高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 4 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征學(xué)案 北師大版必修31

4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征1能結(jié)合具體情境理解不同數(shù)字特征的意義，并能根據(jù)問題的需要選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字特征來表達(dá)數(shù)據(jù)的信息2通過實(shí)例理解數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差1眾數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)_的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(2)特征：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能_個(gè)，也可能沒有，它反映了該組數(shù)據(jù)的_眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使其無法客觀地反映總體特征2中位數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列，處于_位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是_的，反映了該組數(shù)據(jù)的_中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)【做一做1】某班50名學(xué)生右眼視力的檢查結(jié)果如下表所示：視力0.10.20.30.40.50.60.70.81.01.21.5人數(shù)113434468106則該班學(xué)生右眼視力的眾數(shù)為_，中位數(shù)為_3平均數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為_.(2)特征：平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的_任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化，這是_和_都不具有的性質(zhì)所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的_，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的_的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低【做一做2】對(duì)甲、乙二人的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，各抽4門功課，得到的觀測(cè)值如下：甲65828085乙75657090問：甲、乙誰的平均成績(jī)較好？4標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來計(jì)算s_.可以用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差(2)特征：標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞_波動(dòng)的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大小標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較_；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較_【做一做3】從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績(jī)?nèi)缦卤?，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為()分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010A B C3 D5方差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即s2_.(2)特征：與標(biāo)準(zhǔn)差的作用_，描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小(3)取值范圍：_.數(shù)據(jù)組x1，x2，xn的平均數(shù)為，方差為s2，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)組ax1b，ax2b，axnb(a，b為非零常數(shù))的平均數(shù)為ab，方差為a2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為as.【做一做4】下列能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是()A平均數(shù) B方差 C中位數(shù) D眾數(shù)6極差(1)定義：一組數(shù)據(jù)的最_值與最_值的差稱為這組數(shù)據(jù)的極差(2)特征：表示該組數(shù)據(jù)之間的差異情況極差利用了數(shù)據(jù)組中最大和最小的兩個(gè)值，對(duì)極值過于敏感但由于只涉及兩個(gè)數(shù)據(jù)，便于得到，所以極差在實(shí)際中也經(jīng)常應(yīng)用【做一做5】一組數(shù)據(jù)3，1，0，2，x的極差是5，則x_.平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差(方差)這兩個(gè)數(shù)字特征在實(shí)際問題中如何應(yīng)用？剖析：平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的平均水平，在實(shí)際應(yīng)用中，平均數(shù)常被理解為平均水平標(biāo)準(zhǔn)差反映的是數(shù)據(jù)的離散程度的大小，反映了各個(gè)樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度，標(biāo)準(zhǔn)差越小表明在樣本平均數(shù)的周圍越集中；反之，標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性，常常與平均數(shù)結(jié)合起來解決問題例如，要從甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員中選一名參加2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)，如果你是教練，你會(huì)制定怎樣的選拔標(biāo)準(zhǔn)？制定怎樣的選拔方案？