高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2_3 數(shù)學(xué)歸納法自我小測(cè) 蘇教版選修2-21

高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法自我小測(cè) 蘇教版選修2-21數(shù)列1,13,135,1357，的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2nn2成立時(shí)，n應(yīng)取的第一個(gè)值為_(kāi)3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式n314n1時(shí)，n所取的第一個(gè)值n0為_(kāi)4用數(shù)學(xué)歸納法證明“1n(nN*，且n1)”時(shí)，由nk(k1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是_5凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n1邊形的對(duì)角線條數(shù)f(n1)與f(n)之間的關(guān)系為6用數(shù)學(xué)歸納法證明2n1n2n2(nN)時(shí)，第一步的驗(yàn)證為_(kāi)7已知x1且x0，nN*，且n2，求證：(1x)n1nx.8用數(shù)學(xué)歸納法證明：15913(4n3)2n2n.9求證：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*.10已知函數(shù)(x0)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a11，an1f(an)，數(shù)列bn滿(mǎn)足bn|an|，用數(shù)學(xué)歸納法證明.參考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的項(xiàng)數(shù)為(2k11)(2k1)2k.5答案：f(n1)f(n)n1解析：如圖，設(shè)凸n1邊形為A1A2AnAn1，連結(jié)A1An，則凸n1邊形的對(duì)角線是由凸n邊形A1A2An的對(duì)角線加上A1An，再加上從An1點(diǎn)出發(fā)的n2條對(duì)角線，即f(n1)f(n)1n2f(n)n1.6答案：當(dāng)n0時(shí)，201202022，結(jié)論成立7答案：證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊(1x)212xx2，x0，12xx212x.左邊右邊，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，不等式成立，即(1x)k1kx成立，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊(1x)k1(1x)k(1x).x1，1x0.(1x)k(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx2.x0，1(k1)xkx21(k1)x.(1x)k11(k1)x成立，即當(dāng)nk1時(shí)不等式成立.由(1)(2)可知，不等式對(duì)于所有的n2的正整數(shù)都成立.8答案：證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，命題成立.(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)，命題成立，即15913(4k3)2k2k.則當(dāng)nk1時(shí)，15913(4k3)(4k1)2k2k(4k1)2k23k12(k1)2(k1).當(dāng)nk1時(shí)，命題成立.綜上所述，原命題成立.9答案：證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，a11(a1)211a2a1，命題顯然成立.(2)假設(shè)nk時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由歸納假設(shè)知，上式中的兩部分均能被a2a1整除，故nk1時(shí)命題成立.根據(jù)(1)(2)知，對(duì)任意nN*，命題成立.10答案：證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)11.因?yàn)閍11，所以an1(nN*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.(1)當(dāng)n1時(shí)，b11，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，不等式成立，即，那么bk1|ak1|.所以，當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)(1)和(2)，可知不等式對(duì)任意nN*都成立.