n=(6,-3,6),則下列點(diǎn)P在平面內(nèi)的是()A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)4.已知平面內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一個(gè)法向量n=(-1,-1,-1),則不重合的兩個(gè)平面與的位置關(guān)系是. 5.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若ABBC,BP=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,則x+y=. 6.已知平面的一個(gè)法向量為(1,2,-2),平面的一個(gè)法向量為(-2,-4,k).若,則k等于()A.2B.-4C.4D.-27.如圖K40-1,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,點(diǎn)M在EF上,且AM平面BDE.以C為原點(diǎn),CD,CB,CE所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()圖K40-1A.(1,1,1)B.23,23,1C.22,22,1D.24,24,18.如圖K40-2所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B,AC上的點(diǎn),且A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()圖K40-2A.相交B.平行C.垂直D.不能確定9.如圖K40-3,F是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn),E是BB1上一點(diǎn),若D1FDE,則有()圖K40-3A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E=12EBD.E與B重合10.如圖K40-4,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=22,P為C1D1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn),則直線AM與直線PM所成的角為()圖K40-4A.60°B.45°C.90°D.以上都不正確11.已知P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).給出下列結(jié)論:APAB;APAD;AP是平面ABCD的法向量;APBD.其中正確結(jié)論的序號(hào)是. 12.如圖K40-5,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是棱BC,DD1上的點(diǎn),如果B1E平面ABF,則CE與DF的和為. 圖K40-513.2018·酒泉期末 如圖K40-6,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為AB,B1C的中點(diǎn).(1)用向量法證明平面A1BD平面B1CD1;(2)用向量法證明MN平面A1BD.圖K40-614.如圖K40-7,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)面PAD底面ABCD,且PA=PD=22AD,設(shè)E,F分別為PC,BD的中點(diǎn).(1)求證:EF平面PAD;(2)求證:平面PAB平面PDC.圖K40-715.如圖K40-8,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,CD為AB邊上的高,E,F分別是邊AC,BC的中點(diǎn),現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使APDE?如果存在,求出BPBC的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.圖K40-87課時(shí)作業(yè)(四十)A1.D解析AB=CD+CE,AB,CD,CE共面.則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi).2.C解析 由(1,2,0)·(2,-1,0)=1×2+2×(-1)+0×0=0,知兩平面的法向量互相垂直,所以兩平面互相垂直.故選C.3.A解析 因?yàn)閚=(6,-3,6)是平面的一個(gè)法向量,所以nMP,在選項(xiàng)A中,MP=(1,4,1),則n·MP=0,所以點(diǎn)P在平面內(nèi). 故選A.4.解析 設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),由m·AB=0,得y-z=0,即y=z,由m·AC=0,得x-z=0,即x=z,取x=1,則m=(1,1,1).m=-n,mn,又平面與平面不重合,.5.257解析 由條件得3+5-2z=0,x-1+5y+6=0,3(x-1)+y-3z=0,解得x=407,y=-157,z=4,x+y=407-157=257.6.C解析,兩平面的法向量平行,-21=-42=k-2,解得k=4.7.C解析 設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,連接OE,由AM平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF平面BDE=OE,得AMEO,又O是正方形ABCD中兩對(duì)角線的交點(diǎn),所以M為線段EF的中點(diǎn).在空間直角坐標(biāo)系中,E(0,0,1),F(2,2,1),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,知點(diǎn)M的坐標(biāo)為22,22,1.8.B解析 以C1為原點(diǎn),分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,A1M=AN=2a3,Ma,2a3,a3,N2a3,2a3,a,MN=-a3,0,2a3.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),C1D1=(0,a,0),MN·C1D1=0,MNC1D1.C1D1是平面BB1C1C的一個(gè)法向量,且MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C.9.A解析 以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),設(shè)E(2,2,z),則D1F=(0,1,-2),DE=(2,2,z),D1F·DE=0×2+1×2-2z=0,z=1,B1E=EB.10.C解析 以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.依題意,可得P(0,1,3),A(22,0,0),M(2,2,0),PM=(2,1,-3),AM=(-2,2,0),PM·AM=(2,1,-3)·(-2,2,0)=0,即PMAM,直線AM與直線PM所成的角為90°.11.解析AB·AP=0,AD·AP=0,ABAP,ADAP,則正確.又AB與AD不平行,AP是平面ABCD的法向量,則正確.由于BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1),BD與AP不平行,故錯(cuò)誤.12.1解析 以D1為原點(diǎn),D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)CE=x,DF=y,則易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),B1E=(x-1,0,1),FB=(1,1,y),B1E平面ABF,FB·B1E=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,則x+y=1.13.證明:(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0),2x+2z=0,2x+2y=0,令z=1,則n=(-1,1,1).同理可得平面B1CD1的一個(gè)法向量為m=(-1,1,1),則mn,平面A1BD平面B1CD1.(2)M,N分別為AB,B1C的中點(diǎn),M(2,1,0),N(1,2,1),則MN=(-1,1,1),MNn,MN平面A1BD.14.證明:(1)如圖,取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OF.因?yàn)镻A=PD,所以POAD.因?yàn)閭?cè)面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD.又O,F分別為AD,BD的中點(diǎn),所以O(shè)FAB.又四邊形ABCD是正方形,所以O(shè)FAD.因?yàn)镻A=PD=22AD,所以PAPD,OP=OA=a2.以O(shè)為原點(diǎn),OA,OF,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則Aa2,0,0,F0,a2,0,D-a2,0,0,P0,0,a2,C-a2,a,0.因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),所以E-a4,a2,a4.易知平面PAD的一個(gè)法向量為OF=0,a2,0,因?yàn)镋F=a4,0,-a4,且OF·EF=0,a2,0·a4,0,-a4=0,所以EF平面PAD.(2)因?yàn)镻A=a2,0,-a2,CD=(0,-a,0),所以PA·CD=a2,0,-a2·(0,-a,0)=0,所以PACD,所以PACD.又PAPD,PDCD=D,所以PA平面PDC.因?yàn)镻A平面PAB,所以平面PAB平面PDC.15.解:(1)AB平面DEF,理由如下:在ABC中,由E,F分別是AC,BC的中點(diǎn),得EFAB.又因?yàn)锳B平面DEF,EF平面DEF,所以AB平面DEF.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB,DC,DA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),則A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,23,0),E(0,3,1),故DE=(0,3,1).假設(shè)存在點(diǎn)P(x,y,0)滿足條件,則AP=(x,y,-2),所以AP·DE=3y-2=0,所以y=233.又BP=(x-2,y,0),PC=(-x,23-y,0),BPPC,所以(x-2)(23-y)=-xy,所以3x+y=23.把y=233代入上式得x=43,所以BP=13BC,所以在線段BC上存在點(diǎn)P,使APDE,此時(shí)BPBC=13.