（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 第六節(jié) 雙曲線練習(xí) 文 新人教A版

第六節(jié)雙曲線A組基礎(chǔ)題組1.雙曲線y29-x24=1的漸近線方程是()A.y=±94xB.y=±49xC.y=±32xD.y=±23x答案C雙曲線y29-x24=1中a=3,b=2,故雙曲線的漸近線方程為y=±32x.2.若雙曲線M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,P為雙曲線M上一點(diǎn),且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,則雙曲線M的離心率為()A.3B.2C.53D.54答案DP為雙曲線M上一點(diǎn),且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a=8,故a=4,|F1F2|=2c=10,故c=5,則雙曲線M的離心率e=ca=54.3.(2019重慶調(diào)研)設(shè)F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線依次與雙曲線C的左、右支交于點(diǎn)P、Q,若|PQ|=2|QF|,PQF=60°,則該雙曲線的離心率為()A.3B.1+3C.2+3D.4+23答案B由題意可作出草圖,設(shè)|QF|=1,由雙曲線的對(duì)稱性得,OQF為正三角形,則c=|OF|=1,又|PQ|=2|QF|,所以PFQ=90°,則|PF|=3,所以2a=|PF|-|QF|=3-1a=3-12,因此e=13-12=23-1=3+1,故選B.4.若雙曲線C1:x22-y28=1與C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線相同,且雙曲線C2的焦距為45,則b=()A.2B.4C.6D.8答案B由題意得,ba=2b=2a,雙曲線C2的焦距2c=45c=a2+b2=25a=2,b=4.5.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為()A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.x280-y220=1D.x220-y280=1答案A雙曲線C的漸近線方程為x2a2-y2b2=0及點(diǎn)P(2,1)在漸近線上,4a2-1b2=0,即a2=4b2,由題意得a2+b2=c2=25,聯(lián)立得b2=5,a2=20,則C的方程為x220-y25=1.故選A.6.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為25,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.3x220-3y25=1D.3x25-3y220=1答案A由題意可得ba=12,a2+b2=5,a>0,b>0,解得a=2,b=1,所以雙曲線的方程為x24-y2=1,故選A.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,過雙曲線C的右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線,垂足為A,若AFO的面積為1,則雙曲線C的方程為()A.x22-y28=1B.x24-y2=1C.x24-y216=1D.x2-y24=1答案D因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2,又雙曲線C的離心率為5,所以1+b2a2=5,即b2=4a2,所以a2=1,b2=4,所以雙曲線C的方程為x2-y24=1,故選D.8.(2018課標(biāo)全國(guó)理,11,5分)已知雙曲線C:x23-y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為C的右焦點(diǎn),過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN|=()A.32B.3C.23D.4答案B本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì).由雙曲線C:x23-y2=1可知其漸近線方程為y=±33x,MOx=30°,MON=60°,不妨設(shè)OMN=90°,則易知焦點(diǎn)F到漸近線的距離為b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,|OM|=3,則在RtOMN中,|MN|=|OM|·tanMON=3.故選B.9.如圖,F1、F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若直線y=x與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn),且四邊形PF1QF2為矩形,則雙曲線的離心率為()A.2+6B.2+6C.2+2D.2+2答案D將y=x代入雙曲線C的方程,可得x=±a2b2b2-a2,因?yàn)閨OP|=|OF2|,所以2·a2b2b2-a2=c,所以2a2b2=c2(b2-a2),即2(e2-1)=e4-2e2,所以e4-4e2+2=0.因?yàn)閑>1,所以e2=2+2,所以e=2+2,故選D.10.過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)作圓O:x2+y2=a2的切線,切點(diǎn)為E,延長(zhǎng)FE交雙曲線于點(diǎn)P,若E為線段FP的中點(diǎn),則雙曲線的離心率為()A.5B.52C.5+1D.5+12答案A如圖所示,不妨設(shè)E在x軸上方,F'為雙曲線的右焦點(diǎn),連接OE,PF',因?yàn)镻F是圓O的切線,所以O(shè)EFE,又E,O分別為PF,FF'的中點(diǎn),所以|OE|=12|PF'|,又|OE|=a,所以|PF'|=2a,根據(jù)雙曲線的定義,知|PF|-|PF'|=2a,所以|PF|=4a,所以|EF|=2a,在RtOEF中,|OE|2+|EF|2=|OF|2,即a2+4a2=c2,所以e=5,故選A.11.(2018課標(biāo)全國(guó)理,11,5分)設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|=6|OP|,則C的離心率為()A.5B.2C.3D.2答案C點(diǎn)F2(c,0)到漸近線y=bax的距離|PF2|=bca-01+ba2=b(b>0),而|OF2|=c,所以在RtOPF2中,由勾股定理可得|OP|=c2-b2=a,所以|PF1|=6|OP|=6a.