高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 集合與函數(shù) 1 集合及其運(yùn)算

2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破集合與函數(shù)1集合及其運(yùn)算【知識梳理】1集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種，用符號或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法(4)常見數(shù)集的記法集 合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符 號NN*(或N)ZQR2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，則xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互為子集AB3.集合的運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形符號ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA4.集合關(guān)系與運(yùn)算的常用結(jié)論(1)若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集個(gè)數(shù)為2n個(gè)，非空子集個(gè)數(shù)為2n1個(gè)，真子集有2n1個(gè)(2)ABABAABB.【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】考點(diǎn)1集合的含義與表示【例1】（1）下列各組對象：高一1班中年齡較大的男同學(xué)；聯(lián)合國安理會常任理事國；2017年廣州城市運(yùn)動(dòng)會的比賽項(xiàng)目； 的所有近似值；1,2,3,1能夠組成集合的是_（2）已知集合A含有兩個(gè)元素a3和2a1，若3A，則實(shí)數(shù)a的值為_【歸納總結(jié)】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意分類討論的思想方法常用于解決集合問題【變式訓(xùn)練】(1)設(shè)集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，則M中的元素個(gè)數(shù)為()A3 B4 C5 D6(2)設(shè)a，bR，集合1，ab，a，則ba_.考點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系【例2】(1)設(shè)集合，則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是（ ）A.1 B.3 C.4 D.8(2)已知集合Ax|x23x2 <0，Bx|x<a，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【變式訓(xùn)練】(1)已知集合Ax|ylg(x3)，Bx|x4，則下列結(jié)論正確的是()AAB BAB CAB DBA（2）已知集合Ax|log2x2，Bx|x<a，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_（3）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為_考點(diǎn)3集合的運(yùn)算命題點(diǎn)1并集、交集、補(bǔ)集的簡單運(yùn)算集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算此類題目首先應(yīng)看清集合中的元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義直接觀察或用圖表示集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)集，可以借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不再集合中時(shí)，應(yīng)該用“空心圈”表示【例3】【2016高考新課標(biāo)3】設(shè)集合 ，則（ ）(A) 2，3 (B)（- ，2 3,+） (C) 3,+） (D)（0，2 3,+）【點(diǎn)評】集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再利用數(shù)軸，根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算【變式訓(xùn)練】（1）若集合，則_（2）集合，則_，_，_命題點(diǎn)2已知集合的交并集求參數(shù)的取值范圍依據(jù)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)軸分析法是解決有關(guān)集合交集、并集問題，特別是一些字母范圍問題的常用方法【例4】 已知，若，求a的取值范圍【點(diǎn)評】由，則要考慮和兩種情形，這樣才不會漏解命題點(diǎn)3交并集性質(zhì)的應(yīng)用在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常會遇到，等這類問題，解答時(shí)常借助于交、并集的定義以及集合間的關(guān)系去分析，如，【例5】設(shè)，【點(diǎn)評】要注意條件等價(jià)轉(zhuǎn)化的運(yùn)用，常見轉(zhuǎn)化有，命題點(diǎn)4補(bǔ)集的思想的應(yīng)用對于一些比較復(fù)雜、抽象，條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確，難于從正面入手的問題，在解答時(shí)，應(yīng)及時(shí)調(diào)整思路，從問題的反面入手，探索已知與未知之間的關(guān)系，這時(shí)能化難為易，化隱為顯，從而將問題解決【例6】若集合中最多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍【點(diǎn)評】集合A中的元素包含0個(gè)或1個(gè)，若采取分類討論的策略，所分情況比較多，求解比較麻煩，構(gòu)造其“補(bǔ)集”：集合A中含有兩個(gè)元素，然后再求其補(bǔ)集，問題就得到了簡化【基礎(chǔ)練習(xí)】1【2015吉林三?！