（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點規(guī)范練40 橢圓（含解析）新人教A版

考點規(guī)范練40橢圓一、基礎(chǔ)鞏固1.已知橢圓的焦點坐標(biāo)為(-5,0)和(5,0),橢圓上一點與兩焦點的距離和是26,則橢圓的方程為()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=12.已知橢圓x29+y24+k=1(k>-4)的離心率為45,則k的值為()A.-1925B.21C.-1925或21D.1925或213.若曲線ax2+by2=1是焦點在x軸上的橢圓,則實數(shù)a,b滿足()A.a2>b2B.1a<1bC.0<a<bD.0<b<a4.已知圓M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半徑為2,橢圓C:x2a2+y23=1的左焦點為F(-c,0).若垂直于x軸且經(jīng)過點F的直線l與圓M相切,則a的值為()A.34B.1C.2D.45.(2018全國,文11)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點.若PF1PF2,且PF2F1=60°,則C的離心率為()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-16.已知F1,F2是橢圓x2+2y2=2的左、右焦點,點P是該橢圓上的一個動點,則|PF1+PF2|的最小值是()A.0B.1C.2D.227.設(shè)F1,F2為橢圓x29+y25=1的兩個焦點,點P在橢圓上.若線段PF1的中點在y軸上,則|PF2|PF1|的值為. 8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點,直線y=b2與橢圓交于B,C兩點,且BFC=90°,則該橢圓的離心率是. 9.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若F1AB=90°,求橢圓的離心率;(2)若AF2=2F2B,AF1·AB=32,求橢圓的方程.10.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)P是橢圓C上一點,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:|AN|·|BM|為定值.二、能力提升11.已知P是橢圓x225+y29=1上的一點,M,N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,1212.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率為()A.32B.22C.12D.1413.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點為F1,F2,若橢圓上存在滿足PF1·PF2=b22的點P,則橢圓的離心率的范圍是. 14.已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為32.(1)求橢圓C的方程;(2)點D為x軸上一點,過點D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過點D作AM的垂線交BN于點E.求證:BDE與BDN的面積之比為45.三、高考預(yù)測15.(2018全國,理19)設(shè)橢圓C:x22+y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線AM的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,證明:OMA=OMB.考點規(guī)范練40橢圓1.A解析由題意知a=13,c=5,則b2=a2-c2=144.又橢圓的焦點在x軸上,所以橢圓的方程為x2169+y2144=1.2.C解析若a2=9,b2=4+k,則c=5-k.由ca=45,即5-k3=45,解得k=-1925.若a2=4+k,b2=9,則c=k-5.由ca=45,即k-54+k=45,解得k=21.3.C解析由ax2+by2=1,得x21a+y21b=1.因為橢圓的焦點在x軸上,所以1a>1b>0,所以0<a<b.4.C解析圓M的方程可化為(x+m)2+y2=3+m2,則由題意得m2+3=4,即m2=1(m<0).所以m=-1,則圓心M的坐標(biāo)為(1,0).由題意知直線l的方程為x=-c,又直線l與圓M相切,所以c=1,所以a2-3=1,所以a=2.5.D解析不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,則|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90°,PF2F1=60°,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.6.C解析由題意知F1(-1,0),F2(1,0).設(shè)P(x0,y0),則PF1=(-1-x0,-y0),PF2=(1-x0,-y0),PF1+PF2=(-2x0,-2y0),|PF1+PF2|=4x02+4y02=22-2y02+y02=2-y02+2.點P在橢圓上,0y021,當(dāng)y02=1時,|PF1+PF2|取最小值2.故選C.7.513解析由題意知a=3,b=5.由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=6.在PF1F2中,因為PF1的中點在y軸上,O為F1F2的中點.由三角形中位線性質(zhì)可推得PF2x軸,所以|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=6-|PF2|=133,所以|PF2|PF1|=513.8.63解析由題意得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.因為BFC=90°,所以BF·CF=0.所以c2-32a2+b22=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=63.9.解(1)因為F1AB=90°,所以|OA|=|OF2|,即b=c.所以a=2c,e=ca=22.(2)由題意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=a2-b2.設(shè)B(x,y).由AF2=2F2B,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c2,y=-b2,即B3c2,-b2.將點B的坐標(biāo)代入x2a2+y2b2=1,得94c2a2+b24b2=1,即9c24a2+14=1,解得a2=3c2.又由AF1·AB=(-c,-b)·3c2,-3b2=32,得b2-c2=1,即有a2-2c2=1.由解得c2=1,a2=3,從而有b2=2.所以橢圓的方程為x23+y22=1.10.(1)解由題意得ca=32,12ab=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)證明由(1)知,A(2,0),B(0,1).設(shè)P(x0,y0),則x02+4y02=4.當(dāng)x00時,直線PA的方程為y=y0x0-2(x-2).令x=0,得yM=-2y0x0-2,從而|BM|=|1-yM|=1+2y0x0-2.直線PB的方程為y=y0-1x0x+1.令y=0,得xN=-x0y0-1,從而|AN|=|2-xN|=2+x0y0-1.所以|AN|·|BM|=2+x0y0-1·1+2y0x0-2=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+4x0y0-x0-2y0+2=4x0y0-4x0-8y0+8x0y0-x0-2y0+2=4.當(dāng)x0=0時,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.綜上,|AN|·|BM|為定值.11.C解析如圖,因為兩個圓心恰好是橢圓的焦點,由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=10.所以|PM|+|PN|的最小值為|PF1|+|PF2|-2=8,最大值為|PF1|+|PF2|+2=12.12.C解析因為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因為c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=c4a2,n2=c4a2+c22,所以2c4a2+c22=c2,化為c2a2=14,所以e=ca=12.13.33,1解析橢圓的焦點為F1,F2,橢圓上存在滿足PF1·PF2=b22的點P,|PF1|·|PF2|cos<PF1,PF2>=b22,4c2=PF12+PF22-2|PF1|·|PF2|cos<PF1,PF2>,|PF1|+|PF2|=2a,可得PF12+PF22+2|PF1|·|PF2|=4a2,4c2=4a2-2|PF1|·|PF2|-b2.2|PF1|·|PF2|=3a2-3c22|PF1|+|PF2|22,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時,等號成立.可得c2a213,解得e33.又0<e<1,e33,1.14.(1)解設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).由題意得a=2,ca=32,解得a=2,c=3.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)證明設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設(shè)知m±2,且n0.直線AM的斜率kAM=nm+2,故直線DE的斜率kDE=-m+2n.所以直線DE的方程為y=-m+2n(x-m).直線BN的方程為y=n2-m(x-2).聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得點E的縱坐標(biāo)yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2,所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,SBDN=12|BD|·|n|,所以BDE與BDN的面積之比為45.15.(1)解由已知得F(1,0),l的方程為x=1,點A的坐標(biāo)為1,22或1,-22.所以AM的方程為y=-22x+2或y=22x-2.(2)證明當(dāng)l與x軸重合時,OMA=OMB=0°,當(dāng)l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,所以O(shè)MA=OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1<2,x2<2,直線MA,MB的斜率之和為kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2.由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).將y=k(x-1)代入x22+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.則2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0.從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補(bǔ),所以O(shè)MA=OMB.綜上,OMA=OMB.9