（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題6 數(shù)列 6.3 等比數(shù)列檢測(cè)

6.3等比數(shù)列挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系.2018浙江,10等比數(shù)列的概念不等式2015浙江文,10等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用能利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.2017浙江,22等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用不等式證明2016浙江文,17等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用數(shù)列求和分析解讀1.考查等比數(shù)列的定義與判定,通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的求解,等比數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí).2.預(yù)計(jì)2020年高考試題中,對(duì)等比數(shù)列的考查仍以概念、性質(zhì)、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和等基本量為主,以中檔題形式出現(xiàn),復(fù)習(xí)時(shí)要足夠重視.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算1.(2018浙江嘉興高三期末,11)各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列an,若a1=1,a5=9,則a3=,公比q=. 答案3;±2.(2018浙江嵊州高三期末質(zhì)檢,11)我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著九章算術(shù)中,有如下問(wèn)題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問(wèn)日織幾何?”這個(gè)問(wèn)題用今天的白話敘述為:有一位善于織布的女子,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問(wèn)這位女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述問(wèn)題的已知條件,可求得該女子第1天織布的尺數(shù)為. 答案考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1.(2018浙江溫州適應(yīng)性測(cè)試,5)已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列,bn=,數(shù)列bn的前n項(xiàng),前2n項(xiàng),前3n項(xiàng)的和分別為A,B,C,則() A.A+B=CB.B2=ACC.(A+B)-C=B2D.(B-A)2=A(C-B)答案D2.(2018浙江杭州二中期中,6)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn,log2a3+log2a7=2,則T9的值為()A.±512B.512C.±1 024D.1 024答案B煉技法【方法集訓(xùn)】方法1等比數(shù)列中“基本量法”的解題方法1.(2018浙江金華十校期末,6)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論一定成立的是()A.若a5>0,則a2 017<0B.若a6>0,則a2 018<0C.若a5>0,則S2 017>0D.若a6>0,則S2 018>0答案C2.(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,11)已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為1,前3項(xiàng)的和為13,且a2>a1,則數(shù)列an的公比為,數(shù)列l(wèi)og3an的前10項(xiàng)和為. 答案3;45方法2等比數(shù)列的判定方法1.在數(shù)列an中,a1=3,an+1=2an+2(nN*).(1)求證:an+2是等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=,Sn=b1+b2+b3+bn,證明:對(duì)任意nN*,都有Sn<.解析(1)由an+1=2an+2(nN*),得an+1+2=2(an+2),又a1=3,a1+2=5,an+2是首項(xiàng)為5,公比為2的等比數(shù)列,an+2=5×2n-1,an=5×2n-1-2.(2)證明:由(1)可得bn=,Sn=,Sn=,-可得Sn=.Sn<,又Sn+1-Sn=bn+1=>0,數(shù)列Sn單調(diào)遞增,SnS1=,對(duì)任意nN*,都有Sn<.2.已知數(shù)列an滿足:a1=1,an+1=(nN*),設(shè)bn=a2n-1.(1)求b2,b3,并證明bn+1=2bn+2;(2)證明:數(shù)列bn+2為等比數(shù)列;若a2k,a2k+1,9+a2k+2成等比數(shù)列,求正整數(shù)k的值.解析(1)b2=a3=2a2=2(a1+1)=4,b3=a5=2a4=2(a3+1)=10.同理,bn+1=a2n+1=2a2n=2(a2n-1+1)=2(bn+1)=2bn+2.(2)證明:=2,則數(shù)列bn+2為等比數(shù)列.由已知得,b1=a1=1,由得bn+2=3×2n-1,所以bn=3×2n-1-2,即a2n-1=3×2n-1-2,則a2n=a2n-1+1=3×2n-1-1.因?yàn)閍2k,a2k+1,9+a2k+2成等比數(shù)列,所以(3×2k-2)2=(3×2k-1-1)(3×2k+8),令2k=t,得(3t-2)2=(3t+8),整理得3t2-14t+8=0,解得t=或4.因?yàn)閗N*,所以2k=4,得k=2.過(guò)專題【五年高考】A組自主命題·浙江卷題組考點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算(2015浙江文,10,6分)已知an是等差數(shù)列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1+a2=1,則a1=,d=. 答案;-1考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則() A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案BB組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算1.(2017課標(biāo)全國(guó)理,3,5分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈() A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞答案B2.(2014重慶,2,5分)對(duì)任意等比數(shù)列an,下列說(shuō)法一定正確的是() A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列答案D3.(2017課標(biāo)全國(guó)理,14,5分)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4 =. 答案-84.(2016課標(biāo)全國(guó),15,5分)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為. 