吭O(shè)全集，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ）A B C D2.【2016四川高考】設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個(gè)數(shù)是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）63【2016高考浙江理數(shù)】已知集合 則（ ）A2,3 B( -2,3 C1,2) D4已知集合，且，那么的值可以是（ ） A B C D5若集合，且，則實(shí)數(shù)的值為 【能力提升】1已知，則（ ）A B C D2已知集合，若，則等于（ ）A9 B8 C7 D63設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A B C D4已知集合，則實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)為（ ）A B C D5已知M=且，則（）A B C D【終極突破】1設(shè)常數(shù),集合，若，則的取值范圍為( )A.B.C. D.2集合，若中恰含有一個(gè)整數(shù)u，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A B C D3集合，集合，若動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A B C D 4已知集合，現(xiàn)給出下列函數(shù)：； ；若時(shí)，恒有，則所有滿足條件的函數(shù)的編號是_2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破集合與函數(shù)1集合及其運(yùn)算（學(xué)生版，后附教師版）【知識梳理】1集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種，用符號或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法(4)常見數(shù)集的記法集 合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符 號NN*(或N)ZQR2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，則xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互為子集AB3.集合的運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形符號ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA4.集合關(guān)系與運(yùn)算的常用結(jié)論(1)若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集個(gè)數(shù)為2n個(gè)，非空子集個(gè)數(shù)為2n1個(gè)，真子集有2n1個(gè)(2)ABABAABB.【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】考點(diǎn)1集合的含義與表示【例1】（1）下列各組對象：高一1班中年齡較大的男同學(xué)；聯(lián)合國安理會常任理事國；2017年廣州城市運(yùn)動(dòng)會的比賽項(xiàng)目； 的所有近似值；1,2,3,1能夠組成集合的是_（2）已知集合A含有兩個(gè)元素a3和2a1，若3A，則實(shí)數(shù)a的值為_解：中的“年齡較大”、中的“近似值”，這些標(biāo)準(zhǔn)均不明確，即元素不確定，所以不能組成集合中有兩個(gè)數(shù)相等，不符合互異性，所以也不能組成集合中的對象都是確定的、互異的，所以可以組成集合故填. 【歸納總結(jié)】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意分類討論的思想方法常用于解決集合問題【變式訓(xùn)練】(1)設(shè)集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，則M中的元素個(gè)數(shù)為()A3 B4 C5 D6(2)設(shè)a，bR，集合1，ab，a，則ba_.【答案】(1)B(2)2【解析】(1)因?yàn)榧螹中的元素xab，aA，bB，所以當(dāng)b4時(shí)，a1,2,3，此時(shí)x5,6,7.當(dāng)b5時(shí)，a1,2,3，此時(shí)x6,7,8，所以根據(jù)集合元素的互異性可知，x5,6,7,8.即M5,6,7,8，共有4個(gè)元素(2)因?yàn)?，ab，a，a0，所以ab0，得1，所以a1，b1，所以ba2.考點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系【例2】(1)設(shè)集合，則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是（ ）A.1 B.3 C.4 D.8(2)已知集合Ax|x23x2 <0，Bx|x<a，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】（1），則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個(gè)數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個(gè)故選C(2)由x23x2 <0，解得1<x<2，故Ax|1<x<2 ，又Bx|x<a，AB，得a2 .【例1】已知集合A=，B=，則（ ）A.A=B B.AB= C.AB D.BA【解析】因?yàn)榧螦=,B=，所以BA，故選D 【評注】A是B的真子集，記作AB【變式1】已知集合若，則集合可以是（）A B C D1.C【解析】由子集概念，對于，都有，結(jié)合圖象，應(yīng)選C【變式訓(xùn)練】(1)已知集合Ax|ylg(x3)，Bx|x4，則下列結(jié)論正確的是()AAB BAB CAB DBA（2）已知集合Ax|log2x2，Bx|x<a，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_（3）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為_【答案】(1) D；(2)(4，) ；（3）【解析】(1)Ax|x>3，Bx|x2，結(jié)合數(shù)軸可得：BA.