高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 1_5_2 估計(jì)總體的數(shù)字特征教案 北師大版必修31

52估計(jì)總體的數(shù)字特征教學(xué)分析教科書通過現(xiàn)實(shí)生活中的例子，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：只描述平均位置的特征是不夠的，還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征通過對如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索，使學(xué)生體驗(yàn)創(chuàng)造性思維的過程三維目標(biāo)1正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋；會用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價(jià)的意識2在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計(jì)總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；會用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)的作用，能夠辯證地理解數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征并作出合理解釋，估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；體會樣本數(shù)字特征具有隨機(jī)性教學(xué)難點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題課時安排1課時導(dǎo)入新課思路1.平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是，有時平均數(shù)也會使我們作出對總體的片面判斷如某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)顯示，該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為176 cm，給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長發(fā)育好，身高較高但是，假如這個平均數(shù)是從50萬名中學(xué)生中抽出的50名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來的話，那么，這個平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì)因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)，于是我們學(xué)習(xí)從另外的角度來考察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)差(教師板書課題)思路2.在一次射擊選拔比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲運(yùn)動員：7,8,6,8,6,5,9,10,7,4；乙運(yùn)動員：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.我們不難求得，甲7，乙7，兩個人射擊的平均成績是一樣的，那么，是否兩個人就沒有水平差距呢？圖1從圖1直觀上看，還是有差異的很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此這節(jié)課我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)，引入課題：標(biāo)準(zhǔn)差推進(jìn)新課1如何通過頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征(中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù))?2有甲、乙兩種鋼筋，現(xiàn)從中各抽取一個樣本(如下表)檢查它們的抗拉強(qiáng)度(單位：kg/mm2)，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個樣本的平均數(shù)均為125.甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145哪種鋼筋的質(zhì)量較好？3某種子公司為了在當(dāng)?shù)赝菩袃煞N新水稻品種，對甲、乙兩種水稻進(jìn)行了連續(xù)7年的種植對比實(shí)驗(yàn)，年畝產(chǎn)量分別如下(單位：千克)：甲： 600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)；乙： 800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)請你用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識，說明選擇哪種品種推廣更好？4全面建設(shè)小康社會是我們黨和政府的工作重心，某市按當(dāng)?shù)匚飪r(jià)水平計(jì)算，人均年收入達(dá)到1.5萬元的家庭即達(dá)到小康生活水平民政局對該市100戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，它們的人均收入達(dá)到了1.6萬元，民政局即宣布該市市民生活水平已達(dá)到小康水平，你認(rèn)為這樣的結(jié)論是否符合實(shí)際？5如何考查樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小呢？把數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來，是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度？討論結(jié)果：1利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字(最高矩形的中點(diǎn))估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和2.圖2由圖2可以看出，乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110，乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135，這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差(range)由上圖可以看出，乙的極差較大，數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散；甲的極差較小，數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中，這說明甲比乙穩(wěn)定運(yùn)用極差對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，操作簡單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時，就不容易得出結(jié)論了3選擇的依據(jù)應(yīng)該是，產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種，所以選擇乙更為合理4不符合實(shí)際原因是樣本太小，沒有代表性在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析，需要結(jié)合實(shí)際，側(cè)重于考察總體的相關(guān)數(shù)據(jù)特征比如，市民平均收入問題，都是考察數(shù)據(jù)的離散程度5把問題3中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來我們可以很直觀地知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近，即乙的離散程度小， 如何用數(shù)字去刻畫這種離散程度呢？ 