答案645.(2018課標(biāo)全國(guó)文,17,12分)等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m.解析本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式.(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,則Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒(méi)有正整數(shù)解.若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.綜上,m=6.解后反思等比數(shù)列基本量運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略:(1)求通項(xiàng).求出等比數(shù)列的兩個(gè)基本量a1和q后,通項(xiàng)便可求出.(2)求特定項(xiàng).利用通項(xiàng)公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)求解.(3)求公比.利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)建立方程(組)求解.(4)求前n項(xiàng)和.直接將基本量代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解或利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.6.(2015四川,16,12分)設(shè)數(shù)列an(n=1,2,3,)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.解析(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).從而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因?yàn)閍1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故an=2n.(2)由(1)得=.所以Tn=+=1-.評(píng)析本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1.(2015課標(biāo),4,5分)已知等比數(shù)列an滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84答案B2.(2014大綱全國(guó),10,5分)等比數(shù)列an中,a4=2,a5=5,則數(shù)列l(wèi)g an的前8項(xiàng)和等于()A.6B.5C.4D.3答案C3.(2017江蘇,9,5分)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=,S6=,則a8=. 答案324.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于. 答案2n-15.(2015湖南,14,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=. 答案3n-16.(2014安徽,12,5分)數(shù)列an是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=. 答案1C組教師專用題組考點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算1.(2018北京理,4,5分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為() A.fB.fC.fD.f答案D2.(2014江蘇,7,5分)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是. 答案43.(2014天津,11,5分)設(shè)an是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為. 答案-4.(2018課標(biāo)全國(guó)文,17,12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列bn是不是等比數(shù)列,并說(shuō)明理由;(3)求an的通項(xiàng)公式.解析(1)由條件可得an+1=an.將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.從而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.由條件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.方法規(guī)律等比數(shù)列的判定方法:證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法或等比中項(xiàng)法,通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法只用于選擇題、填空題中的判定.若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.5.(2016課標(biāo)全國(guó),17,12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=1+an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5=,求.解析(1)由題意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10.(2分)由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以=.因此an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是an=·.(6分)(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-=,即=.解得=-1.(12分)思路分析(1)先由題設(shè)利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關(guān)系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是看an+1與an之比是不是一常數(shù),其中說(shuō)明an0是非常重要的.(2)利用第(1)問(wèn)的結(jié)論解方程求出.6.(2016四川,19,12分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)雙曲線x2-=1的離心率為en,且e2=,證明:e1+e2+en>.解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,兩式相減得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan對(duì)所有n1都成立.所以,數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列.從而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0,因?yàn)閝>0,所以q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以雙曲線x2-=1的離心率en=.由e2=,解得q=.因?yàn)?+q2(k-1)>q2(k-1),所以>qk-1(kN*).