高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明單元檢測 蘇教版選修2-21

第2章推理與證明單元檢測一、填空題1用反證法證明命題“若a2b20，則a，b全為0(a，bR)”，其反設(shè)是_2周長一定的平面圖形中圓的面積最大，將這個(gè)結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是_3用數(shù)學(xué)歸納法證恒等式，由nk到nk1時(shí)，兩邊應(yīng)同時(shí)加上_4對于等差數(shù)列an有如下命題：“若an是等差數(shù)列，a10，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有(s1)at(t1)as0”類比此命題，給出等比數(shù)列bn相應(yīng)的一個(gè)正確命題：“_”5若，(a0)，則P，Q的大小關(guān)系是_6補(bǔ)充下列證明過程：要證a2b2c2abbcac，即證_，即證_7下列四個(gè)圖形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為_8已知x，y為正數(shù)，當(dāng)x2y2_時(shí)，有.9一個(gè)等差數(shù)列an，其中a100，則有a1a2ana1a2a19n(1n19，nN*)一個(gè)等比數(shù)列bn，其中b151.類比等差數(shù)列an，下列結(jié)論中，正確的是_(填序號(hào))b1b2bnb1b2b29n(1n29，nN*)b1b2bnb1b2b29nb1b2bnb1b2b29n(1n29，nN*)b1b2bnb1b2b29n10已知不等邊三角形的三邊按從小到大的順序排列成等比數(shù)列，則公比q的取值范圍是_11設(shè)f(x)為奇函數(shù)，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，則f(5)_.12設(shè)函數(shù)f(x)(x0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.二、解答題13已知0a1，求證：.14某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論15已知函數(shù)f(x)ax(a1)，用反證法證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根參考答案1. 答案：a，b至少有一個(gè)不為02. 答案：表面積一定的空間幾何體中球的體積最大3. 答案：解析：左邊含變量，因此nk1時(shí)，應(yīng)再加上4. 答案：若bn是等比數(shù)列，b11，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有5. 答案：PQ解析：假設(shè)PQ，要證PQ，只要證P2Q2，只要證：2a72a7，只要證：a27aa27a12，只要證：012，012成立，PQ成立.6. 答案：2(a2b2c2)2ab2bc2ac(ab)2(bc)2(ac)207. 答案：an3n18. 答案：1解析：要使，只需x2(1y2)1y2(1x2)，即1x2y2.只需使(y)20，即y，x2y21.9. 答案：解析：等差數(shù)列an中，a100，知以a10為等差中項(xiàng)的項(xiàng)和為0，如a9a11a8a12a2a18a1a190.而等比數(shù)列bn中b151，類比，有b1b29b2b28b14b161.從而類似的總結(jié)規(guī)律應(yīng)為各項(xiàng)之積.等差數(shù)列an中，a100，a1a19a2a18a8a12a9a110，即a19nan10，a18nan20，a17nan30，等比數(shù)列bn中，b151，b1b29b2b28b14b161，即b29nbn11，b28nbn21，從而比較知正確.10. 答案：1q解析：設(shè)三角形的三邊長為a，b，c，且abc，則baq，caq2.a0，1q.11. 答案：解析：f(1)，f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)，f(0)0.f(x2)f(x)f(2)，f(1)f(12)f(1)f(2).f(2)1，f(3)f(12)f(1)f(2)，f(5)f(23)f(3)f(2)1.12. 答案：解析：由已知可歸納如下：，.13. 答案：證明：由于0a1，1a0.要證明，只需證明1a4a9a9a2，即9a26a10，只需證明(3a1)20，(3a1)20顯然成立，原不等式成立.14. 答案：解法一：(1)選擇式，計(jì)算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 30.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.15. 答案：證法一：假設(shè)方程f(x)0有負(fù)數(shù)根，設(shè)存在x00(x01)，滿足f(x0)0，則.又01，所以01，即x02.與假設(shè)x00矛盾，故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根.證法二：假設(shè)方程f(x)0有負(fù)數(shù)根，設(shè)存在x00(x01)，滿足f(x0)0.(1)若1x00，則2，1，所以f(x0)1，與f(x0)0矛盾.(2)若x01，則0，0，所以f(x0)0，與f(x0)0矛盾.故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根.