（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題2 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 2.8 函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用檢測(cè)

2.8函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的變化特征.2.能利用給定的函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2018浙江,11函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用解二元一次方程組2014浙江,17函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用三角函數(shù)模型分析解讀1.函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用是對(duì)考生綜合能力和素質(zhì)的考查,主要考查利用給定的函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2.考查函數(shù)思想方法的應(yīng)用,試題從實(shí)際出發(fā),結(jié)合三角函數(shù)、不等式、數(shù)列等知識(shí),加大對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題能力的考查.在高考中往往以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),屬中等難度題(例:2017浙江17題).3.預(yù)計(jì)函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用在2020年高考中出現(xiàn)的可能性很大,應(yīng)高度重視.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用1.(2018河南商丘模擬,12)已知函數(shù)f(x)=-x3+1+a與g(x)=3ln x的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A.0,e3-4B.C.D.e3-4,+)答案A2.(2017江西九江七校聯(lián)考,20)某店銷售進(jìn)價(jià)為2元/件的產(chǎn)品A,該店產(chǎn)品A每日的銷售量y(單位:千件)與銷售價(jià)格x(單位:元/件)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+4(x-6)2,其中2<x<6.(1)若產(chǎn)品A的銷售價(jià)格為4元/件,求該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn);(2)試確定產(chǎn)品A的銷售價(jià)格,使該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)最大.(保留1位小數(shù))解析(1)當(dāng)x=4時(shí),y=+4×(4-6)2=21,此時(shí)該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)為(4-2)×21=42(千元).(2)該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)f(x)=(x-2)·=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),從而f '(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).令f '(x)=0,得x=,易知在上, f '(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在上, f '(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以x=是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以當(dāng)x=3.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.故當(dāng)銷售價(jià)格約為3.3元/件時(shí),獲得的利潤(rùn)最大.解題關(guān)鍵解第(2)問的關(guān)鍵是建立利潤(rùn)關(guān)于銷售價(jià)格的函數(shù),進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)法確定最大值點(diǎn).煉技法【方法集訓(xùn)】方法函數(shù)應(yīng)用題的解法1.(2018福建三明期末,14)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述:設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T,則T-Ta= (T0-Ta)·,其中Ta稱為環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88 熱水沖的速溶咖啡,放在24 的房間中,如果咖啡降到40 需要20分鐘,那么此杯咖啡從40 降溫到32 時(shí),還需要分鐘. 答案102.(2017江蘇南京、鹽城一模,18)如圖所示,某街道居委會(huì)擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個(gè)活動(dòng)中心,其中AE=30米.活動(dòng)中心東西走向,與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下半部分是長(zhǎng)方形ABCD,上半部分是以DC為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求,活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)GE不超過2.5米,其中該太陽光線與水平線的夾角滿足tan =.(1)若設(shè)計(jì)AB=18米,AD=6米,問能否保證題干中的采光要求?(2)在保證題干中的采光要求的前提下,如何設(shè)計(jì)AB與AD的長(zhǎng)度,可使得活動(dòng)中心的截面面積最大?(注:計(jì)算中取3)解析如圖所示,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.(1)因?yàn)锳B=18米,AD=6米,所以半圓的圓心坐標(biāo)為H(9,6),半徑r=9米.設(shè)太陽光線所在直線方程為y=-x+b,即3x+4y-4b=0,則由=9,解得b=24或b= (舍).故太陽光線所在直線方程為y=-x+24,令x=30,得y=,即EG=1.5米<2.5米.所以此時(shí)能保證采光要求.(2)設(shè)AD=h米,AB=2r米,則半圓的圓心為H(r,h),半徑為r.解法一:設(shè)太陽光線所在直線方程為y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由=r,解得b=h+2r或b=h-r(舍),故太陽光線所在直線方程為y=-x+h+2r,令x=30,得y=2r+h-,由y,得h25-2r,所以S=2rh+r2=2rh+r22r(25-2r)+ r2=-r2+50r=- (r-10)2+250250,當(dāng)且僅當(dāng)r=10時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)AB=20米且AD=5米時(shí),活動(dòng)中心的截面面積最大.解法二:易知當(dāng)EG恰為2.5米時(shí),活動(dòng)中心的截面面積最大,此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(30,2.5),設(shè)過點(diǎn)G的太陽光線所在直線為l1,則l1的方程為y-=- (x-30),即3x+4y-100=0.由直線l1與半圓H相切,得r=.