于是e1+e2+en>1+q+qn-1=,故e1+e2+en>.疑難突破由(1)可得en=,因?yàn)樗C的不等式左邊是e1+e2+en,直接求和不行,利用放縮法得en=>=qn-1,從而得e1+e2+en>q0+q1+qn-1,化簡(jiǎn)即可.評(píng)析本題涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多,由遞推思想推出數(shù)列an是等比數(shù)列,由等差中項(xiàng)求出q,由放縮法證明不等式成立.綜合性較強(qiáng).7.(2014課標(biāo),17,12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明是等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式;(2)證明+<.解析(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+=,所以是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列.an+=,因此an的通項(xiàng)公式為an=.(2)證明:由(1)知=.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí),3n-12×3n-1,所以.于是+1+=<.所以+<.評(píng)析本題考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問(wèn)題,放縮求和是本題的難點(diǎn).考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(2014廣東,13,5分)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+ln a20=. 答案50【三年模擬】一、選擇題(每小題4分,共24分)1.(2019屆衢州、湖州、麗水三地教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),4)已知等比數(shù)列an滿足a1+a3=-2a2,則公比q=() A.-1B.1C.-2D.2答案A2.(2019屆金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,3)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=3,S4=15,則S3=()A.7B.-9C.7或-9D.答案C3.(2019屆鎮(zhèn)海中學(xué)期中考試,8)已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,an,使得am·an=16,則+的最小值為()A.B.C.D.答案C4.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,2)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=2,S6=18,則等于() A.-3B.5C.-31D.33答案D5.(2018浙江稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考(4月),6)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,則“2a5>a3+a7”是“S2n-1<0”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A6.(2018浙江新高考調(diào)研卷四(金華一中),7)如圖,在半徑r=1的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,再作正六邊形的內(nèi)切圓,又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,如此無(wú)限繼續(xù)下去,設(shè)Sn為前n個(gè)圓的面積之和,取正數(shù)=3,若|Sn-4|<,則n的取值為()A.大于100的所有正整數(shù)B.大于100的有限個(gè)正整數(shù)C.不大于100的所有正整數(shù)D.不大于100的有限個(gè)正整數(shù)答案A二、填空題(單空題4分,多空題6分,共12分)7.(2019屆金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,14)在從100到999的所有三位數(shù)中,百位、十位、個(gè)位數(shù)字依次構(gòu)成等差數(shù)列的有個(gè);構(gòu)成等比數(shù)列的有個(gè). 答案41;178.(2018浙江杭州高考教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),12)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S4=80,S2=8,則公比q=,a5=. 答案3;162三、解答題(共20分)9.(2019屆浙江“超級(jí)全能生”9月聯(lián)考,20)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=nan-n(n-1)且a2=3.數(shù)列bn為非負(fù)的等比數(shù)列,且滿足a1b3=4,b2b7=16b4.(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Cn,求數(shù)列nCn的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)由題意得Sn=nan-n(n-1),則當(dāng)n2時(shí),Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2),-得an-an-1=2,當(dāng)n=2時(shí),S2=2a2-2,又因?yàn)镾2=a1+a2,a2=3,所以a1=1,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,所以an=2n-1.因?yàn)閍1b3=4,所以b3=4,因?yàn)閎2b7=b4b5,bn>0,b2b7=16b4,所以b5=16,所以q2=4,又q>0,所以q=2,所以bn=b3qn-3=2n-1.(2)由(1)得Cn=2n-1,所以nCn=n·2n-n,設(shè)A=1×2+2×22+n×2n,所以2A=1×22+2×23+n×2n+1,兩式相減得A=(n-1)2n+1+2,設(shè)B=1+2+n=,所以Tn=A-B=(n-1)2n+1+2-.10.(2018浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期初聯(lián)考,22)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=2an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,試求數(shù)列S2n-Sn的最小值;(3)在(2)的條件下,求證:當(dāng)n2時(shí),.解析(1)由條件an+1=2an得=2·,又a1=2,所以=2,因此數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,從而=2·2n-1=2n,因此an=n·2n.(2)由(1)得bn=,設(shè)cn=S2n-Sn,則cn=+,所以cn+1=+,從而cn+1-cn=+->+-=0,即cn+1>cn,因此數(shù)列cn是單調(diào)遞增的,所以(cn)min=c1=.(3)證明:當(dāng)n2時(shí),=(-)+(-)+(S4-S2)+(S2-S1)+S1=+c2+c1+S1,由(2)知c2,又c1=,S1=1,c2=,所以(n-1)c2+c1+S1=(n-1)+ +1=.14