考察樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示所謂“平均距離”，其含義可作如下理解：假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，xn，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)xi到的距離是|xi|(i1,2，n)于是，樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn到的“平均距離”是s.由于上式含有絕對值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：s.意義：標(biāo)準(zhǔn)差用來表示數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，也就越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，也就越穩(wěn)定從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出，標(biāo)準(zhǔn)差s0，當(dāng)s0時，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋例如，在關(guān)于居民月均用水量的例子中，平均數(shù)1.973，標(biāo)準(zhǔn)差s0.868，所以s2.841，2s3.709；s1.105，2s0.237.這100個數(shù)據(jù)中，在區(qū)間2s，2s0.237,3.709外的只有4個，也就是說，2s，2s幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù)從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具，其中s2(x1)2(x2)2(xn)2顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的但在解決實(shí)際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差需要指出的是，現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢？通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的. 兩者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用比較廣泛的是標(biāo)準(zhǔn)差思路11畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明它們的異同點(diǎn)(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先畫出數(shù)據(jù)的條形圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如圖3：圖3四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0，標(biāo)準(zhǔn)差分別是：0.00,0.82,1.49,2.83.它們有相同的平均數(shù)，但它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差，說明數(shù)據(jù)的離散程度是不一樣的例2 甲、乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40 mm的一種零件為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件，量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm)：甲254625.3225.4525.3925.36253425.4225.4525.3825.42253925.4325.3925.4025.44254025.4225.3525.4125.39乙254025.4325.4425.4825.48254725.4925.4925.3625.34253325.4325.4325.3225.47253125.3225.3225.3225.48從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高？分析：每一個工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個總體由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40 mm)，生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個角度來衡量總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.40 mm的差異大時質(zhì)量低，差異小時質(zhì)量高；當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時，總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時候質(zhì)量高，標(biāo)準(zhǔn)差大的時候質(zhì)量低這樣，比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可但是，這兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的，根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，以此作為兩個總體之間差異的估計(jì)值解：用計(jì)算器計(jì)算可得甲25.401，乙25.406；s甲0.037，s乙0.068.從樣本平均數(shù)看，甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40 mm)，但是差異很小；從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看，由于s甲<s乙，因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的穩(wěn)定程度高得多于是，可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些點(diǎn)評：從上述例子我們可以看到，對一名工人生產(chǎn)的零件內(nèi)徑(總體)的質(zhì)量判斷，與所抽取的零件內(nèi)徑(樣本數(shù)據(jù))直接相關(guān)顯然，我們可以從這名工人生產(chǎn)的零件中獲取許多樣本這樣，盡管總體是同一個，但由于樣本不同，相應(yīng)的樣本頻率分布與平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等都會發(fā)生改變，這就會影響到我們對總體情況的估計(jì)如果樣本的代表性差，那么對總體所作出的估計(jì)就會產(chǎn)生偏差；樣本沒有代表性時，對總體作出錯誤估計(jì)的可能性就非常大這也正是我們在前面講隨機(jī)抽樣時反復(fù)強(qiáng)調(diào)樣本代表性的理由在實(shí)際操作中，為了減少錯誤的發(fā)生，條件許可時，通常采取適當(dāng)增加樣本容量的方法當(dāng)然，關(guān)鍵還是要改進(jìn)抽樣方法，提高樣本的代表性.變式訓(xùn)練某地區(qū)全體九年級的3 000名學(xué)生參加了一次科學(xué)測試，為了估計(jì)學(xué)生的成績，從不同學(xué)校的不同程度的學(xué)生中抽取了100名學(xué)生的成績?nèi)缦拢?00分12人，90分30人，80分18人，70分24人，60分12人，50分4人請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該地區(qū)3 000名學(xué)生的平均分、合格率(60或60分以上均屬合格)解：因?yàn)檫\(yùn)用計(jì)算器計(jì)算可得79.40，(1230182412)10096%，所以樣本的平均分是79.40分，合格率是96%，由此來估計(jì)總體3 000名學(xué)生的平均分是79.40分，合格率是96%.