微積分線性微分方程解的結構ppt課件
二階線性微分方程,二階線性齊次微分方程,二階線性非齊次微分方程,n階線性微分方程,第六節(jié) 線性微分方程解的結構,1,證畢,1. 線性齊次方程解的結構,是二階線性齊次方程,的兩個解,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊, 得,(疊加原理),定理1.,2,說明:,不一定是所給二階方程的通解.,例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解,并不是通解,但是,則,為解決通解的判別問題,下面引入函數的線性相關與,線性無關概念.,3,定義:,是定義在區(qū)間 I 上的,n 個函數,使得,則稱這 n個函數在 I 上線性相關,否則稱為線性無關.,例如,,在( , )上都有,故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關;,又如,,若在某區(qū)間 I 上,則根據二次多項式至多只有兩個零點 ,必需全為 0 ,可見,在任何區(qū)間 I 上都 線性無關.,若存在不全為 0 的常數,4,兩個函數在區(qū)間 I 上線性相關與線性無關的充要條件:,線性相關,存在不全為 0 的,使,線性無關,常數,5,定理 2.,是二階線性齊次方程的兩個線,性無關特解,數) 是該方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常數,故方程的通解為,推論.,是 n 階齊次方程,的 n 個線性無關解,則方程的通解為,則,6,2. 線性非齊次方程解的結構,是二階非齊次方程,的一個特解,Y (x) 是相應齊次方程的通解,定理 3.,則,是非齊次方程的通解 .,證: 將,代入方程左端, 得,7,是非齊次方程的解,又Y 中含有,兩個獨立任意常數,例如, 方程,有特解,對應齊次方程,有通解,因此該方程的通解為,證畢,因而 也是通解 .,8,解的疊加原理,9,推廣:,分別是方程,的特解,是方程,的特解. (非齊次方程之解的疊加原理),定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程.,10,定理 5.,是對應齊次方程的 n 個線性,無關特解,給定 n 階非齊次線性方程,是非齊次方程的特解,則非齊次方程,的通解為,齊次方程通解,非齊次方程特解,11,常數, 則該方程的通解是 ( ).,設線性無關函數,都是二階非齊次線,性方程,的解,是任意,例1.,提示:,都是對應齊次方程的解,二者線性無關 . (反證法可證),12,例2.,已知微分方程,個解,求此方程滿足初始條件,的特解 .,解:,是對應齊次方程的解,且,常數,因而線性無關,故原方程通解為,代入初始條件,故所求特解為,有三,13,例3,解,() 由題設可得:,解此方程組,得,14,() 原方程為,由解的結構定理得方程的通解為,15,思考題,16,思考題解答,都是微分方程的解,是對應齊次方程的解,常數,對應齊次方程的通解,原方程的通解,17,練 習 題,18,19,練習題答案,20,