在RtOPF2中,cosPF2O=|PF2|OF2|=bc,在F1F2P中,cosPF2O=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|·|F1F2|=b2+4c2-6a22b·2c,所以bc=b2+4c2-6a24bc3b2=4c2-6a2,則有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得ca=3(負(fù)值舍去),即e=3.故選C.12.直線l:x-2y-5=0過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)且與其一條漸近線平行,則該雙曲線的方程為. 答案x220-y25=1解析根據(jù)題意,令y=0,則x=5,即c=5,又ba=12,所以a2=20,b2=5,所以該雙曲線的方程為x220-y25=1.13.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=. 答案2解析由OA,OC所在直線為漸近線,且OAOC,知兩條漸近線的夾角為90°,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對(duì)角線,且點(diǎn)B是雙曲線的焦點(diǎn),則c=22,根據(jù)c2=2a2可得a=2.14.(2018湖北武漢調(diào)研)已知點(diǎn)P在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,PFx軸(其中F為雙曲線的右焦點(diǎn)),點(diǎn)P到該雙曲線的兩條漸近線的距離之比為13,則該雙曲線的離心率為. 答案233解析由題意知F(c,0),PFx軸,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,則Pc,b2a,雙曲線漸近線的方程為bx±ay=0,由題意,得b·c-a·b2aa2+b2b·c+a·b2aa2+b2=13,解得c=2b,又c2=a2+b2,所以c2a2=43,所以雙曲線的離心率e=ca=233.B組提升題組1.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作圓O:x2+y2=a2的切線FM(切點(diǎn)為M),交y軸于點(diǎn)P,若PM=2MF,則雙曲線C的離心率為()A.2B.62C.3D.2答案B設(shè)P(0,3m),由PM=2MF,可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為23c,m,OMPF,m23c·3m-c=-1,m2=29c2,M23c,±2c29,由|OM|2+|MF|2=|OF|2,|OM|=a,|OF|=c,得a2+c32+2c29=c2,a2=23c2,e=ca=62,故選B.2.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F1作傾斜角為30°的直線,與y軸和雙曲線的右支分別交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A平分線段F1B,則該雙曲線的離心率是()A.3B.2C.2D.33答案A由題意可知F1(-c,0),設(shè)A(0,y0),因?yàn)锳是F1B的中點(diǎn),所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為c,又點(diǎn)B在雙曲線的右支上,所以Bc,b2a,因?yàn)橹本€F1B的傾斜角為30°,所以b2a-0c-(-c)=33,化簡(jiǎn)整理得b22ac=33,又b2=c2-a2,所以3c2-3a2-23ac=0,兩邊同時(shí)除以a2得3e2-23e-3=0,解得e=3或e=-33(舍去),故選A.3.(2018天津文改編,7,5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為. 答案x23-y29=1解析本題主要考查雙曲線的方程、幾何性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,e2=1+b2a2=4,b2a2=3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2,不妨設(shè)點(diǎn)A(2a,3a),B(2a,-3a),b2a2=3,漸近線方程為y=±3x,則點(diǎn)A與點(diǎn)B到直線3x-y=0的距離分別為d1=|23a-3a|2=23-32a,d2=|23a+3a|2=23+32a,又d1+d2=6,23-32a+23+32a=6,解得a=3,b2=9.雙曲線的方程為x23-y29=1.4.一條斜率為1的直線l與離心率為3的雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于P,Q兩點(diǎn),直線l與y軸交于R點(diǎn),且OP·OQ=-3,PR=3RQ,求直線和雙曲線的方程.解析e=3,b2=2a2,雙曲線方程可化為2x2-y2=2a2.設(shè)直線l的方程為y=x+m.由y=x+m,2x2-y2=2a2,得x2-2mx-m2-2a2=0,=4m2+4(m2+2a2)>0,直線l一定與雙曲線相交.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=2m,x1x2=-m2-2a2.PR=3RQ,xR=x1+3x24=0,x1=-3x2,x2=-m,-3x22=-m2-2a2.消去x2,得m2=a2.OP·OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2-4a2=-3,m=±1,a2=1,b2=2.直線l的方程為y=x±1,雙曲線的方程為x2-y22=1.5.設(shè)A、B分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為43,焦點(diǎn)到漸近線的距離為3.(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線y=33x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使OM+ON=tOD,求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).解析(1)由題意知a=23,一條漸近線方程為y=b23x,即bx-23y=0,|bc|b2+12=3,b2=3,雙曲線的方程為x212-y23=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),OM+ON=tOD,x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,將直線方程代入雙曲線方程得x2-163x+84=0,則x1+x2=163,所以y1+y2=12,點(diǎn)D在雙曲線的右支上,x0y0=433,x0212-y023=1,x0>0,解得x0=43,y0=3,t=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(43,3).9