而點(diǎn)H(r,h)在直線l1的下方,則3r+4h-100<0,即r=-,從而h=25-2r.S=2rh+r2=2r(25-2r)+ r2=-r2+50r=- (r-10)2+250250,當(dāng)且僅當(dāng)r=10時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)AB=20米且AD=5米時(shí),活動(dòng)中心的截面面積最大.過專題【五年高考】A組自主命題·浙江卷題組 考點(diǎn)函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用1.(2018浙江,11,6分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個(gè)數(shù)分別為x,y,z,則當(dāng)z=81時(shí),x=,y=. 答案8;112.(2017浙江,17,4分)已知aR,函數(shù)f(x)=+a在區(qū)間1,4上的最大值是5,則a的取值范圍是. 答案3.(2014浙江,17,4分)如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角的大小.若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30°,則tan 的最大值是.(仰角為直線AP與平面ABC所成角) 答案B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用1.(2017課標(biāo)全國(guó)文,9,5分)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則() A. f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增B. f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱答案C2.(2014湖南,8,5分)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長(zhǎng)率為p,第二年的增長(zhǎng)率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為() A.B.C.D.-1答案D3.(2018天津文,14,5分)已知aR,函數(shù)f(x)=若對(duì)任意x-3,+), f(x)|x|恒成立,則a的取值范圍是. 答案4.(2015四川,13,5分)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33 的保鮮時(shí)間是小時(shí). 答案245.(2014湖北,14,5分)設(shè)f(x)是定義在(0,+)上的函數(shù),且f(x)>0,對(duì)任意a>0,b>0,若經(jīng)過點(diǎn)(a, f(a),(b,-f(b)的直線與x軸的交點(diǎn)為(c,0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b).例如,當(dāng)f(x)=1(x>0)時(shí),可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù).(1)當(dāng)f(x)=(x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù); (2)當(dāng)f(x)=(x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù). (以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)答案(1)(2)x6.(2018江蘇,17,14分)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚內(nèi)的地塊形狀為CDP,要求A,B均在線段MN上,C,D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為.(1)用分別表示矩形ABCD和CDP的面積,并確定sin 的取值范圍;(2)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43.求當(dāng)為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.解析本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.(1)設(shè)PO的延長(zhǎng)線交MN于H,則PHMN,所以O(shè)H=10米.過O作OEBC于E,則OEMN,所以COE=,故OE=40cos 米,EC=40sin 米,則矩形ABCD的面積為2×40cos (40sin +10)=800(4sin cos +cos )平方米,CDP的面積為×2×40cos (40-40sin )=1 600(cos -sin cos )平方米.過N作GNMN,分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于G和K,則GK=KN=10米.令GOK=0,則sin 0=,0.當(dāng)時(shí),才能作出滿足條件的矩形ABCD,所以sin 的取值范圍是.答:矩形ABCD的面積為800(4sin cos +cos )平方米,CDP的面積為1 600(cos -sin cos )平方米,sin 的取值范圍是.(2)因?yàn)榧住⒁覂煞N蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43,所以設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0).則年總產(chǎn)值為4k×800(4sin cos +cos )+3k×1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ),.設(shè)f()=sin cos +cos ,.則f '()=cos2-sin2-sin =-(2sin2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +1),令f '()=0,得=,當(dāng)時(shí), f '()>0,所以f()為增函數(shù);當(dāng)時(shí), f '()<0,所以f()為減函數(shù),因此,當(dāng)=時(shí), f()取到最大值.答:當(dāng)=時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.名師點(diǎn)睛(1)用表示OE和EC,就能求出矩形ABCD及CDP的面積,求定義域時(shí)抓住N、G關(guān)于OK對(duì)稱得到GOK的正弦值,從而求得sin 的取值范圍.(2)先構(gòu)造函數(shù),再用導(dǎo)數(shù)求最值,求導(dǎo)時(shí),交代的取值范圍,判斷f '()的符號(hào),再確定f()的單調(diào)性,就能得到最大值,從而解決問題.C組教師專用題組考點(diǎn)函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用1.(2015北京,8,5分)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是() A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油答案D2.(2014遼寧,12,5分)已知定義在0,1上的函數(shù)f(x)滿足:f(0)=f(1)=0;對(duì)所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|< |x-y|.若對(duì)所有x,y0,1,| f(x)-f(y)|<k恒成立,則k的最小值為()A.B.C.D.答案B3.(2017山東理,15,5分)若函數(shù)exf(x)(e=2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為. f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+2答案4.(2015江蘇,17,14分)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=(其中a,b為常數(shù))模型.(1)求a,b的值;(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度.