（2）由log2x2，得0<x4，即Ax|0<x4，而Bx|x<a，由于AB，如圖所示，則a>4.（3）或，解得，故實(shí)數(shù)的取值集合為.考點(diǎn)3集合的運(yùn)算命題點(diǎn)1并集、交集、補(bǔ)集的簡單運(yùn)算集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算此類題目首先應(yīng)看清集合中的元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義直接觀察或用圖表示集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)集，可以借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不再集合中時(shí)，應(yīng)該用“空心圈”表示【例3】【2016高考新課標(biāo)3】設(shè)集合 ，則（ ）(A) 2，3 (B)（- ，2 3,+） (C) 3,+） (D)（0，2 3,+）【答案】D【解析】由解得或，所以，所以，故選D【點(diǎn)評】集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再利用數(shù)軸，根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算【變式訓(xùn)練】（1）若集合，則_（2）集合，則_，_，_變式：【答案】（1）；（2），.【解析】（1）A、B的共同元素為4、7，所以（2）因?yàn)椋跀?shù)軸上畫出A、B，所以，.【點(diǎn)評】集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再利用數(shù)軸，根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算變式：【答案】（1）；（2），.【解析】（1）A、B的共同元素為4、7，所以（2）因?yàn)?，在?shù)軸上畫出A、B，所以，.【點(diǎn)評】集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再利用數(shù)軸，根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算命題點(diǎn)2已知集合的交并集求參數(shù)的取值范圍依據(jù)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)軸分析法是解決有關(guān)集合交集、并集問題，特別是一些字母范圍問題的常用方法【例4】 已知，若，求a的取值范圍【解析】由，（1）若，有，所以（2）若，如下圖：，解得綜上所述，的取值范圍是【點(diǎn)評】由，則要考慮和兩種情形，這樣才不會漏解命題點(diǎn)3交并集性質(zhì)的應(yīng)用在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常會遇到，等這類問題，解答時(shí)常借助于交、并集的定義以及集合間的關(guān)系去分析，如，【例5】設(shè)，（1）若，求的值；（2）若，求的值【解析】（1），若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若，則，當(dāng)時(shí)，若，則由得，（2），又因?yàn)锽中最多只有兩個(gè)元素，由（1）知【點(diǎn)評】要注意條件等價(jià)轉(zhuǎn)化的運(yùn)用，常見轉(zhuǎn)化有，命題點(diǎn)4補(bǔ)集的思想的應(yīng)用對于一些比較復(fù)雜、抽象，條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確，難于從正面入手的問題，在解答時(shí)，應(yīng)及時(shí)調(diào)整思路，從問題的反面入手，探索已知與未知之間的關(guān)系，這時(shí)能化難為易，化隱為顯，從而將問題解決【例6】若集合中最多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】假設(shè)集合A中含有兩個(gè)元素，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得且，則的取值范圍是在全集中，集合的補(bǔ)集是，所以滿足題意的的取值范圍是【點(diǎn)評】集合A中的元素包含0個(gè)或1個(gè)，若采取分類討論的策略，所分情況比較多，求解比較麻煩，構(gòu)造其“補(bǔ)集”：集合A中含有兩個(gè)元素，然后再求其補(bǔ)集，問題就得到了簡化【基礎(chǔ)練習(xí)】1【2015吉林三?！吭O(shè)全集，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ）A B C D【答案】B【解析】，所以圖中陰影部分所表示的集合是，故選B2【2016四川高考】設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個(gè)數(shù)是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由題意，故其中的元素個(gè)數(shù)為5，選C.3【2016高考浙江理數(shù)】已知集合 則（ ）A2,3 B( -2,3 C1,2) D【答案】B【解析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得，所以.故選B4已知集合，且，那么的值可以是（ ） A B C D【答案】D【解析】，要包含所有的小于等于1的實(shí)數(shù)，因此，故選D.5若集合，且，則實(shí)數(shù)的值為 【答案】或或【解析】，由題意.當(dāng)時(shí)，則.當(dāng)時(shí)，要使，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的值是或或.【能力提升】1【2015呼倫貝爾二?！恳阎?，則（ ）A B C D【答案】C【解析】，所以，所以=，故選C2【2015濟(jì)南市高三上學(xué)期期末】已知集合，若，則等于（ ）A9 B8 C7 D6【答案】C【解析】，若，則，則，故選C.3設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A B C D【答案】A【解析】，因?yàn)?