（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點規(guī)范練21 三角恒等變換（含解析）新人教A版

考點規(guī)范練21三角恒等變換一、基礎(chǔ)鞏固1.已知sin 2=13,則cos2-4=()A.-13B.13C.-23D.232.已知2sin 2=1+cos 2,則tan 2=()A.43B.-43C.43或0D.-43或03.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,則f(x)的最小正周期和一個單調(diào)遞增區(qū)間分別為()A.,0,B.2,-4,34C.,-8,38D.2,-4,44.(2018全國,理10)若f(x)=cos x-sin x在-a,a上是減函數(shù),則a的最大值是()A.4B.2C.34D.5.已知為銳角,若cos+6=45,則sin2+12的值為()A.17250B.17350C.13350D.2256.為了得到函數(shù)y=sin 2x+cos 2x的圖象,可以將函數(shù)y=cos 2x-sin 2x的圖象()A.向右平移4個單位長度B.向左平移4個單位長度C.向右平移2個單位長度D.向左平移2個單位長度7.已知函數(shù)f(x)=cos4x-3+2cos22x,將函數(shù)y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將所得函數(shù)圖象向右平移6個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則函數(shù)y=g(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為()A.-3,6B.-4,4C.6,23D.4,348.已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A>0),則A=,b=. 9.設(shè)f(x)=1+cos2x2sin2-x+sin x+a2sinx+4的最大值為2+3,則實數(shù)a=. 10.已知點4,1在函數(shù)f(x)=2asin xcos x+cos 2x的圖象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間.11.已知函數(shù)f(x)=32-3sin2x-sin xcos x(>0),且y=f(x)的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為4.(1)求的值;(2)求f(x)在區(qū)間,32上的最大值和最小值.二、能力提升12.已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+3cos x)(>0),若存在實數(shù)x0,使得對任意的實數(shù)x,都有f(x0)f(x)f(x0+2 016)成立,則的最小值為()A.12016B.14032C.12016D.1403213.已知cos =13,cos(+)=-13,且,0,2,則cos(-)的值等于()A.-12B.12C.-13D.232714.已知函數(shù)f(x)=2sinx+524cosx+524-2cos2x+524+1,則f(x)的最小正周期為;函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 15.(2018北京,文16)已知函數(shù)f(x)=sin2x+3sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在區(qū)間-3,m上的最大值為32,求m的最小值.三、高考預(yù)測16.已知f(x)=1+1tanxsin2x-2sinx+4·sinx-4.(1)若tan =2,求f()的值;(2)若x12,2,求f(x)的取值范圍.考點規(guī)范練21三角恒等變換1.D解析由題意得cos2-4=12(cos+sin)2=12(1+sin2)=23.2.C解析因為2sin2=1+cos2,所以2sin2=2cos2.所以2cos(2sin-cos)=0,解得cos=0或tan=12.若cos=0,則=k+2,kZ,2=2k+,kZ,所以tan2=0.若tan=12,則tan2=2tan1-tan2=43.綜上所述,故選C.3.C解析由f(x)=sin2x+sinxcosx=1-cos2x2+12sin2x=12+2222sin2x-22cos2x=12+22sin2x-4,則T=22=.又2k-22x-42k+2(kZ),k-8xk+38(kZ)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.故選C.4.A解析由題意知f(x)=2cosx+4,f(x)的部分圖象如圖所示.要使f(x)在-a,a上是減函數(shù),則a的最大值為4.5.A解析因為為銳角,cos+6=45,所以sin+6=35,sin2+6=2425,cos2+6=725,所以sin2+12=sin2+6-4=2425×22-725×22=17250,故選A.6.A解析y=sin2x+cos2x=222sin2x+22cos2x=2cos2x-8,y=cos2x-sin2x=222cos2x-22sin2x=2cos2x+8=2cos2x+4-8,只需將函數(shù)y=cos2x-sin2x的圖象向右平移4個單位長度可得函數(shù)y=sin2x+cos2x的圖象.7.B解析函數(shù)f(x)=cos4x-3+2cos22x=cos4x-3+1+cos4x=12cos4x+32sin4x+1+cos4x=32cos4x+32sin4x+1=3sin4x+3+1,y=g(x)=3sin2x+1.由2k-22x2k+2,kZ,得k-4xk+4,kZ,當(dāng)k=0時,得-4x4,故選B.8.21解析因為2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2x+4+1,所以A=2,b=1.9.±3解析f(x)=1+2cos2x-12cosx+sinx+a2sinx+4=cosx+sinx+a2sinx+4=2sinx+4+a2sinx+4=(2+a2)sinx+4.依題意有2+a2=2+3,則a=±3.10.解(1)函數(shù)f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.f(x)的圖象過點4,1,1=asin2+cos2,可得a=1.f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+4.函數(shù)的最小正周期T=22=.(2)由2k+22x+432+2k,kZ,可得k+8x58+k,kZ.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k+8,58+k,kZ.x(0,),當(dāng)k=0時,可得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為8,58.11.解(1)f(x)=32-3sin2x-sinxcosx=32-3·1-cos2x2-12sin2x=32cos2x-12sin2x=-sin2x-3.因為f(x)的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為4,即T=4×4=,又>0,所以=1.(2)由(1)知f(x)=-sin2x-3.因為x32,所以532x-383,所以-32sin2x-31.因此-1f(x)32,故f(x)在區(qū)間,32上的最大值和最小值分別為32,-1.12.C解析由題意可得,f(x0)是函數(shù)f(x)的最小值,f(x0+2016)是函數(shù)f(x)的最大值.又f(x)=cosx(sinx+3cosx)=12sin2x+3·1+cos2x2=sin2x+3+32,所以要使取最小值,只需保證在區(qū)間x0,x0+2016上為一個完整的單調(diào)遞增區(qū)間即可.故2016=12·2min,求得min=12016,故的最小值為12016,故選C.13.D解析0,2,2(0,).cos=13,cos2=2cos2-1=-79,sin2=1-cos22=429.又,0,2,+(0,),sin(+)=1-cos2(+)=223,cos(-)=cos2-(+)=cos2cos(+)+sin2sin(+)=-79×-13+429×223=2327.14.k-3,k+6(kZ)解析f(x)=2sinx+524cosx+524-2cos2x+524+1=sin2x+512-cos2x+512=2sin2x+512cos4-cos2x+512sin4=2sin2x+512-4=2sin2x+6.f(x)的最小正周期T=22=.因此f(x)=2sin2x+6.當(dāng)2k-22x+62k+2(kZ),即k-3xk+6(kZ)時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k-3,k+6(kZ).15.解(1)因為f(x)=1-cos2x2+32sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin2x-6+12,所以f(x)的最小正周期為T=22=.(2)由(1)知f(x)=sin2x-6+12.因為x-3,m,所以2x-6-56,2m-6.要使f(x)在-3,m上的最大值為32,即sin2x-6在-3,m上的最大值為1.所以2m-62,即m3.所以m的最小值為3.16.解(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sinx+4·cosx+4=1-cos2x2+12sin2x+sin2x+2=12+12(sin2x-cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由tan=2,得sin2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45.cos2=cos2-sin2sin2+cos2=1-tan21+tan2=-35.所以f()=12(sin2+cos2)+12=35.(2)由(1)得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=22sin2x+4+12.由x12,2,得2x+4512,54.所以-22sin2x+41,所以0f(x)2+12,所以f(x)的取值范圍是0,2+12.9