選拔標(biāo)準(zhǔn)是：要考慮射擊運(yùn)動(dòng)員的射擊水平即平均射擊環(huán)數(shù)，再就是考慮射擊運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的穩(wěn)定性當(dāng)射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)不相同時(shí)，選擇平均數(shù)較大的運(yùn)動(dòng)員；當(dāng)射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)相同時(shí)，選擇發(fā)揮穩(wěn)定(標(biāo)準(zhǔn)差較小)的運(yùn)動(dòng)員選拔方案：讓這兩名運(yùn)動(dòng)員在相同的環(huán)境中進(jìn)行相同次數(shù)的射擊，比如參加射擊世錦賽、世界杯、國(guó)際邀請(qǐng)賽、熱身賽或國(guó)內(nèi)比賽，并記錄每次射擊的環(huán)數(shù)然后計(jì)算兩名運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差，再根據(jù)選拔標(biāo)準(zhǔn)作出選擇題型一 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用【例題1】某公司30名職工的月工資(單位：元)如下：職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11212320工資5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求該公司職工的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)(2)假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從5 000元提升到20 000元，董事長(zhǎng)的工資從5 500元提升到30 000元，那么該公司職工的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(精確到元)(3)你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司職工的月工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法分析：根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念求解反思：平均數(shù)是將所有的數(shù)據(jù)都考慮進(jìn)去得到的量，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)最常用的量，中位數(shù)可靠性較差，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，常用中位數(shù)表示該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)而眾數(shù)求法較簡(jiǎn)便，也經(jīng)常被用到考查一組數(shù)據(jù)的特征時(shí)，這三個(gè)數(shù)字特征要結(jié)合在一起考慮大多情況下人們會(huì)把眼光僅停留在工資表中的最大值與最小值處，把最高工資作為一個(gè)單位工資的評(píng)價(jià)，這是一種錯(cuò)誤的評(píng)價(jià)方式題型二 標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算【例題2】已知一個(gè)樣本為x,1，y,5，其中x，y是方程組的解，則這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是()A2 B C5 D反思：深刻理解平均數(shù)、方差的計(jì)算公式，靈活應(yīng)用xy2和x2y210進(jìn)行整體求解是提高解題速度的關(guān)鍵題型三 綜合應(yīng)用題【例題3】對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰更優(yōu)秀分析：分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均值與方差，然后加以比較并作出判斷反思：判斷甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的優(yōu)劣，通常用平均數(shù)和方差作為標(biāo)準(zhǔn)來比較，當(dāng)平均數(shù)相同時(shí)，還應(yīng)考察他們的成績(jī)波動(dòng)情況(方差)，以達(dá)到判斷上的合理性和全面性1(2011廣東汕頭期中，6)若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A91.5和91.5 B91.5和92C91和91.5 D92和922甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)要檢驗(yàn)它們的運(yùn)行情況，統(tǒng)計(jì)10天中兩臺(tái)機(jī)床每天出的次品數(shù)分別為甲：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4；乙：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.則出次品數(shù)較少的為()A甲 B乙 C相同 D不能比較3已知一個(gè)樣本中含有5個(gè)數(shù)據(jù)3,5,7,4,6，則樣本方差為()A1 B2 C3 D44已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差是a，那么另一組數(shù)據(jù)x12，x22，xn2的方差是_5對(duì)甲、乙的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測(cè)值如下：甲6080709070乙8060708075問：甲、乙誰的平均成績(jī)較好？誰的各門功課發(fā)展較平衡？答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1(1)最多(2)不止一集中趨勢(shì)2(1)中間(2)唯一集中趨勢(shì)【做一做1】1.20.83(1)(2)平均水平眾數(shù)中位數(shù)信息極端值【做一做2】解：甲(65828085)78，乙(75657090)75，甲的平均成績(jī)較好4(1)(2)平均數(shù)大小【做一做3】B這100人的總成績(jī)?yōu)?20410330230110300，則平均成績(jī)?yōu)?，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為.5(1)(x1)2(x2)2(xn)2(2)相同(3)0，)【做一做4】B方差能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的大小6(1)大小【做一做5】2或4典型例題領(lǐng)悟【例題1】解：(1)平均數(shù)是2 050(元)，中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元(2)平均數(shù)是3 367(元)，中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元(3)在這個(gè)問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的月工資水平因?yàn)楣局猩贁?shù)人的月工資與大多數(shù)人的月工資差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與職工整體月工資的偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司職工的月工資水平【例題2】Dxy2，x2y210，(x1y5)(xy)62，s2(x2)2(12)2(y2)2(52)2(x2y2)4(xy)18205，s.【例題3】解：甲(273830373531)33，s甲2(2733)2(3833)2(3133)29415.7，乙(332938342836)33，s乙2(3333)2(2933)2(3633)27612.7.甲乙，s甲2s乙2這說明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀隨堂練習(xí)鞏固1A90(13316402)91.5.中位數(shù)91.5.2B甲1.5，乙1.2.3B5，則方差s2(35)2(55)2(75)2(45)2(65)22.4a將一組數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)數(shù)，所得新數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)的方差相等5解：甲(6080709070)74；乙(8060708075)73.s甲2(142624216242)104；s乙2(72132327222)56.甲乙，s甲2s乙2，甲的平均成績(jī)較好，乙的各門功課發(fā)展較平衡