，所以，解得：，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選A4已知集合，則實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)為（ ）A B C D【答案】B【解析】由題意，所以或，解得：或或，所以實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)為，故選B5已知M=且，則（）A B C D【答案】A【解析】集合M表示去掉一點(diǎn)的直線，集合表示恒過定點(diǎn)的直線，因?yàn)镸，所以兩直線要么平行，要么直線過點(diǎn)因此或，即或-2，故選A.【終極突破】1設(shè)常數(shù),集合，若，則的取值范圍為( )A.B.C. D.【答案】B【解析】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或，解得，所以的取值范圍是，故選B.2集合，若中恰含有一個(gè)整數(shù)u，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A B C D【答案】B【解析】由可得或由解得由韋達(dá)定理可得根據(jù)題意中恰含有一個(gè)整數(shù)u，所以或(舍去由于與很接近)即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B3集合，集合，若動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A B C D 【答案】A【解析】集合表示平面內(nèi)由點(diǎn)，構(gòu)成的正方形與點(diǎn)，圍成的正方形，看作點(diǎn)距離的平方，結(jié)合坐標(biāo)系可知的取值范圍是，故選A4已知集合，現(xiàn)給出下列函數(shù)：； ；若時(shí)，恒有，則所有滿足條件的函數(shù)的編號是_【答案】.【解析】依題表示整個(gè)平面直角坐標(biāo)系區(qū)域，表示如圖所示的平面區(qū)域，表示平面直角坐標(biāo)系上函數(shù)的曲線，若時(shí)，恒有，則與無公共點(diǎn)，依題可知函數(shù)的曲線與均無公共點(diǎn)，對于，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋郧€上的點(diǎn)必定在表示的平面區(qū)域內(nèi)，即，故應(yīng)填入.【基礎(chǔ)練習(xí)】1【2015吉林三?！吭O(shè)全集，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ）A B C D【答案】B【解析】，所以圖中陰影部分所表示的集合是，故選B2【2016四川高考】設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個(gè)數(shù)是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由題意，故其中的元素個(gè)數(shù)為5，選C.3【2016高考浙江理數(shù)】已知集合 則（ ）A2,3 B( -2,3 C1,2) D【答案】B【解析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得，所以.故選B4已知集合，且，那么的值可以是（ ） A B C D【答案】D【解析】，要包含所有的小于等于1的實(shí)數(shù)，因此，故選D.5若集合，且，則實(shí)數(shù)的值為 【答案】或或【解析】，由題意.當(dāng)時(shí)，則.當(dāng)時(shí)，要使，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的值是或或.【能力提升】1【2015呼倫貝爾二模】已知，則（ ）A B C D【答案】C【解析】，所以，所以=，故選C2【2015濟(jì)南市高三上學(xué)期期末】已知集合，若，則等于（ ）A9 B8 C7 D6【答案】C【解析】，若，則，則，故選C.3設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A B C D【答案】A【解析】，因?yàn)?，所以，解得：，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選A4已知集合，則實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)為（ ）A B C D【答案】B【解析】由題意，所以或，解得：或或，所以實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)為，故選B5已知M=且，則（）A B C D【答案】A【解析】集合M表示去掉一點(diǎn)的直線，集合表示恒過定點(diǎn)的直線，因?yàn)镸，所以兩直線要么平行，要么直線過點(diǎn)因此或，即或-2，故選A.【終極突破】1設(shè)常數(shù),集合，若，則的取值范圍為( )A.B.C. D.【答案】B【解析】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或，解得，所以的取值范圍是，故選B.2集合，若中恰含有一個(gè)整數(shù)u，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A B C D【答案】B【解析】由可得或由解得由韋達(dá)定理可得根據(jù)題意中恰含有一個(gè)整數(shù)u，所以或(舍去由于與很接近)即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B3集合，集合，若動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A B C D 【答案】A【解析】集合表示平面內(nèi)由點(diǎn)，構(gòu)成的正方形與點(diǎn)，圍成的正方形，看作點(diǎn)距離的平方，結(jié)合坐標(biāo)系可知的取值范圍是，故選A4已知集合，現(xiàn)給出下列函數(shù)：； ；若時(shí)，恒有，則所有滿足條件的函數(shù)的編號是_【答案】.【解析】依題表示整個(gè)平面直角坐標(biāo)系區(qū)域，表示如圖所示的平面區(qū)域，表示平面直角坐標(biāo)系上函數(shù)的曲線，若時(shí)，恒有，則與無公共點(diǎn)，依題可知函數(shù)的曲線與均無公共點(diǎn)，對于，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，所以曲線上的點(diǎn)必定在表示的平面區(qū)域內(nèi)，即，故應(yīng)填入.