解析(1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).將其分別代入y=,得解得(2)由(1)知,y=(5x20),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為,設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x,y軸分別于A,B點(diǎn),y'=-,則l的方程為y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)=,t5,20.設(shè)g(t)=t2+,則g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10.當(dāng)t(5,10)時(shí),g'(t)<0,g(t)是減函數(shù);當(dāng)t(10,20)時(shí),g'(t)>0,g(t)是增函數(shù).從而,當(dāng)t=10時(shí),函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此時(shí)f(t)min=15.答:當(dāng)t=10時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短,最短長(zhǎng)度為15千米.評(píng)析本題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.【三年模擬】一、填空題(單空題4分,多空題6分,共16分)1.(2019屆鎮(zhèn)海中學(xué)期中考試,17)設(shè)函數(shù)f(x)=若存在互不相等的4個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,x3,x4,使得=7,則a的取值范圍為. 答案(6,18)2.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考,11)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一段記載:“三百七十八里關(guān),初日健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān).”其大意:“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了6天才到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為里. 答案1923.(2018浙江寧波高三上學(xué)期期末,17)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=BC=1,AD=CD=,DAB=DCB=90°,點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),M,N分別在線段BD,BC上,則PM+MN的最小值為. 答案14.(2018浙江嵊州高三質(zhì)檢,17)已知函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+1+|x2-ax+1|的最小值為,則實(shí)數(shù)a的值為. 答案二、解答題(共20分)5.(2018浙江杭州高三5月模擬考試,18)中國(guó)古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一,給人以美的享受.如圖為一花窗中的一部分,呈長(zhǎng)方形,長(zhǎng)30 cm,寬26 cm,其內(nèi)部窗芯(不含長(zhǎng)方形邊框)用一種條形木料做成,由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成,整個(gè)窗芯關(guān)于長(zhǎng)方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為x cm和y cm,窗芯所需條形木料的長(zhǎng)度之和為L(zhǎng) cm.(1)試用x,y表示L;(2)如果要求六根支條的長(zhǎng)度均不小于2 cm,每個(gè)菱形的面積為130 cm2,那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長(zhǎng)的條形木料(不計(jì)卯榫及其他損耗)?解析(1)水平方向每根支條長(zhǎng)為m=(15-x)cm,豎直方向每根支條長(zhǎng)為n=cm,菱形的一條邊長(zhǎng)為= cm.所以L=2(15-x)+4+8×=82+4-2(x+y).(2)由題意得xy=130,即y=,由得x13.所以L=82+4-2.令t=x+,求導(dǎo)得t'(x)=1-.當(dāng)x13時(shí),t'(x)<0.故t=x+在上單調(diào)遞減,故t.所以L=82+4-2t,其中定義域t.求導(dǎo)得L'(t)=2,當(dāng)t時(shí),L'(t)>0,所以L=82+4-2t在t上為增函數(shù),故當(dāng)t=33,即x=13,y=20時(shí),L有最小值16+4.所以做這樣一個(gè)窗芯至少需要(16+4)cm長(zhǎng)的條形木料.6.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測(cè)試,20)已知函數(shù)f(x)=|x2-2mx-n|(m,nR).(1)當(dāng)n=3m2時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)記函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1上的最大值為M,若Mk對(duì)任意的m,n恒成立,試求k的最大值.解析(1)當(dāng)n=3m2時(shí), f(x)=|x2-2mx-3m2|=|(x+m)·(x-3m)|,函數(shù)y=x2-2mx-3m2的對(duì)稱軸為直線x=m.故當(dāng)m>0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,-m上為減函數(shù),在區(qū)間-m,m上為增函數(shù),在區(qū)間m,3m上為減函數(shù),在區(qū)間3m,+)上為增函數(shù).當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-,0上為減函數(shù),在區(qū)間0,+)上為增函數(shù).當(dāng)m<0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,3m上為減函數(shù),在區(qū)間3m,m上為增函數(shù),在區(qū)間m,-m上為減函數(shù),在區(qū)間-m,+)上為增函數(shù).(2)設(shè)g(x)=x2-2mx-n,其對(duì)稱軸為直線x=m.當(dāng)|m|>1時(shí),g(x)在區(qū)間-1,1上是單調(diào)函數(shù),則f(x)在區(qū)間-1,1上的最大值在兩端點(diǎn)處取得,故M應(yīng)是f(-1)和f(1)中較大的一個(gè).2Mf(1)+f(-1)=|1-2m-n|+|1+2m-n|(1-2m-n)-(1+2m-n)|=4|m|>4,M>2.當(dāng)|m|1時(shí),g(x)在區(qū)間-1,m上是減函數(shù),在區(qū)間m,1上是增函數(shù),此時(shí),M=maxf(-1), f(m), f(1).由g(-1)-g(1)=(1+2m-n)-(1-2m-n)=4m,g(±1)-g(m)=(m1)20.(i)若-1m0,g(m)g(-1)g(1),|g(-1)|max|g(m)|,|g(1)|.則M=max|g(1)|,|g(m)| (|g(1)|+|g(m)|)|g(1)-g(m)|= (m-1)2.(ii)若0<m1,g(m)g(1)g(-1),|g(1)|max|g(m)|,|g(-1)|.則M=max|g(-1)|,|g(m)| (|g(-1)|+|g(m)|)|g(-1)-g(m)|= (m+1)2>.故當(dāng)|m|1時(shí),M.綜合(i)(ii)知,對(duì)于任意的m,n,都有M.而當(dāng)m=0,n=時(shí), f(x)=在區(qū)間-1,1上的最大值為M=,故Mk對(duì)任意的m,n恒成立的k的最大值為.13