思路2例1 甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)，試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為 (9.810)2 (9.910)2(10.110)2(1010)2(10.210)250.02.乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為 (9.410)2(10.310)2(10.810)2(9.710)2(9.810)250.24.因?yàn)?.240.02，所以由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定例2 為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差天數(shù)151180181210211240241270271300301330331360361390燈泡數(shù)1111820251672分析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命，再求平均壽命解：各組中值分別為165,195,225,255,285,315,345,375，由此算得平均數(shù)約為1651%19511%22518%25520%28525%31516%3457%3752%267.9268(天)這些組中值的方差為1(165268)211(195268)218(225268)220(255268)225(285268)216(315268)27(345268)22(375268)22 128.60(天2)故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約為46(天)答：估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天，標(biāo)準(zhǔn)差約為46天(1)在一次歌手大獎賽上，七位評委為某歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6，9.4，9.7，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為_(2)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn，方差為s2，則ax1，ax2，axn的方差為_(3)在相同條件下對自行車運(yùn)動員甲、乙兩人進(jìn)行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836試判斷選誰參加某項(xiàng)重大比賽更合適？答案：(1)9.5,0.016(2)a2s2(3)由甲33，乙33，ss，可知乙的成績比甲穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽更合適某養(yǎng)魚專業(yè)戶在一個魚塘內(nèi)放入一批魚苗，一年以后準(zhǔn)備出售，為了在出售以前估計(jì)賣掉魚后有多少收入，這個專業(yè)戶已經(jīng)了解到市場的銷售價(jià)是每千克15元，請問，這個專業(yè)戶還應(yīng)該了解什么？怎樣去了解？請你為他設(shè)計(jì)一個方案解：這個專業(yè)戶應(yīng)了解魚的總質(zhì)量，可以先捕出一些魚(設(shè)有x條)，做上標(biāo)記后放回魚塘，過一段時間再捕出一些魚(設(shè)有a條)，觀察其中帶有標(biāo)記的魚的條數(shù)，作為一個樣本來估計(jì)總體，則.這樣就可以求得魚塘中魚的總條數(shù)，同時把第二次捕出的魚的平均質(zhì)量求出來，就可以估計(jì)魚塘中魚的平均質(zhì)量，進(jìn)而估計(jì)全部魚的質(zhì)量，最后估計(jì)出收入1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征分兩類：用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)，平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差樣本容量越大，估計(jì)就越精確，標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度2用樣本估計(jì)總體的兩個手段(用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征)，需要從總體中抽取一個質(zhì)量較高的樣本，才能不會產(chǎn)生較大的估計(jì)偏差，且樣本容量越大，估計(jì)的結(jié)果也就越精確習(xí)題153.統(tǒng)計(jì)學(xué)科，最大的特點(diǎn)就是與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，也是新教科書的亮點(diǎn)僅僅想借助“死記硬背一些概念及公式，簡單模仿課本例題”來學(xué)習(xí)，是絕對不行的用樣本估計(jì)總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差，其原因在于樣本的隨機(jī)性這種偏差是不可避免的雖然我們從樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是總體的一個估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本的容量很大時，它們確實(shí)反映了總體的信息教師建議：親身經(jīng)歷“提出問題，收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，并作出合理決策”的過程，在此過程中不僅可以加深對概念等知識的深刻理解，更重要的是發(fā)展了思維，培養(yǎng)了分析及解決問題能力，同時在情感、意志等領(lǐng)域也得到了協(xié)調(diào)發(fā)展，這才是學(xué)校學(xué)習(xí)的科學(xué)而全面的目標(biāo)，習(xí)題設(shè)置有層次，盡量源于教科書，又高于教科書，這也是高考命題原則備選習(xí)題110名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()AabcBbcaCcabDcba答案：D2下列說法錯誤的是()A在統(tǒng)計(jì)里，把所需考察對象的全體叫作總體B一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)C平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢D一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大答案：B3下列說法中，正確的是()A數(shù)據(jù)5,4,4,3,5,2的眾數(shù)是4B一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是這組數(shù)據(jù)的方差的平方C數(shù)據(jù)2,3,4,5的標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)據(jù)4,6,8,10的標(biāo)準(zhǔn)差的一半D頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻數(shù)答案：C4從甲、乙兩班分別任意抽出10名學(xué)生進(jìn)行英語口語測驗(yàn)，其測驗(yàn)成績的方差分別為s 13.2，s26.26，則()A甲班10名學(xué)生的成績比乙班10名學(xué)生的成績整齊B乙班10名學(xué)生的成績比甲班10名學(xué)生的成績整齊C甲、乙兩班10名學(xué)生的成績一樣整齊D不能比較甲、乙兩班10名學(xué)生成績的整齊程度答案：A5下列說法正確的是()A根據(jù)樣本估計(jì)總體，其誤差與所選擇的樣本容量無關(guān)B方差和標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位C從總體中可以抽取不同的幾個樣本D如果容量相同的兩個樣本的方差滿足s<s，那么推得總體也滿足s<s是錯的答案：C